莫海平

（綏化學(xué)院 黑龍江綏化 152061）

一、引言

實(shí)變函數(shù)是數(shù)學(xué)相關(guān)專業(yè)的一門重要專業(yè)基礎(chǔ)課程，這門課程對(duì)于培養(yǎng)數(shù)學(xué)專業(yè)人才和不同層次的數(shù)學(xué)教師都會(huì)發(fā)生潛移默化的，不可估量的積極影響。實(shí)變函數(shù)課程理論體系的嚴(yán)謹(jǐn)性，思維方法的抽象性，問(wèn)題論證的技巧性，內(nèi)容應(yīng)用的廣泛性，使得學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)實(shí)變函數(shù)課程既有熱情又信心不足，提升學(xué)生學(xué)習(xí)實(shí)變函數(shù)課程的效果總是存在巨大的空間。對(duì)于綏化學(xué)院一類新建地方本科院校的數(shù)學(xué)相關(guān)專業(yè)來(lái)說(shuō)問(wèn)題尤其突出。掌握實(shí)變函數(shù)的基本概念和基本方法是這一類高校實(shí)變函數(shù)課程教學(xué)的基本目標(biāo)，要實(shí)現(xiàn)這個(gè)基本目標(biāo)并達(dá)到令人比較滿意的教學(xué)效果，是一個(gè)需要不斷認(rèn)真研究并在教學(xué)實(shí)踐中努力探索的艱巨任務(wù)；如何達(dá)到學(xué)生掌握實(shí)變函數(shù)的基本概念和基本方法，進(jìn)而掌握實(shí)變函數(shù)的基本技巧并把實(shí)變函數(shù)基本理論應(yīng)用于理解其他相關(guān)課程中去，這是實(shí)變函數(shù)課程建設(shè)的基本問(wèn)題。綏化學(xué)院開(kāi)設(shè)實(shí)變函數(shù)課程三十多年圍繞上述建設(shè)目標(biāo)解決上述基本問(wèn)題進(jìn)行了不懈的努力，做了一些值得總結(jié)和肯定的工作。本文針對(duì)綏化學(xué)院實(shí)變函數(shù)課程建設(shè)的研究與實(shí)踐的若干問(wèn)題進(jìn)行討論，以期對(duì)綏化學(xué)院一類新建地方本科院校實(shí)變函數(shù)課程建設(shè)和教學(xué)改革起到借鑒作用。

二、綏化學(xué)院實(shí)變函數(shù)課程建設(shè)的歷史沿革與定位

綏化學(xué)院實(shí)變函數(shù)課程建設(shè)有很悠久的歷史。學(xué)校曾經(jīng)培養(yǎng)1977級(jí)數(shù)學(xué)專業(yè)本科生，從那一屆學(xué)生就開(kāi)始開(kāi)設(shè)實(shí)變函數(shù)課程了。

1978年，學(xué)校進(jìn)入綏化師范?？茖W(xué)校建設(shè)時(shí)期，從1980級(jí)開(kāi)始培養(yǎng)三年制數(shù)學(xué)教育專業(yè)?？粕?，實(shí)變函數(shù)列為必修課程。從1978級(jí)到1979級(jí)、1986級(jí)到1989級(jí)，學(xué)校培養(yǎng)二年制數(shù)學(xué)教育專業(yè)?？粕?，實(shí)變函數(shù)列為專業(yè)選修課程。從1990級(jí)到2007級(jí)的數(shù)學(xué)教育專業(yè)?？粕约?000級(jí)以來(lái)的數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)本科生，實(shí)變函數(shù)一直是專業(yè)必修課程。

