曾泰山，魯春元

(1．華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，廣東廣州510631;2．廣東藥學(xué)院醫(yī)藥信息工程學(xué)院，廣東廣州510006)

圖像去噪算法研究中一個(gè)重要問題是如何在去除噪聲的同時(shí)，保持邊緣、紋理等有意義的圖像細(xì)節(jié)．當(dāng)前圖像去噪領(lǐng)域主要有2類去噪模型:小波閾值去噪［1］和全變差去噪模型［2］．小波閾值去噪是一種頻域去噪方法，算法簡單，易于理解．由于小波有快速算法，小波閾值去噪計(jì)算速度快．但小波閾值去噪會(huì)帶來振鈴現(xiàn)象，不利于保持邊緣特征，影響圖像質(zhì)量．而另一種主流方法，即全變差(TV)圖像模型被認(rèn)為是目前比較合理的能夠保持圖像邊緣特征的圖像模型．相比其他算法，TV模型能有效地對(duì)圖像的光滑區(qū)域進(jìn)行擴(kuò)散的同時(shí)能保持圖像的邊緣特征．該模型在工程領(lǐng)域和學(xué)術(shù)領(lǐng)域得到廣泛的研究和應(yīng)用［3］．但當(dāng)噪聲水平較高時(shí)，TV模型的階梯效應(yīng)嚴(yán)重．為了結(jié)合小波和全變差方法的優(yōu)點(diǎn)，文獻(xiàn)［4］提出了小波域上的全變差模型．該模型提出后，圖像處理其他領(lǐng)域也得到了廣泛關(guān)注［5-6］．但由于每一個(gè)小波系數(shù)對(duì)應(yīng)一個(gè)正則化參數(shù)，參數(shù)的選取較麻煩．

針對(duì)上述方法的不足，本文提出了一種基于小波和全變差方法相結(jié)合的多尺度全變差去噪方法，通過對(duì)高低頻施加不同的正則化參數(shù)，并結(jié)合小波的多尺度結(jié)構(gòu)，能夠更好地抑制噪聲、保持邊緣和消除階梯效應(yīng)．

1 小波域上的全變差模型

令f為觀測(cè)圖像，定義在長方形區(qū)域Ω上．假設(shè)觀測(cè)圖像含有加性噪聲f=s+n，其中s為原始圖像，n為加性噪聲．全變差去噪模型如下:

其中第1項(xiàng)為逼近項(xiàng)，第2項(xiàng)為正則化項(xiàng)．λ為正則化參數(shù)，控制兩者的平衡．適當(dāng)?shù)膮?shù)選取對(duì)最后的去噪效果影響很大．如果λ太大，則殘留了很多的噪聲．反之，如果λ過小，則圖像過度光滑，丟失了很多細(xì)節(jié)，產(chǎn)生“卡通”效應(yīng)．由于噪聲主要分布在高頻，而在經(jīng)典的全變差去噪方法(1)中，正則化參數(shù) λ不能反映不同的頻段對(duì)去噪效果的影響．

為了獲得圖像f的多尺度結(jié)構(gòu)，需要對(duì)圖像f(x)進(jìn)行小波分解．設(shè){ψk(x):k2}為 L2(Ω)空間上的小波基．對(duì)圖像f(x)進(jìn)行小波分解為:

將f(α，x)代入全變差去噪模型(1)，可以得到基于小波分解的正則化模型［3］

其中 λk≥0為正則化參數(shù)，β =(βk)，u(β，x)=如果所有的正則化參數(shù) λk相等，則模型(1)和模型(2)完全一致．

下面導(dǎo)出小波域上TV模型的Euler-Lagrange方程．對(duì)F(β)求βk的偏導(dǎo)為:于是得到模型(2)的Euler-Lagrange方程:求解Euler-Lagrange方程(3)的一個(gè)常用方法是梯度流法．引入輔助時(shí)間變量t，梯度流方程為

隨著t增大，逐步收斂到最優(yōu)解．

2 多尺度正則化去噪算法

引入本文提出的多尺度正則化去噪算法，采用有限差分迭代法解方程(4)．設(shè)u0=f為初始值．設(shè)un-1為第n-1次迭代得到的去噪圖像．下面介紹如何通過計(jì)算得到第n次迭代的圖像un．為了對(duì)曲率離散化，引入有限差分記號(hào):D+1up，q．則曲率可離散化為

其中0＜ε?1．曲率矩陣Cn-1與小波基ψk做小波變換，記為

其中DWT為二維離散小波變換．方程(4)可離散化為

其中Δt為時(shí)間離散步長．

因?yàn)閳D像噪聲主要集中在高頻，因此需要對(duì)低頻部分和高頻部分分別處理．這就需要對(duì)低頻和高頻選用不同的正則化參數(shù)．在模型(2)中，每一個(gè)小波系數(shù)都對(duì)應(yīng)一個(gè)正則化參數(shù)．為了簡化正則化參數(shù)的選取，本文提出了基于塊的正則化參數(shù)選取方法．圖像經(jīng)過一次二維小波變換后分為以下4塊:

塊I1包含水平和垂直2個(gè)方向的低頻信息，塊I4包含水平和垂直2個(gè)方向的高頻信息，塊I2、I3包含其中1個(gè)方向的低頻信息和另一方向的高頻信息．對(duì)不同的塊選用不同的正則化參數(shù) λi(i=1，2，3，4)．

