周孝華，姬新龍，馬 寧

（重慶大學 經(jīng)濟與工商管理學院，重慶 400030）

一、引 言

在險價值（VaR）自被引入風險管理領(lǐng)域以來，因其直觀、易理解的特點，已經(jīng)成為一種標準的風險管理工具，被金融機構(gòu)和監(jiān)管當局廣泛采用。而選擇合適的金融資產(chǎn)收益率分布，關(guān)系到VaR模型的有效性和合理性，已經(jīng)成為學者們研究的熱門問題。

傳統(tǒng)的計量VaR方法都是以正態(tài)分布為基礎(chǔ)，而現(xiàn)實的金融數(shù)據(jù)經(jīng)常表現(xiàn)為尖峰、厚尾和不對稱性，這就為VaR計算帶來較大的誤差。學者們對該問題展開了大量研究，相繼提出用t分布、混合正態(tài)分布、一般誤差分布、g－h(huán)分布等擬合收益序列，然而這些分布的使用條件都有一定的局限性。Barndorff－Nielsen提出了廣義雙曲線分布［1］。它是一種半厚尾的分布，并且具有良好的統(tǒng)計特性，常見的正態(tài)分布、t分布和gamma分布等都是它的極限形式。廣義雙曲線分布具有5個參數(shù)，根據(jù)參數(shù)的不同衍生出一些子類，如雙曲線分布和正態(tài)逆高斯分布等，共同構(gòu)成了一個非常靈活的分布族，可以更好地擬合金融收益分布的尖峰、厚尾和偏斜等特征。由于廣義雙曲線分布具有良好的統(tǒng)計特性，使其在金融領(lǐng)域中得到了廣泛應用，一些學者提出了廣義雙曲線學生偏t分布，并取得不錯的研究效果。

另一方面，當前學者們討論最廣泛的就是在GARCH模型的框架下，標準化殘差的分布函數(shù)設(shè)定取得VaR的值。GARCH類模型在面對金融時間序列高峰厚尾、杠桿效應等顯著特征時對VaR的測度亦顯得脆弱［2］。而SV類模型對金融時序的刻畫能力具有比GARCH類模型更大的優(yōu)勢，對金融市場波動特征的擬合效果更好［3］。另外，由于VaR方法是對正常市場交易情況下風險的度量，而極端市場情況下VaR的計量已經(jīng)引起了學者們的注意。近年來，許多研究風險度量的學者紛紛利用極值理論（EVT）進行VaR估計［4］。極值理論不考慮序列的整體分布情況，只關(guān)心序列的極值分布情況，在極端條件下，用極值理論方法得到的VaR估計值與經(jīng)驗分布非常接近，提供了超越樣本的預測能力，比常用方法具有更大的優(yōu)越性［5］。目前，國內(nèi)用極值理論對金融資產(chǎn)的風險測度大多集中于資產(chǎn)收益的正態(tài)分布、GARCH模型等方面，少量涉及到SV類模型，應用廣義雙曲線學生偏t分布的SV模型與極值理論相結(jié)合的還沒有［6］。

SV－GHSKt模型是基于廣義雙曲線學生偏t分布（GHSKt）的SV類模型，能充分反映資產(chǎn)收益的非對稱厚尾性及杠桿效應等特征。本文的創(chuàng)新表現(xiàn)在：從動態(tài)角度考慮VaR時間序列的特征，首次把廣義雙曲線學生偏t分布（GHSKt）引入隨機波動模型，通過構(gòu)建SV－GHSKt模型擬合資產(chǎn)收益的非對稱厚尾性及杠桿效應等特征，然后與極值理論相結(jié)合擬合金融資產(chǎn)收益的尾部特征，進而組建新的風險度量模型!!基于SV－GHSKt－POT的動態(tài)VaR模型，最后對模型的有效性進行檢驗。