為貫徹落實(shí)學(xué)?！敖ㄔO(shè)應(yīng)用型大學(xué)，培養(yǎng)應(yīng)用型人才”的辦學(xué)思想，數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的人才培養(yǎng)方案加強(qiáng)了實(shí)踐教學(xué)環(huán)節(jié)，幾乎每門課程或削減理論教學(xué)時(shí)數(shù)而增加實(shí)踐教學(xué)時(shí)數(shù)，或整體上削減教學(xué)時(shí)數(shù)。從2008級(jí)的數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)和信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)開(kāi)始，實(shí)變函數(shù)課程的計(jì)劃教學(xué)時(shí)數(shù)由原來(lái)的72學(xué)時(shí)減少到54學(xué)時(shí)。雖然實(shí)變函數(shù)課程教學(xué)時(shí)數(shù)有所減少，然而實(shí)變函數(shù)仍然定位在必修課程位置上，實(shí)變函數(shù)課程在數(shù)學(xué)相關(guān)專業(yè)人才培養(yǎng)方案中的重要地位沒(méi)有改變，學(xué)校領(lǐng)導(dǎo)和專業(yè)領(lǐng)導(dǎo)以及任課教師對(duì)實(shí)變函數(shù)課程建設(shè)也一直保持很高的熱情。實(shí)變函數(shù)課程于2008年評(píng)為校級(jí)精品課程，于2009年評(píng)為省級(jí)精品課程。

三、實(shí)變函數(shù)課程建設(shè)的主要工作

1.教師隊(duì)伍建設(shè)

實(shí)變函數(shù)課程教師隊(duì)伍建設(shè)的目標(biāo)是建設(shè)一支穩(wěn)定的、業(yè)務(wù)功底比較深厚的、教學(xué)基本功比較扎實(shí)的、科研能力比較強(qiáng)的，職稱、學(xué)歷、年齡等結(jié)構(gòu)比較合理的教師隊(duì)伍。

實(shí)變函數(shù)課程教師隊(duì)伍建設(shè)的思路是通過(guò)積極進(jìn)行科學(xué)研究和教學(xué)研究促進(jìn)教師科研能力增長(zhǎng)，促進(jìn)教學(xué)水平提高；通過(guò)集體研究教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法及手段改革促進(jìn)營(yíng)造合作研究的氛圍，提高合作研究意識(shí)。

2.教學(xué)內(nèi)容改革

綏化學(xué)院實(shí)變函數(shù)課程教學(xué)內(nèi)容改革的目標(biāo)是通過(guò)教學(xué)實(shí)踐和研究，把實(shí)變函數(shù)課程建設(shè)成為具有某些特色的課程，特色主要在于使實(shí)變函數(shù)課程教學(xué)內(nèi)容改革模式比較適合于綏化學(xué)院一類新建地方本科院校的數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)實(shí)變函數(shù)課程的教學(xué)；根據(jù)教學(xué)實(shí)踐中的問(wèn)題，積極進(jìn)行教學(xué)研究并把研究成果應(yīng)用到教學(xué)實(shí)踐中去，并在教學(xué)實(shí)踐中檢驗(yàn)和改進(jìn)；經(jīng)過(guò)幾輪的教學(xué)實(shí)踐，制定相對(duì)穩(wěn)定的實(shí)變函數(shù)課程教學(xué)大綱，編寫出版體現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容改革的教材和學(xué)生學(xué)習(xí)指導(dǎo)書(shū)。

在實(shí)變函數(shù)課程教學(xué)內(nèi)容改革上，遵循體現(xiàn)針對(duì)性、把握主體性、突出實(shí)踐性、強(qiáng)調(diào)應(yīng)用性的原則，既要滿足本科實(shí)變函數(shù)課程教學(xué)大綱的基本要求又要保證教學(xué)效果。我們?cè)谠S多方面做了有思考又付諸實(shí)踐的工作。以下列舉幾個(gè)問(wèn)題可見(jiàn)實(shí)變函數(shù)教學(xué)內(nèi)容改革的基本思路。

