姚齊水 張 然 明興祖 楊 文

湖南工業(yè)大學(xué)，株洲，412007

0 引言

圓柱滾子軸承因其滾動(dòng)體與滾道為線接觸、徑向承載能力和徑向剛度較高的特點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于各類機(jī)械設(shè)備中。目前使用的圓柱滾子軸承的滾動(dòng)體一般為實(shí)心圓柱滾動(dòng)體（或外表面帶有一定凸度的實(shí)心圓柱滾動(dòng)體）和空心圓柱滾動(dòng)體（去掉實(shí)心圓柱滾動(dòng)體中心部分的材料，將滾動(dòng)體做成空心狀）兩種。從實(shí)際應(yīng)用中發(fā)現(xiàn)，實(shí)心圓柱滾子軸承存在傳動(dòng)精度不高、振動(dòng)噪聲大、高速和重載情況下容易損壞等不足，空心圓柱滾子軸承具備較高的傳動(dòng)精度和振動(dòng)性能等優(yōu)點(diǎn)，但受載空心滾動(dòng)體處于周期性的交替變形狀態(tài)，空心滾動(dòng)體的內(nèi)壁容易彎曲疲勞斷裂，因此，研制具有高精度、高轉(zhuǎn)速、高壽命的圓柱滾子軸承在工程上具有特別重要的意義。筆者根據(jù)組合創(chuàng)新的原理，在保留實(shí)心圓柱滾子軸承和空心圓柱滾子軸承優(yōu)點(diǎn)的基礎(chǔ)上，提出了一種全新的彈性復(fù)合圓柱滾子軸承，并申請(qǐng)了專利［1］。

軸承的剛度是軸承的重要參數(shù)之一，定義為軸承內(nèi)外套圈產(chǎn)生單位的相對(duì)彈性位移量所需要的外加載荷。剛度參數(shù)對(duì)整個(gè)系統(tǒng)的振動(dòng)、噪聲、壽命有著非常重要的影響，研究彈性復(fù)合圓柱滾子軸承的剛度十分必要。國內(nèi)外許多學(xué)者對(duì)實(shí)心圓柱滾子軸承和空心圓柱滾子軸承剛度的研究做了大量工作：Harris等［2］給出了點(diǎn)接觸和線接觸情況下軸承的接觸應(yīng)力分布和接觸變形公式；Erwin等［3］給出了計(jì)算線接觸圓柱滾子軸承彈性變形的近似公式；陳家慶等［4］利用曲梁理論推導(dǎo)出空心圓柱滾子軸承接觸變形公式；劉衛(wèi)群等［5］利用PSARB程序編寫的程序分析了滾動(dòng)軸承的剛度；李偉健等［6－7］利用當(dāng)量彈性模量的分析方法推導(dǎo)出了空心圓柱滾子軸承的剛度計(jì)算公式。考慮到彈性復(fù)合圓柱滾子軸承結(jié)構(gòu)上的特殊性，不能直接應(yīng)用上述的研究結(jié)論。本文將在分析計(jì)算彈性復(fù)合圓柱滾子軸承載荷分布的基礎(chǔ)上，利用有限元仿真的方法計(jì)算軸承的受載變形，結(jié)合剛度的定義，推導(dǎo)出彈性復(fù)合圓柱滾子軸承靜態(tài)徑向剛度的計(jì)算公式；再通過彈性復(fù)合圓柱滾子軸承剛度的計(jì)算，分析填充度、外載荷、滾子數(shù)三者對(duì)彈性復(fù)合圓柱滾子軸承剛度的影響規(guī)律，并和空心圓柱滾子軸承的剛度進(jìn)行比較。

1 載荷分布［8］

彈性復(fù)合圓柱滾子軸承結(jié)構(gòu)如圖1所示。彈性復(fù)合圓柱滾子軸承是在空心圓柱滾子軸承的滾動(dòng)體中嵌入聚四氟乙烯材料，用以改善滾動(dòng)體內(nèi)壁的應(yīng)力狀態(tài)，減小內(nèi)壁彎曲疲勞應(yīng)力，提高承載性能［9］，延長軸承的安全服役壽命［8］。為了便于分析計(jì)算，作如下假設(shè)：①軸承內(nèi)外圈均為剛體，不發(fā)生變形；②所有的彈性變形均發(fā)生在滾動(dòng)體上；③軸承外圈靜止，內(nèi)圈在外載荷作用下發(fā)生相應(yīng)的位移；④滾動(dòng)體和內(nèi)部的填充物之間粘結(jié)良好，可看作一個(gè)整體結(jié)構(gòu)。