在算法1中，正則化參數(shù) λi的選取很重要．如果 λ1=λ2=λ3=λ4，則退化為經(jīng)典的全變差模型(1)．在圖像處理實(shí)踐中，噪聲主要分布在高頻，而低頻部分代表圖像的重要信息，應(yīng)該盡量予以保留．正則化參數(shù)越小，則磨光的作用越明顯．為了在盡量保持圖像主要信息的同時(shí)去除噪聲，應(yīng)該滿足低頻的正則化參數(shù)要大于高頻的正則化參數(shù)，即 λ1≥λ2≥λ3≥λ4．為了簡化參數(shù)的選取，通?？梢赃x λ1=λ2=λ3，λ4=λ1/K，K≥10．

算法1 多尺度正則化去噪算法(單層小波變換)

i．設(shè) u0=f為初始值．令 n=1．

ii．設(shè)un-1為第n-1次迭代得到的去噪圖像，計(jì)算小波系數(shù)βn-1=DWT(un-1)

iii．通過式(5)計(jì)算曲率Cn-1．通過式(6)計(jì)算曲率的小波變換Wn-1=DWT(Cn-1)．

iv．計(jì)算 βnk=βn-1k+Δt·(Wn-1+ λi(αk- βn-1k))，βn-1k(i=1，2，3，4)．

v．計(jì)算un=IDWT(βn)，其中IDWT為小波逆變換．

vi．如果n沒有超過給定迭代次數(shù)N，則令n=n+1，重復(fù)(ii)至(v)步驟．

在計(jì)算復(fù)雜度方面，對(duì)于含有N個(gè)像素的圖像，小波變換的復(fù)雜度是O(N)，已經(jīng)達(dá)到最低的計(jì)算復(fù)雜度．本文提出的算法在全變差方法的基礎(chǔ)上增加了小波變換，計(jì)算復(fù)雜度和全變差方法同級(jí)．

在上述算法中，只使用了單層的小波變換．該算法可以很容易地推廣到多層小波變換情形．其基本思想是將去噪問題在不同尺度上進(jìn)行分解，通過尺度之間的變化，將上一尺度求得的解作為下一尺度上的初值．該方法的優(yōu)點(diǎn)是可以提高計(jì)算效率，加快收斂速度．由于I1是原圖像的簡化版本，繼續(xù)對(duì)I1進(jìn)行小波變換就可以得到圖像多層的小波變換．為了得到基于多層小波變換的去噪算法，只需要每一層調(diào)用基于單層小波變換的多尺度正則化去噪算法．

對(duì)含噪圖像f(x)進(jìn)行m層小波變換，第j層的小波系數(shù)記為 αj．當(dāng)j=0時(shí)，α0=f．根據(jù)上面的討論，可以得到基于多層小波變換的多尺度正則化去噪算法(算法2)．

算法2 多尺度正則化去噪算法(多層小波變換)

i．對(duì)含噪圖像f(x)進(jìn)行m層小波變換．令j=m．

ii．設(shè) u0j=αj-1為初始值．調(diào)用基于單層小波變換的多尺度正則化去噪算法．

iii．如果 j＞1，令 j=j-1，跳轉(zhuǎn)到第(ii)步．

3 結(jié)果與分析

本節(jié)將通過算例來說明我們的算法的有效性．為了比較不同的去噪算法，我們對(duì)原圖施加了標(biāo)準(zhǔn)差為30，均值為0的高斯噪聲，見圖1．

圖1 原圖與噪聲圖像Figure 1 Original image and noisy image

對(duì)圖像處理中去噪質(zhì)量的評(píng)價(jià)大多采取如下方法:一是主觀評(píng)價(jià)，由人眼直接觀察圖像的效果，對(duì)于恢復(fù)圖像中得到明顯改善的特性可以通過這種方法評(píng)價(jià)，但帶有一定的主觀性;二是利用峰值信噪比(PSNR)來評(píng)價(jià)圖像改善效果．對(duì)像素為M×N的圖像，PSNR定義為:

將普通的小波軟閾值去噪、全變差去噪與本文提出的算法進(jìn)行比較．3個(gè)算法都以PSNR值為標(biāo)準(zhǔn)，選取了最優(yōu)的參數(shù)．本文所提出的算法，高頻部分的參數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于其他，分別為 λ1=λ2=λ3=1/27，λ4=λ1/30．由圖2可以明顯看出本文所提出的方法要優(yōu)于其他方法．小波閾值去噪算法振鈴現(xiàn)象明顯，去噪效果差．而全變差方法去噪對(duì)邊緣的保持好，但階梯效應(yīng)還比較嚴(yán)重．本文提出的去噪方法效果最好:不但去除了大部分的噪聲，而且保留了圖像的邊緣和細(xì)節(jié)，在遠(yuǎn)離邊緣處也取得了很好的平滑效果．

圖2 3種去噪方法比較Figure 2 Comparison of three denoisingmethods

從表1可以看出，本文提出的方法PSNR值最高，反映了算法的有效性．

表1 PSNR值比較Table 1 Comparison of PSNR values db

4 結(jié)論

本文通過結(jié)合小波和全變差方法，針對(duì)高低頻施加不同的正則化參數(shù)，并利用小波的多尺度性，提出了多尺度全變差去噪方法．實(shí)際去噪效果表明本文提出的算法既能很好地去除噪聲，又能很好地保持圖像細(xì)節(jié)．

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