二、SV－GHSKt模型及參數(shù)估計

（一）模型構(gòu)建

為了刻畫金融時間序列的尖峰厚尾性，Taylor提出了基本的SV模型，SV模型與金融理論中資產(chǎn)定價的擴散過程直接相關(guān)，其特點是在它的方差表達式中引入了隨機過程，因而被認為是刻畫金融資產(chǎn)波動性最理想的模型之一。在基本的SV模型基礎(chǔ)上，Yu提出了帶有杠桿效應的SV模型如下［7］：

其中εt和ηt是誤差項，ρ為相關(guān)系數(shù)，兩個誤差項的關(guān)系滿足：corr（εt，ηt）＝ρ。當ρ為零時，即為基本SV模型，當ρ＜0時表示存在杠杠效應；yt是在t日的收益，也是鞅差分過程；ht表示t日的對數(shù)波動；φ為持續(xù)性參數(shù)，反映了當前波動對未來波動的影響，對于φ＜1，SV模型是協(xié)方差平穩(wěn)的。

為了把杠桿效應和非對稱厚尾性都在模型中表現(xiàn)出來，我們這里借鑒Nakajima的研究成果［8］，用廣義雙曲線學生偏t分布的變量ωt取代正態(tài)變量εt，具體形式如下：

其中IG表示逆則伽馬分布，ν表示分布的自由度，（β，ν）值的大小直接影響金融收益序列的尖峰厚尾性。把式（2）帶入式（1）得到具體的SV－GHSKt模型：

（二）參數(shù)估計

為了估計SV－GHSKt模型的參數(shù)，首先應得到模型的似然函數(shù)。設(shè)模型的待估參數(shù)為θ＝（φ，σ，μ，ρ，β，ν），然后由全概率公式得到收益率序列yt在給定參數(shù)θ下的密度函數(shù)：

其中犚t－1表示收益序列在t－1時間的歷史信息。從式（4）可以看出，基于廣義雙曲線分布的SV模型的密度函數(shù)形式復雜，參數(shù)估計非常困難，對其進行極大似然估計是一個高度非線性、具有大量局部最優(yōu)陷阱的優(yōu)化問題。這樣常規(guī)的參數(shù)估計方法就遇到了困難，但利用計算機仿真的方法估計模型SV－GHSKt的參數(shù)，具體做法就是采用基于 MCMC的貝葉斯推斷，根據(jù)極大似然估計思想，在遺傳算法中引入模擬退火算法，來最大化基于廣義雙曲線分布SV模型的對數(shù)似然函數(shù)，以求得其參數(shù)。收斂性檢驗表明，該算法是穩(wěn)定和可靠的［9］。采用Kim等的經(jīng)驗［10］，選取以下分布作為先驗分布：

三、基于SV－GHSKt－POT的動態(tài)VaR模型

（一）動態(tài)VaR模型

設(shè)pt是t時刻的金融資產(chǎn)價格，則其在t時刻的對數(shù)收益yt＝lnpt－lnpt－1，令該收益序列的密度函數(shù)為f（y），則置信水平1－α下的VaR表示如下：

當采用了動態(tài)模型時，資產(chǎn)回報的波動具有異方差性，不適宜直接由分布計算其VaR值，而是將資產(chǎn)收益yt轉(zhuǎn)化為標準殘差Zt，便可通過Zt的VaR值預測yt的VaR值，進而得到置信水平1－α下，資產(chǎn)收益yt動態(tài)VaR的計算公式：

其中μ為期望收益，σt表示第t天的波動預測，VaR（Z）α表示殘差項Zt在分位數(shù)為α時的風險價值。

（二）構(gòu)造標準殘差序列

極值理論中常用的是POT模型，由于資產(chǎn)收益的波動是時變的且可能存在一定程度的相關(guān)性，不宜直接采用POT方法擬合尾部分布，因此根據(jù)Mcneil和Frey等的研究成果，雖然金融市場的收益或損失序列不滿足獨立同分布特征，但其標準殘差序列卻能近似滿足這一特征［11］。當采用動態(tài)模型時，資產(chǎn)回報的波動具有異方差性，不適宜直接由分布計算其VaR值。因此，考慮對標準殘差項zt做尾部擬合，需要將資產(chǎn)收益yt轉(zhuǎn)化為標準殘差Zt。根據(jù)MCMC方法估計出的參數(shù)值，計算出收益序列的條件均值t和條件方差，則標準殘差序列為：

