王 剛

(山西路橋東二環(huán)高速公路有限公司，山西 太原 030006)

0 引言

隨著社會經(jīng)濟(jì)的迅猛發(fā)展，交通行業(yè)的重要性日益凸顯，橋梁的建設(shè)和運(yùn)營亦如火如荼。橋梁的建設(shè)施工和運(yùn)營過程中，在材料、溫度、風(fēng)速、荷載變換及地震等因素的影響下，橋梁容易發(fā)生各類結(jié)構(gòu)變化，極易產(chǎn)生潛在的風(fēng)險(xiǎn)因素進(jìn)而導(dǎo)致橋梁事故的發(fā)生。因此，橋梁的健康監(jiān)測越來越受到重視。

然而，在橋梁的健康監(jiān)測中，信號極易受各類環(huán)境因素的干擾和影響，導(dǎo)致采集的信號中含有大量雜亂無章的噪聲和突變。因此，橋梁監(jiān)測信號的去噪處理顯得尤為重要。

小波變換(Wavelet Transform)是近年來迅速發(fā)展的一個(gè)新領(lǐng)域[1]。它作為一種多尺度分析工具，不僅很好地繼承了傅里葉變換，更是完善了傅里葉變換。與傅里葉變換相比，它的主要優(yōu)勢在于能夠?qū)⑿盘栠M(jìn)行分解，分解為與原函數(shù)不同位移及分辨率的小波函數(shù)形式，細(xì)化分析問題部分的信息，從而對原信號進(jìn)行多尺度細(xì)化分析。因此，小波變換又有“數(shù)學(xué)顯微鏡”之稱，可用來分析非平穩(wěn)信號[2]。小波分析在諸多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，包括量子力學(xué)、圖像處理、信號分析、橋梁健康監(jiān)測等，并取得豐碩的成果[3]。

1 小波分析理論

1.1 傅里葉變換

傅里葉變換的核心內(nèi)容就是將信號分解為若干個(gè)不同頻率連續(xù)正弦波，并且將這些分解出來的正弦波相互疊加[4]。通過這一變換，可以分析出信號中各頻率的成分。傅里葉變換作為純頻域分析方法，其缺點(diǎn)也是顯而易見的，即無法辨別信號中的時(shí)域部分。

傅里葉變換公式如下：

(1)

1.2 小波變換

小區(qū)域的波即為小波。母小波的定義為：設(shè)ψ(t)∈L2(R)為可積函數(shù)，則其傅里葉變換F(ω)滿足：

(2)

母小波具有波動(dòng)性和帶通性。

若母小波是連續(xù)的，則可得到如下關(guān)系

(3)

在對非平穩(wěn)信號進(jìn)行分析時(shí)，小波變化具有傅里葉變化所不具備的時(shí)頻分析局部化能力。此外，正交、二進(jìn)小波變換對頻域進(jìn)行分析時(shí)，具有分割二進(jìn)頻帶的能力。

2 小波分析在去噪方面的應(yīng)用

在橋梁的監(jiān)測過程中，受環(huán)境等多重因素的影響，導(dǎo)致監(jiān)測信號中都帶有噪聲，這對橋梁的監(jiān)測是不利的[6]。小波分析就是依靠其較強(qiáng)的去相關(guān)性，對橋梁監(jiān)測中的信號進(jìn)行小波變換，將原始信號和噪聲進(jìn)行有效分析。通過小波分解，根據(jù)幅值的大小對噪聲和有效信息進(jìn)行區(qū)分，從而做到將絕大部分噪聲去除。

2.1 小波分析去除奇異點(diǎn)

傅里葉變換作為研究函數(shù)奇異性的一種方法，其缺點(diǎn)較為明顯，即缺乏時(shí)域局部分析能力[7]。傅里葉變換在研究函數(shù)奇異性時(shí)，只能確定其整體性質(zhì)而不能準(zhǔn)確確定奇異點(diǎn)的時(shí)域位置和分布，因此傅里葉變換不具備局部分析的能力。