圖1 彈性復(fù)合圓柱滾子軸承結(jié)構(gòu)圖

軸承在承載過程中受接觸變形等原因的影響，不同位置的滾動(dòng)體所承受的載荷和彈性變形都不同，所以研究在受載情況下的載荷分布具有十分重要的意義。如圖2所示，在不考慮徑向游隙的情況下，軸承在承受徑向載荷Fr時(shí)，內(nèi)圈中心從O點(diǎn)沿徑向移動(dòng)到O′點(diǎn)，相對(duì)于外圈產(chǎn)生徑向位移δ。假設(shè)有一個(gè)滾動(dòng)體的中心位于徑向負(fù)荷的作用線上，取最下面的滾動(dòng)體編號(hào)為0，產(chǎn)生的彈性變形量為δ0（在徑向游隙為0的情況下δ0＝δ），從最下面的滾動(dòng)體向兩邊依次給每個(gè)滾動(dòng)體編號(hào)，則第i個(gè)滾動(dòng)體上產(chǎn)生的理論變形量為δi。

圖2 彈性復(fù)合圓柱滾子軸承受徑向載荷時(shí)的載荷分布

式中，φi為第i個(gè)滾動(dòng)體中心和外圈中心連線與徑向負(fù)荷作用線之間的夾角；N為軸承單邊接觸滾動(dòng)體數(shù)。

根據(jù)軸承整體的受力平衡可得

變形協(xié)調(diào)方程如下：

式中，Z為滾動(dòng)體總數(shù)；t為指數(shù)，線接觸時(shí)，t＝0.9。

聯(lián)立式（2）～ 式（5）并且代入式（1）可求得

其中，對(duì)于圓柱滾子軸承，有

通過式（6）可求得Q0的一個(gè)初始值，再代入式（1）～ 式（5）反復(fù)進(jìn)行迭代運(yùn)算，求得Q0的一個(gè)精確值，最后通過式（3）可求得彈性復(fù)合圓柱滾子軸承在承受徑向載荷時(shí)每個(gè)滾動(dòng)體所承受的載荷。

2 接觸變形有限元仿真計(jì)算

根據(jù) GB／T4661－2002以及 GB／T283－2007來確定本文所要分析的彈性復(fù)合圓柱滾子軸承的各項(xiàng)參數(shù)，如表1所示。

表1 彈性復(fù)合圓柱滾子軸承參數(shù)

應(yīng)用ABAQUS軟件進(jìn)行有限元建模，根據(jù)上述假設(shè)①和假設(shè)②，不考慮內(nèi)外圈的接觸變形，利用文獻(xiàn)［7］中所用方法，將軸承內(nèi)外圈的彈性模量設(shè)置為206TPa（該彈性模量遠(yuǎn)大于滾動(dòng)體外圈彈性模量，接觸變形可忽略），泊松比為0.3。考慮到軸承受力的對(duì)稱性和軸承的滾子數(shù)，在建立模型時(shí)，分別取1／20的軸承內(nèi)外圈和1／2的滾動(dòng)體進(jìn)行分析，在不影響計(jì)算結(jié)果的前提下，將內(nèi)圈的內(nèi)表面和外圈的外表面簡化為平面。采用單元類型為三維二次完全積分單元來對(duì)模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分。由于滾動(dòng)體與內(nèi)外圈接觸區(qū)域的接觸半寬很小，容易產(chǎn)生應(yīng)力集中，將此區(qū)域網(wǎng)格進(jìn)行局部細(xì)劃，而內(nèi)外圈基本不發(fā)生變形，對(duì)計(jì)算結(jié)果影響不大，此區(qū)域網(wǎng)格劃分相對(duì)較粗。在定義相互作用時(shí)，對(duì)滾動(dòng)體外圈和內(nèi)部填充物施加綁定約束；而滾動(dòng)體和滾道之間的接觸采取面面接觸，以內(nèi)外圈接觸面為主面，滾動(dòng)體接觸面為從面，對(duì)內(nèi)外圈與滾動(dòng)體之間分別設(shè)立接觸對(duì)。有限元分析模型如圖3所示。