（三）基于SV－GHSKt－POT的動態(tài)VaR模型

接下來運用極值理論的POT模型擬合標準殘差序列的尾部分布，這里定義u為閥值，γ為超閥值數(shù)據(jù)，依據(jù)PBH定理［12］，可進一步將GPD分布函數(shù)引入式（8），則γ的累積分布函數(shù)可近似表示為：

其中β為尺度參數(shù)，ξ∈R為形狀參數(shù)。當ξ≥0時，y≥0；ξ＜0時，0≤γ≤β／ξ。ξ的不同取值決定了分布的厚度，ξ越大尾部越厚，ξ越小尾部越薄。為了估計POT模型的參數(shù)，首要的是選擇合理的閥值參數(shù)u，然后用極大似然估計法估計參數(shù)ξ和β。在取得閥值之后，對POT模型進行極大似然估計，則得到標準殘差序列的厚尾分布為：

為了處理方便，閥值的累積分布函數(shù)由（N－n）／N近似替代，N表示樣本總數(shù)，而n表示高于閥值的標準殘差數(shù)，則置信水平為1－α時的標準殘差序列分位數(shù)為：

把式（10）帶入式（6）得到在給定的置信水平1－α下，基于SV－GHSKt－POT模型的動態(tài)VaR為：

四、實證研究

（一）樣本選取及統(tǒng)計特征描述

本文以上證綜合指數(shù)（以下簡稱SSEC）每日收盤價為研究對象，考慮到我國證券市場漲停板制度給股票交易初始期帶來的噪聲交易影響，我們選取1996年12月26日至2012年3月5日為樣本考察期，共3 673個樣本，數(shù)據(jù)來源于雅虎財經(jīng)網(wǎng)站。而為了樣本數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性和精確性，采用對數(shù)收益率的100倍，即Xt＝100＊ln（pt／pt－1），pt為t時刻的指數(shù)的日收盤價。

圖1 SSEC收益序列圖

圖2 SSEC指數(shù)條件收益QQ圖

表1 上證綜合指數(shù)收益率的統(tǒng)計特征

圖1、圖2和表1給出了上證綜合指數(shù)收益序列的描述性統(tǒng)計，圖2是SSEC指數(shù)條件收益率的QQ圖。從中可以直觀地看出，SSEC條件收益率具有有偏性。從表1中可以看出，上證綜指收益均值均接近于0，偏度都為負，峰度大于3，這說明上證綜指收益率左偏且具有明顯的尖峰厚尾特征；J－B正態(tài)性檢驗也說明收益率顯著異于正態(tài)分布。從圖1可以看出，上證綜指具有典型的尖峰厚尾特點，且呈現(xiàn)非對稱的分布，還有就是收益率的序列呈現(xiàn)一定的集聚性和爆發(fā)性。

（二）模型參數(shù)估計及檢驗

1．參數(shù)估計及收斂性診斷。首先對SVGHSKt模型的參數(shù)做貝葉斯估計，MCMC的Gibbs的抽樣次數(shù)為50 000次，由于 Markov鏈收斂前的一段時間的迭代中，各狀態(tài)的邊際分布還不能認為是平穩(wěn)的，因而選擇“燃燒”舍去前25 000個抽樣值，用后25 000次的抽樣作為各參數(shù)的穩(wěn)定分布抽樣，參數(shù)估計結(jié)果如表2所示。

表2 SV－GHSKt模型的估計結(jié)果

從表2可以看到，ρ小于零表明序列存在杠桿效應，φ接近1體現(xiàn)了序列的波動集聚性，υ的估計值為14．524 0以及β不等于0表明上證綜合指數(shù)收益率具有不對稱厚尾性，因此，總的來說，SV－GHSKt模型對上證綜指收益率序列的擬合效果還是可以的。而采用 MCMC估計，參數(shù)估計值序列的收斂性診斷異常重要，如果一個參數(shù)估計值序列不收斂，那就意味著它不會圍繞一個值來波動，方差將會很大，也就是等價于一個回歸模型中的回歸參數(shù)的t值非常小，從而無法通過統(tǒng)計檢驗?；诖?，我們要對SV－GHSKt模型進行收斂性診斷。