小波分析具有很強(qiáng)的時(shí)域局部化能力，可用來分析信號奇異點(diǎn)的時(shí)域位置和分布。

本文采集了部分原始信號波形，并計(jì)劃使用小波分析檢測其中的奇異點(diǎn)，同時(shí)將奇異點(diǎn)進(jìn)行消除。如圖1所示，在T=1 195和T=1 211處存在奇異點(diǎn)。擬使用db3小波對信號進(jìn)行局部的分解，得到細(xì)節(jié)信號圖，如圖2所示。從圖2中可以看出，細(xì)節(jié)信號d1、d2中包括了奇異點(diǎn)。在對信號進(jìn)行重構(gòu)時(shí)，將d1、d2及d3消除，可得到圖3。對比圖1及圖3可以發(fā)現(xiàn)，奇異點(diǎn)已經(jīng)基本消除。

圖1 原始信號波形圖

圖2 小波分解的細(xì)節(jié)信號波形圖

圖3 消除奇異點(diǎn)后的波形圖

如圖4所示，本文采集了含奇異點(diǎn)的原始信號。為了確定該奇異點(diǎn)的具體時(shí)間點(diǎn)，采用haar小波對其進(jìn)行小波變換。先用矩陣將原始信號進(jìn)行表值，其大小為1×1 024，精度為雙精度。

圖4 原始信號示意圖

對原始信號采用小波變換，采用db6小波，尺度范圍為1～32之間。其處理后圖像如5所示。

圖5 db6連續(xù)小波變換后系數(shù)圖

從圖6可看出，經(jīng)haar連續(xù)小波變換后的圖，可明顯在T=715時(shí)發(fā)現(xiàn)一個(gè)倒錐圖形。因此，可判斷出該區(qū)域內(nèi)存在奇異突變點(diǎn)。

圖6 haar連續(xù)小波變換后系數(shù)圖

2.2 小波閥值去噪

2.2.1 閥值選取

閥值的選取在信號去噪的過程中至關(guān)重要[8]。我們將原始信號記為f(t)，其小波系數(shù)為ωjk，通常將其簡記為ω。將運(yùn)用閥值處理后的系數(shù)記為η(ω)，η(ω)為閥值函數(shù)。通常，我們在選用閥值時(shí)有硬閥值和軟閥值兩類函數(shù)。

硬閾值函數(shù)：

(4)

軟閾值函數(shù)：

(5)

在ωT時(shí)，硬閥值和軟閥值的處理就有所區(qū)別。硬閥值在|ω|>T時(shí)，全部保留ω值，這樣可以完整地留下原信號的邊緣特征。但在|ω|=T時(shí)，采用硬閥值處理原信號函數(shù)會導(dǎo)致信號重構(gòu)時(shí)產(chǎn)生震蕩現(xiàn)象。相比硬閥值，軟閥值在|ω|>T時(shí)對ω進(jìn)行收縮處理，這雖然可以使系數(shù)的連續(xù)性更好，但卻使得η(ω)與ω之間存在恒定的差值。這些差值會在后續(xù)的重構(gòu)中，影響其性質(zhì)。

針對兩類閥值的優(yōu)缺性，選用合適的閥值，或結(jié)合兩類閥值的優(yōu)缺點(diǎn)進(jìn)行改造，構(gòu)造出去噪效果更佳的閥值函數(shù)。

2.2.2 閥值估計(jì)

在去噪過程中，無論選用軟閥值還是硬閥值，都需要確定其閥值[9]。因此閥值的選取至關(guān)重要，直接影響重構(gòu)信號的準(zhǔn)確值。若選取的閥值偏小，則難以有效去除噪音；若選取的閥值偏大，則會導(dǎo)致原始信號中有效信號丟失。我們通常采用以下閥值公式：

(6)

其中，T——噪聲函數(shù)；N——信號長度。

在實(shí)際的去噪過程中，通常T需要隨著信號函數(shù)的改變而改變。因此，在T值的選取中，需要將信號函數(shù)的平穩(wěn)性和信噪比考慮進(jìn)去。在面對平穩(wěn)性較差的信號時(shí)，T應(yīng)當(dāng)選取較小值；當(dāng)信號的平穩(wěn)性較強(qiáng)時(shí)，則應(yīng)選取較大的T值。當(dāng)信號的信噪比較大時(shí)，應(yīng)選取較小的T值；當(dāng)信號的信噪比較小時(shí)，應(yīng)選取較大的T值。

3 仿真實(shí)測信號分析

本文選取橋梁監(jiān)測過程中的部分動(dòng)應(yīng)變信號數(shù)據(jù)，對其進(jìn)行去噪處理分析。選用幾類常見的小波基及閥值對信號數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，得到以下數(shù)據(jù)，如表1所示。