（1）實(shí)變函數(shù)課程研究的主要內(nèi)容和解決的主要問(wèn)題

搞清楚實(shí)變函數(shù)課程研究的主要內(nèi)容和解決的主要問(wèn)題是什么，這對(duì)于剛開(kāi)始學(xué)習(xí)實(shí)變函數(shù)課程的學(xué)生來(lái)說(shuō)是一個(gè)十分重要的環(huán)節(jié)，一般來(lái)說(shuō)，這在第一次課的兩個(gè)學(xué)時(shí)便可完成。學(xué)生要知道實(shí)變函數(shù)的核心研究?jī)?nèi)容是建立一種稱為勒貝格（Lebesgue）積分的新型積分，這是一種與數(shù)學(xué)分析課程中的稱為黎曼（Riemann）積分的定積分既有區(qū)別又有聯(lián)系的積分。通過(guò)描述勒貝格積分建立的思路與黎曼積分定義的比較，讓學(xué)生感受到勒貝格積分也是在解決與黎曼積分相類似的問(wèn)題中引進(jìn)的，并且與黎曼積分概念有很大的不同；同時(shí)學(xué)生知道建立勒貝格積分需要構(gòu)建點(diǎn)集的測(cè)度理論，可測(cè)函數(shù)和可積函數(shù)的理論，還要使學(xué)生知道利用勒貝格積分理論處理數(shù)學(xué)分析課程中的相關(guān)問(wèn)題更具優(yōu)越性和深刻些。學(xué)生知道了這些就會(huì)在循序漸進(jìn)的學(xué)習(xí)過(guò)程中有比較明確的目標(biāo)，會(huì)增添學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)習(xí)的積極性。

（2）注重理解基本概念，掌握基本方法，訓(xùn)練基本技巧

實(shí)變函數(shù)課程教學(xué)對(duì)于理解基本概念、掌握基本方法、訓(xùn)練基本技巧這樣的問(wèn)題隨處可見(jiàn)，下面僅舉一例，可見(jiàn)一斑。

證明任意區(qū)間（a,b）,(a,b],[a,b],[a,∞),[a,∞)(-∞,a)，(-∞,a]均具有連續(xù)基數(shù) c(a＜b)。

對(duì)于其他區(qū)間，比如（a,∞），可用以下方法，（a,b） （a,∞） R，因?yàn)椋╝,b） 與 R 對(duì)等，由Bernstein 定理，（a,∞）與 R對(duì)等。

另外區(qū)間的處理可以舉一反三，收到事半功倍的效果。

（3）內(nèi)容順序做必要的調(diào)整

在討論單調(diào)可測(cè)集列極限集的可測(cè)性時(shí)，往往要重溫集合列的極限運(yùn)算及單調(diào)集列的極限集的結(jié)果，為提高教學(xué)效率，把這兩部分內(nèi)容放在一起講授，實(shí)踐證明，既省略了不必要的重復(fù)又收到了預(yù)期效果。

講完測(cè)度論再討論康托（Cantor）集，可以更全面地研究康托集的性質(zhì)。如果在這之前討論康托集，盡管能夠論證康托集是完備集、康托集沒(méi)有內(nèi)點(diǎn)、康托集是疏朗集、康托集是具有連續(xù)基數(shù)的集，但此時(shí)不能知道康托集的測(cè)度為零，而康托集的測(cè)度為零是具有連續(xù)基數(shù)的點(diǎn)集其測(cè)度可能為零的一個(gè)典型例子。

（4）應(yīng)用比較廣泛的概念要嚴(yán)格講解

波萊爾（Borel）集是一個(gè)很重要的概念，而且在概率論等課程中經(jīng)常涉及，雖然嚴(yán)格定義波萊爾集需要一些預(yù)知概念，然而弄清楚波萊爾集的嚴(yán)格定義可以畢其功于一役，學(xué)生可以更深刻的理解波萊爾集的概念，并且可以嚴(yán)格論證波萊爾集都是勒貝格可測(cè)集。對(duì)于勒貝格可測(cè)集要比波萊爾集多得多的問(wèn)題，通過(guò)講解兩個(gè)命題能讓學(xué)生看得更清楚，一是直線上所有波萊爾集的集類的基數(shù)是連續(xù)基數(shù)；二是直線上所有勒貝格可測(cè)集的集類的基數(shù)是。

（5）注意強(qiáng)調(diào)勒貝格積分的優(yōu)越處及與黎曼積分的不同點(diǎn)

