杜昕靜，伍 軍

小學(xué)數(shù)學(xué)實物教學(xué)與圖形教學(xué)芻議

杜昕靜，伍 軍

兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是從實物和圖形這些具體可感的直觀教學(xué)上升到抽象思維的過程，即表象認(rèn)識—抽象概括—回歸生活—運(yùn)用提升。文章通過對小學(xué)數(shù)學(xué)實物與圖形的教學(xué)實踐相關(guān)問題的表征和析因，并在數(shù)學(xué)直觀教學(xué)中進(jìn)一步探討增強(qiáng)學(xué)生經(jīng)驗及實物與圖形教學(xué)的方略。

小學(xué)數(shù)學(xué)；實物教學(xué)；圖形教學(xué)

西方哲學(xué)家通常認(rèn)為，“直觀就是未經(jīng)充分邏輯推理而對事物本質(zhì)的一種直接洞察，直接把握對象的全貌和對本質(zhì)的認(rèn)識”。M·克萊因認(rèn)為，“數(shù)學(xué)不是依靠在邏輯上，而是依靠在正確的直覺上”。心理學(xué)家則認(rèn)為，“直觀是從感覺的具體的對象背后，發(fā)現(xiàn)抽象的、理想的能力”[1]在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，要注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直觀，有意識地利用實物與圖形等直觀教學(xué)手段，幫助學(xué)生實現(xiàn)從具體思維向抽象思維的過渡，把看似枯燥無味的數(shù)學(xué)課程變得生動、形象，從而提高教學(xué)效率。

一、實物教學(xué)與圖形教學(xué)：直觀教學(xué)的必然要求

實物教學(xué)是指借助與研究對象有著一定關(guān)聯(lián)的現(xiàn)實世界中的實際存在物，借助其與研究對象之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)行簡捷、形象的思考，獲得針對研究對象的深刻判斷的一種直觀教學(xué)方式。圖形教學(xué)是以明確的幾何圖形為載體的幾何直觀而進(jìn)行的一種直觀教學(xué)方式。[1]從“實物教學(xué)”到“圖形教學(xué)”其實是在幫助學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)化的過程，幾何與圖形的認(rèn)識其實就是在實現(xiàn)“點(diǎn)—線—面—體”的過程。

在小學(xué)數(shù)學(xué)中進(jìn)行實物教學(xué)與圖形教學(xué)對于兒童形成空間觀念有重要作用。根據(jù)兒童形成空間觀念的心理特點(diǎn)來說，兒童形成空間觀念是一個逐步發(fā)展的過程，總的來看，兒童的空間觀念的形成大致經(jīng)歷了這樣幾個階段：具體（實物直觀，例如已被構(gòu)造出來的實物模型）→半抽象（圖像抽象，例如用圖呈示的標(biāo)準(zhǔn)圖形）→抽象（概念抽象，在大腦中建立對象的本質(zhì)屬性）。[2]在這個過程中，兒童（尤其是低年級兒童）對直觀的依賴較大，因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中進(jìn)行實物教學(xué)與圖形教學(xué)是十分必要的。

二、實物教學(xué)與圖形教學(xué)中教學(xué)實踐的問題表征

實物教學(xué)與圖形教學(xué)作為一種教學(xué)手段，是為學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識服務(wù)的。心理學(xué)上的信息加工理論認(rèn)為，知識的獲得是由以下四部分組成的，即信息的獲得、加工、儲存和運(yùn)用，[3]也可以理解為，信息的輸入、感知、加工和輸出。其中，感知是知識正確輸出的最關(guān)鍵的環(huán)節(jié)之一，實物教學(xué)與圖形教學(xué)就是使學(xué)生運(yùn)用直觀材料感知數(shù)學(xué)信息的過程。

在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中運(yùn)用實物教學(xué)和圖形教學(xué)受到越來越多的教師的重視，但是在實施的過程中，還存在以下問題。

（一）教學(xué)方法失當(dāng)，使抽象到抽象

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) （2011年版）》（以下簡稱 《課標(biāo)》）中 “圖形與幾何”的內(nèi)容是所有內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)中最多的，占50%。[4]“圖形與幾何”代表了第一、二學(xué)段和第三學(xué)段的側(cè)重點(diǎn)：在第一、二學(xué)段中主要是通過觀察、操作等直觀、整體認(rèn)識圖形及其某些特征，并通過操作等加以確認(rèn)；第三學(xué)段，則主要是從數(shù)學(xué)上細(xì)致刻畫基本圖形的基本性質(zhì)，并通過邏輯推理加以證明。[5]即《課標(biāo)》強(qiáng)調(diào)要先從整體上認(rèn)識圖形再從局部了解圖形。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實踐中，有的教師教學(xué)強(qiáng)調(diào)先學(xué)習(xí)平面圖形，再學(xué)習(xí)立體幾何的知識，偏重數(shù)學(xué)的邏輯與抽象，忽視小學(xué)生合情推理的認(rèn)知過程，往往這種教學(xué)取得的效果并不好。究其原因，我們認(rèn)識一個立體圖形，首先要對它有一個整體的認(rèn)識，然后才關(guān)注它的各個部分（平面圖形）；反過來當(dāng)你關(guān)注了它的各個部分（平面圖形）以后，你再去整體認(rèn)識這個立體圖形，你就會有一個更新的認(rèn)識。