由表2可以看到，各個參數(shù)的MC誤差遠小于標準差，由此可以得到一個初步的結(jié)論，參數(shù)的估計趨于收斂。為了進一步證實這個判斷，我們這里采用更為精確的方法G－R（Gelman－Rubin）收斂性診斷方法［13］16－17。Gelman－Rubin診斷方法以正態(tài)理論逼近為基礎(chǔ)，最終得到一個判斷收斂性的診斷統(tǒng)計量R，一般來說，＞1，當 Markov鏈趨于收斂時應趨近于1。表2已經(jīng)給出了G－R檢驗統(tǒng)計量，可以看出各個變量的G－R檢驗統(tǒng)計量均在1．0～1．1之間，因此，可以認為模型各個參數(shù)的樣本分布已經(jīng)收斂到其后驗分布，即采用MCMC穩(wěn)態(tài)模擬估計模型參數(shù)是有效的。

2．標準殘差序列的EVT建模及檢驗。接下來做標準殘差序列的POT參數(shù)估計。把上文的參數(shù)估計結(jié)果代入式（7）得到標準殘差序列Zt，對標準殘差序列進行檢驗，發(fā)現(xiàn)標準殘差序列是獨立的、穩(wěn)定的，不存在自相關(guān)性，由此說明POT方法應用于Zt的VaR計算是合適的。在對標準殘差進行POT建模之前，先要確定閥值u。通常估計閥值u的方法有3種：超額平均函數(shù)法、將閥值設(shè)定為標準殘差序列的90%分位數(shù)和峰度法?？紤]到閥值的選取對參數(shù)估計精確度的影響，先選擇峰度法，然后再與超額平均函數(shù)法對比（考慮到篇幅，我們僅列舉下尾的平均超額函數(shù)圖見圖3），進而確定閥值，最后通過極大似然估計法得標準殘差尾部GPD分布的參數(shù)值，參數(shù)估計的結(jié)果如表3。

圖3 標準殘差下尾平均超額函數(shù)圖

表3 上證綜指標準殘差序列的POT參數(shù)估計

應用POT模型做參數(shù)估計是否合理，需要對參數(shù)估計結(jié)果做檢驗。圖4給出了標準殘差Zt下尾分布擬合結(jié)果診斷的超額分布圖、尾部分布圖、殘差散點圖和殘差QQ圖。從超額分布圖和尾部分布圖可以看出，除個別點外，整體擬合的效果較好；從殘差散點圖和殘差QQ圖可以看出，擬合曲線均穿過散點密集區(qū)，散點緊密圍繞直線分布，表明POT模型擬合尾部極值狀態(tài)較好。因此，這里認為模型的選取是合適的，參數(shù)的估計是較為精確的。

為了進一步檢驗POT擬合方法的有效性，這里采用Choulakian等提出的擬合優(yōu)度檢驗［14］。基本原理為：根據(jù)POT模擬方法估計的參數(shù)，計算Cramer－von統(tǒng)計量W2和 Anderson－Darling統(tǒng)計量A2，進而求出相應的P值，當W2和A2對應的P值都大于0．1的時候，說明尾部數(shù)據(jù)對應的閥值選取是合理的，POT方法對尾部的擬合是有效的，模型的選取是合適的。依據(jù)我們上面估計的參數(shù)，計算擬合優(yōu)度檢驗相應的統(tǒng)計量（見表4）。

表4 POT方法的擬合優(yōu)度檢驗統(tǒng)計量

由表4可見，上證綜合指數(shù)的擬合優(yōu)度兩個統(tǒng)計量相對應的P值都大于0．1，根據(jù)Choulakian等提出尾部數(shù)據(jù)的選取標準，說明POT模型對尾部數(shù)據(jù)的擬合是合理的。因此，總的來說，閥值的選取是合適的，用POT模型擬合尾部數(shù)據(jù)是可行的，基于POT方法對SV模型做VaR分析是合理的。