勒貝格積分的優(yōu)越處及與黎曼積分的不同點(diǎn)這樣的問(wèn)題也很多，比如勒貝格積分理論給出了有界函數(shù)在區(qū)間[a,b]黎曼可積的充分必要條件[1]，這是黎曼積分理論不能解決的問(wèn)題。

勒貝格積分與黎曼積分的一個(gè)典型不同之處是勒貝格可積函數(shù)具有絕對(duì)可積性，勒貝格廣義積分沒(méi)有條件收斂的概念；而黎曼廣義積分則不然[2]。

類似的這樣問(wèn)題要注意講解幾個(gè)例子，從理論到實(shí)踐搞清楚這些問(wèn)題。

教學(xué)方法改革和教學(xué)條件建設(shè)

實(shí)變函數(shù)課程教學(xué)方法改革的思路是解決實(shí)現(xiàn)培養(yǎng)規(guī)格及教學(xué)大綱要求與教學(xué)時(shí)數(shù)少的矛盾；解決如何讓學(xué)生提高學(xué)習(xí)效率和效果的問(wèn)題；解決掌握知識(shí)與提高能力協(xié)調(diào)發(fā)展的問(wèn)題；達(dá)到提高師范生教師職業(yè)能力的目的。

實(shí)變函數(shù)課程教學(xué)方法的設(shè)計(jì)思想是從已知概念出發(fā)誘導(dǎo)新的概念和理論，從已知的問(wèn)題和現(xiàn)象提出和歸納一般性的結(jié)論。使學(xué)生懂得抽象概念和理論并非無(wú)源之水，無(wú)本之木，通過(guò)課堂教學(xué)，讓學(xué)生在潛移默化中學(xué)會(huì)如何發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題。

實(shí)變函數(shù)課程教學(xué)積極發(fā)揮學(xué)生主體作用，通過(guò)教學(xué)過(guò)程中布置閱讀材料和思考題，要求學(xué)生撰寫課程學(xué)習(xí)報(bào)告，在習(xí)題課上報(bào)告交流學(xué)習(xí)成果，以達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和團(tuán)隊(duì)精神，提高學(xué)生實(shí)踐能力和教師職業(yè)能力。

教學(xué)條件建設(shè)的目標(biāo)是編寫一部適合綏化學(xué)院一類新建地方本科院校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)使用的教材，并有配套的學(xué)習(xí)輔導(dǎo)及習(xí)題資料；制作相應(yīng)的多媒體教學(xué)課件；為學(xué)生自學(xué)提供充分的、有效的文獻(xiàn)資料或資料清單；建設(shè)一個(gè)資源性的實(shí)變函數(shù)課程教學(xué)網(wǎng)站，建立師生互動(dòng)平臺(tái)。

綏化學(xué)院實(shí)變函數(shù)課程建設(shè)三十多年了，作為省級(jí)精品課程建設(shè)也已經(jīng)三年多了。經(jīng)過(guò)學(xué)校歷屆領(lǐng)導(dǎo)的重視和支持，課程教學(xué)團(tuán)隊(duì)努力工作，取得了一些值得肯定和借鑒的成果和經(jīng)驗(yàn)。體現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容和方法改革的自編教材《實(shí)變函數(shù)》于2011年由黑龍江大學(xué)出版社出版。在資源性網(wǎng)站建設(shè)方面，課程教學(xué)大綱、參考書(shū)目清單、近幾年的考試試題、評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)與參考答案、考試情況分析、教學(xué)進(jìn)程安排等都已上網(wǎng)實(shí)現(xiàn)資源共享；我們已錄制了三分之一的授課錄像，已經(jīng)上網(wǎng)實(shí)現(xiàn)資源共享。

實(shí)變函數(shù)省級(jí)精品課程建設(shè)，已完成一項(xiàng)學(xué)校教育教學(xué)改革重點(diǎn)項(xiàng)目，獲得一項(xiàng)學(xué)校教學(xué)成果一等獎(jiǎng)。

[1]劉紹武，莫海平.實(shí)變函數(shù)[M].哈爾濱：黑龍江大學(xué)出版社，2011.

[2]程其襄,等.實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)[M].北京：高等教育出版社，2003.