表1 去噪效果對比表

通過對表1中的數(shù)據(jù)進(jìn)行簡單的對比分析可知，對于實(shí)測的動(dòng)應(yīng)變信號而言，小波基bior3.1在進(jìn)行6層分解后能夠取得最高的信噪比27.451 2，故采用bior3.1作為本次信號實(shí)測分析的小波基。

圖7 高頻系數(shù)圖

圖8 低頻系數(shù)圖

多尺度分解如圖7～8所示。其中，a1～a6及d1～d6分別為原始動(dòng)應(yīng)變信號經(jīng)各層分解后的低、高頻信號。

在經(jīng)過6層小波分解后，容易辨別出該原始動(dòng)應(yīng)變信號的峰值以及該段突變段的起點(diǎn)及終點(diǎn)。而選擇了bior3.1作為本次的小波基函數(shù)后，接著進(jìn)行閥值規(guī)則的選擇。通常，一般選用Rigrsure、Heursure、Sqtwolog和Minimaxi等閥值規(guī)則，用于對局部信號的閥值預(yù)估，分別采用軟、硬閥值對分層處理后的信號進(jìn)行處理[10-11]。將經(jīng)軟、硬閥值處理后的信號進(jìn)行重構(gòu)，得到去噪后的信號。

下表為四種閾值規(guī)則對動(dòng)應(yīng)變信號去噪的效果對比。

表2 去噪的效果對比表

通過對表2進(jìn)行簡單的數(shù)據(jù)對比可以發(fā)現(xiàn)，Rigrsure規(guī)則或Heursure規(guī)則可以得到較高的信噪比和per值。因此，本文在后期的小波閥值去噪過程中采用Rigrsure規(guī)則。采用Rigrsure閥值規(guī)則對信號分別采用軟、硬閥值去噪，如圖9所示。

圖9 軟硬閾值去噪對比圖

對比圖9中的原始信號、軟閥值去噪和硬閥值去噪可以發(fā)現(xiàn)，原信號中存在大量的噪聲，而在采用了Rigrsure閥值規(guī)則進(jìn)行小波軟、硬閥值去噪后，有效減少了噪聲。將軟、硬閥值的去噪效果進(jìn)行對比可以發(fā)現(xiàn)，軟閥值去噪后的波形比較平滑；而硬閥值處理后的波形則存在著突變的點(diǎn)及不連續(xù)現(xiàn)象。因此，本文采用軟閥值進(jìn)行后續(xù)的去噪工作。將原信號及經(jīng)軟閥值去噪后的信號進(jìn)行傅里葉變換，得到頻譜圖10。

圖10 頻域?qū)Ρ葓D

對圖10進(jìn)行觀察可以發(fā)現(xiàn)，經(jīng)傅里葉變換后的頻域圖和原信號的頻域圖十分接近。經(jīng)傅里葉變換后的頻域圖毛刺圖像明顯減少、波形更加平滑，表明基于Rigrsure閥值規(guī)則的小波去噪方法對動(dòng)應(yīng)變信號的去噪效果明顯。

4 結(jié)語

本文主要介紹了小波分析理論在實(shí)際采集數(shù)據(jù)案例中的應(yīng)用。通過對小波變換和傅里葉變換的對比，發(fā)現(xiàn)了小波變換在時(shí)域局部化分析方面的獨(dú)特優(yōu)勢。同時(shí)，介紹了小波分析在橋梁監(jiān)測信號去噪方面的應(yīng)用，包括小波分析去除奇異點(diǎn)和小波閥值去噪。最后，運(yùn)用小波分析方法，對采集的橋梁動(dòng)應(yīng)變監(jiān)測信號進(jìn)行分析處理。不同的小波基、閥值規(guī)則和軟、硬閥值的處理方法都會對去噪效果產(chǎn)生影響，針對此次采集的動(dòng)應(yīng)變信號，采用bior3.1小波基能取得最高的信噪比。同時(shí)，在此基礎(chǔ)上采用Rigrsure閾值規(guī)則能得到信噪比和per值。最后，通過軟、硬閥值處理結(jié)果的對比，選定去噪效果更佳、波形更為平滑的軟閥值作為去噪方式。

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