圖4 標準殘差下尾分布的擬合效果圖

（三）模型風險值的度量及效果檢驗

1．上證綜指極值風險度量。基于前述分析，依據(jù)極大似然法估計出參數(shù)，為了比較分析方便，我們用POT模型擬合收益率序列的VaR和標準殘差序列的VaR。

從表5分析可以看出，直接由SSEC收益率擬合的風險值顯著高于基于標準殘差序列的對應值，這說明在收益率序列不是獨立同分布的情況下，直接應用GPD對超閾值進行擬合低估了真實的市場風險，同時也說明基于收益率序列得到的風險值更為保守。因此，可考慮采用獨立同分布的標準殘差序列來計算SV－GHSKt－POT的尾部風險值，然后將得到的靜態(tài)POT模型下的尾部風險值代入公式（11），則相應得到在SV－GHSKt－POT模型下的動態(tài)VaR。接下來對SV－GHSKt－POT模型有效性做進一步分析。

表5 不同置信水平下SSEC的VaR

2．SV－GHSKt－POT模型效果檢驗。為了檢驗模型的VaR預測精度，采用Kupiec的失敗頻率檢驗法來進行準確性檢驗。它的基本思想是，如果VaR模型計算值是準確的，那么實際損失超過VaR值的例外情況可視為一個二項分布中的獨立事件，一個成功事件記為1，反之一個失敗的事件記為0。Kupiec給出了這種檢驗方法的置信域，在置信域內(nèi)失敗次數(shù)越低，模型的預測效果越好，但失敗次數(shù)過低，卻意味著模型過于保守。依次選擇置信度為0．90、0．95、0．99，分別用基于 SV－GHSKt－POT的動態(tài)VaR模型與基于SV－t－POT的VaR模型與POT的靜態(tài)VaR模型預測上證綜指數(shù)據(jù)樣本的VaR值，然后與實際VaR值對比做后驗測試，檢驗結(jié)果見表6。

表6 VaR失敗率的Kupiec檢驗結(jié)果（T＝250）

由表6看出，置信度越高，各模型通過檢驗的失敗次數(shù)越少，其中SV－GHSKt－POT模型和POT模型的表現(xiàn)更好；在相同的置信度下，基于SVGHSKt－POT的動態(tài)VaR模型相比SV－t－POT的VaR模型具有更少的失敗次數(shù)，對VaR的預測效果更好。同時，根據(jù)Kupiec檢驗法，盡管基于POT的靜態(tài)VaR模型具有更少的失敗次數(shù)，但由于失敗次數(shù)太少而造成了對VaR的估計過于保守，從而使風險高估。顯然，基于SV－GHSKt－POT的動態(tài)VaR測度模型對上證綜指的風險度量更加合理而準確。

五、結(jié) 論

本文應用EVT理論與SV－GHSKt模型結(jié)合建立基于SV－GHSKt－POT的動態(tài)VaR測度模型，并實證分析了上證綜指的極值風險。研究表明，該模型能有效刻畫股票市場的波動性特征，對市場風險的預測能力較強。同時，后驗測試表明，基于SV－GHSKt－POT的動態(tài)VaR模型比以往的SV－t－POT的VaR模型更有效，比基于POT的靜態(tài)VaR模型更具合理性，并且在高的置信水平下表現(xiàn)更好。

在對金融市場的尖峰厚尾、杠桿效應等特征的刻畫方面，SV－GHSKt－POT模型相比于其它異方差模型、簡單SV類模型更具優(yōu)勢，而POT方法則能有效捕捉序列的尾部特征。我們這里將兩者有效地結(jié)合，形成了新的VaR測度模型，為大多數(shù)帶有尖峰厚尾、隨機波動、異方差、杠桿效應等特征的金融資產(chǎn)的風險測度提供了更為實用的新方法。

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