圖3 彈性復(fù)合圓柱滾動(dòng)體與內(nèi)外圈接觸有限元分析模型

邊界條件的設(shè)置在有限元的分析中起著非常重要的作用。工作過程中軸承外圈與軸承座之間不會(huì)發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，可視為固定，在外圈外表面添加所有自由度的約束；在模型的剖面處施加對(duì)稱約束；在內(nèi)圈的端面處施加軸向的約束。在內(nèi)圈的內(nèi)表面施加總和為Qi／2的均布載荷，內(nèi)圈在邊界條件和徑向載荷的作用下，只能沿著y軸方向移動(dòng)，而這部分位移則會(huì)被滾動(dòng)體和內(nèi)外圈的變形所吸收，即內(nèi)圈在y軸上的位移就是滾動(dòng)體所產(chǎn)生的徑向變形量的大小。

3 剛度計(jì)算公式

軸承的徑向剛度是指軸承內(nèi)外套圈產(chǎn)生單位的相對(duì)彈性位移量所需的外載荷，軸承的徑向剛度等于軸承所受徑向載荷除以徑向變形，結(jié)合載荷分布公式可得

4 計(jì)算結(jié)果及分析

定義滾動(dòng)體的填充度為k，k＝d／D，其中d為填充物的直徑，D為滾動(dòng)體外圈的外徑。取不同徑向載荷和不同填充度的彈性復(fù)合圓柱滾子軸承，結(jié)合載荷分布公式以及彈性變形的有限元計(jì)算結(jié)果，對(duì)彈性復(fù)合圓柱滾子軸承的徑向剛度計(jì)算結(jié)果如表2所示。

表2 不同填充度、不同載荷情況下彈性復(fù)合圓柱滾子軸承的剛度值 MN／m

4.1 填充度對(duì)剛度的影響

填充度是影響彈性復(fù)合圓柱滾子軸承剛度的一個(gè)非常重要的因素，填充度過小則對(duì)軸承的接觸狀態(tài)和變形影響不大［10］，無法體現(xiàn)彈性復(fù)合圓柱滾子軸承的優(yōu)勢(shì)，填充度過大則容易變形過大而產(chǎn)生破壞，本文取填充度從40%到70%的情況來分析。為分析方便，將表2的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，結(jié)果如圖4和圖5所示?？梢钥闯觯涸谙嗤d荷情況下，隨著滾動(dòng)體填充度增大，彈性復(fù)合圓柱滾子軸承的剛度都是迅速減小的；填充度在40%到55%之間，隨著外載荷增大，軸承的剛度都有著明顯的增大趨勢(shì)；填充度在60%到70%之間，隨著載荷增大，軸承的剛度基本上變化不大，在70%時(shí)，剛度甚至趨近于一條水平線。

4.2 徑向載荷對(duì)剛度的影響

徑向載荷是另一個(gè)對(duì)軸承剛度影響很大的參素，從圖4和圖5中可以看出，徑向載荷對(duì)軸承剛度的影響是隨著填充度的不同而不同的。外載荷在30kN到100kN之間時(shí)，隨著填充度增大，軸承的剛度迅速減??；而當(dāng)徑向載荷等于10kN時(shí)，隨著填充度增大，軸承的剛度減小趨勢(shì)明顯變小。徑向載荷越小，隨著載荷增大，對(duì)軸承的剛度提升就越大；徑向載荷越大，隨著載荷增大，對(duì)軸承的剛度提升幅度就越小。

圖4 軸承剛度與填充度的關(guān)系圖

圖5 軸承剛度與徑向載荷的關(guān)系圖

4.3 滾子數(shù)對(duì)剛度的影響

由式（1）～式（6）可知，滾子數(shù)對(duì)軸承的載荷分布有著非常重要的影響，進(jìn)而也影響著軸承的剛度值。表3表明，在相同外載荷和填充度的情況下，隨著滾子數(shù)增多，彈性復(fù)合圓柱滾子軸承的靜態(tài)徑向剛度逐漸增大；填充度越小，滾子數(shù)的增加對(duì)軸承的剛度提升幅度越大，填充度越大，滾子數(shù)的增加對(duì)軸承的剛度提升幅度越小。滾子數(shù)越多，隨著填充度增大，軸承的剛度減小越明顯。

表3 Fr＝47.5kN時(shí)，不同滾子數(shù)、不同填充度情況下彈性復(fù)合圓柱滾子軸承的剛度值 MN／m

4.4 和空心圓柱滾子軸承剛度比較

從表4不難發(fā)現(xiàn)，相同填充度和空心度（即針對(duì)空心圓柱滾子軸承的參數(shù)）的彈性復(fù)合圓柱滾子軸承的剛度一直比空心圓柱滾子軸承大，填充度（空心度）越大，彈性復(fù)合圓柱滾子軸承和空心圓柱滾子軸承的剛度差越大。填充度為40%的彈性復(fù)合圓柱滾子軸承和空心度為40%的空心圓柱滾子軸承的剛度差小于1%，幾乎可以忽略；而填充度為70%的彈性復(fù)合圓柱滾子軸承和空心度為70%的空心圓柱滾子軸承的剛度差約為4%，已經(jīng)不能夠完全忽略。這是由于在填充度較小的時(shí)候，填充度所占的體積比較小，對(duì)軸承的剛度影響不大，隨著填充度增大，填充物所占的體積比越來越大，所承受的力越來越大，對(duì)軸承的影響也就越來越大。

表4 Fr＝47.5kN時(shí)，彈性復(fù)合圓柱滾子軸承和空心圓柱滾子軸承的剛度值比較 MN／m

5 驗(yàn)證

彈性復(fù)合圓柱滾子軸承與實(shí)心圓柱滾子軸承僅在滾子內(nèi)部結(jié)構(gòu)方面存在差異，兩者與內(nèi)圈形成的接觸副的情況相似，可以將分析實(shí)心滾子軸承時(shí)建立的有限元模型用來分析彈性復(fù)合圓柱滾子軸承的接觸問題［11］。反之，用與上述彈性復(fù)合圓柱滾子軸承有限元分析模型相似的方法對(duì)實(shí)心圓柱滾子軸承的接觸變形進(jìn)行有限元分析；分析過程中設(shè)定相同的邊界條件，模型中的內(nèi)外圈材料和彈性復(fù)合圓柱滾子軸承分析時(shí)相同，實(shí)心滾動(dòng)體的材料和彈性復(fù)合圓柱滾子軸承的滾動(dòng)體外圈相同。有限元分析模型如圖6所示。

圖6 實(shí)心圓柱滾動(dòng)體與內(nèi)外圈接觸有限元分析模型

通過有限元計(jì)算得到了實(shí)心圓柱滾子軸承的受載變形的關(guān)系，并和帕姆格林經(jīng)驗(yàn)公式［3］所求得的結(jié)果進(jìn)行比較，所得結(jié)果如圖7所示。

由圖7可見，本文所用的有限元計(jì)算模型在計(jì)算實(shí)心圓柱滾子軸承接觸變形時(shí)所得結(jié)果與帕姆格林理論公式所求的結(jié)果基本接近，充分說明了本文所用的有限元計(jì)算模型用于計(jì)算軸承滾動(dòng)體的接觸變形是比較可靠的，求解的精度也能符合計(jì)算的標(biāo)準(zhǔn)。

圖7 軸承實(shí)心圓柱滾子軸承接觸變形有限元計(jì)算值與理論值比較

6 結(jié)論

（1）填充度在40%到55%之間，隨著外載荷增大，軸承的剛度有著明顯的增大趨勢(shì)；填充度在60%到70%之間，隨著載荷增大，軸承的剛度基本上變化不大，填充度為70%時(shí)，軸承的剛度甚至趨近于一條水平線。

（2）外載荷較大，隨著填充度增大，軸承的剛度迅速減小；而當(dāng)外載荷較小時(shí)，隨著填充度增大，軸承的剛度減小趨勢(shì)明顯變小。外載荷越小，隨著載荷增大，對(duì)軸承的剛度提升就越大；外載荷越大，隨著載荷增大，對(duì)軸承的剛度提升就越小。

（3）填充度較小的情況下，滾子數(shù)的增加對(duì)軸承的剛度提升幅度比較大；填充度較大的情況下，滾子數(shù)的增加對(duì)軸承的剛度提升幅度比較小。

（4）相同填充度和空心度的彈性復(fù)合圓柱滾子軸承的剛度一直比空心圓柱滾子軸承大，填充度（空心度）越大，彈性復(fù)合圓柱滾子軸承和空心圓柱滾子軸承的剛度差越大。

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