（二）實物圖展示過度，為直觀而直觀

在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中運(yùn)用多媒體技術(shù)可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化為直觀形象的數(shù)學(xué)知識。在實際的小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中，有些教師過度利用多媒體展示大量實物圖，片面的追求形式的多樣化和直觀化，把教學(xué)僅僅停留在直觀演示上，使其偏離了數(shù)學(xué)的本質(zhì)。比如，在教學(xué)三角形的認(rèn)識中，教師往往利用多媒體展示大量實物圖讓學(xué)生觀察，幫助建立三角形的概念。但是學(xué)生通過觀察實物圖像建立起來的僅僅是三角形的表象，大量的實物圖并不能幫助學(xué)生建立準(zhǔn)確的三角形概念。教師忽視了除去大量實物圖表象中的非本質(zhì)的東西，不利于學(xué)生抽取表象中的本質(zhì)內(nèi)涵。

（三）圖形思考意識缺乏，抽象邏輯思維薄弱

在小學(xué)數(shù)學(xué)課中，教師容易囿于規(guī)范的幾何圖形，認(rèn)為圖形是有形可視的，忽視了無形想象的圖形，硬性要求學(xué)生必須畫出圖來。教師缺乏圖形思考意識，僅僅把實物與圖形教學(xué)停留在幾何直觀中，忽視了學(xué)生從感性認(rèn)識到理性認(rèn)識，從經(jīng)驗發(fā)展到理論的認(rèn)知規(guī)律，不利于學(xué)生初步抽象邏輯思維的形成，阻礙學(xué)生數(shù)學(xué)品質(zhì)的發(fā)展。

三、小學(xué)數(shù)學(xué)實物教學(xué)與圖形教學(xué)的實踐探索

數(shù)學(xué)學(xué)科不同于其他學(xué)科，它有一個顯著的特點(diǎn)，就是抽象性。人的理性認(rèn)識過程是由思維的表象到思維的抽象，再由思維的抽象上升到思維的具體的過程。小學(xué)生的思維特點(diǎn)是，從以具體形象思維為主要形式向抽象性思維為主要形式過渡，他們的抽象思維在很大程度上還是直接與感性經(jīng)驗相聯(lián)系的，帶有很大的具體形象性，所以在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中要特別注意運(yùn)用實物和圖形教學(xué)的策略。

（一）實物與圖形教學(xué)，相輔相成

在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中一般是實物教學(xué)到圖形教學(xué)，兩者相輔相成。比如，“圖形的認(rèn)識”的編排順序是，感知立體圖形—辨認(rèn)平面圖形—角和直角—長方形、正方形的認(rèn)知—銳角和鈍角—認(rèn)識線段、射線—角—相交和平行—認(rèn)識平行四邊形和梯形—三角形—長方體和正方體—圓—圓柱—圓錐。[6]可見，實物教學(xué)和圖形教學(xué)具有一定的順序性，實物教學(xué)是圖形教學(xué)的基礎(chǔ)，圖形教學(xué)是實物教學(xué)的補(bǔ)充和延續(xù)，兩者相互聯(lián)系，缺一不可。教師要正確理解《課標(biāo)》中從整體到局部認(rèn)識圖形的意義，并在教學(xué)實踐中認(rèn)識到實物教學(xué)和圖形教學(xué)的作用和重要性，樹立數(shù)學(xué)生活化意識。

1.注意培養(yǎng)學(xué)生直觀意識，促進(jìn)抽象思維的形成。數(shù)學(xué)教學(xué)中的直觀是幫助學(xué)生從“具體形象”思維過渡到“抽象邏輯”思維的手段，是幫助學(xué)生理解抽象數(shù)學(xué)知識的工具，對于啟發(fā)學(xué)生的求知欲，發(fā)展學(xué)生的智力，培養(yǎng)和提高學(xué)生的抽象思維能力有著極其重要的作用和意義。

2.引導(dǎo)學(xué)生從生活中概括出基本圖形，提高學(xué)生探究能力。生活與數(shù)學(xué)的辯證關(guān)系是當(dāng)今教育的熱點(diǎn)問題?！墩n標(biāo)》更多地強(qiáng)調(diào)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光從生活中捕捉數(shù)學(xué)問題，主動的運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析生活現(xiàn)象，自主地解決生活中的實際問題。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)重視學(xué)生的生活體驗，把數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)生的生活體驗相聯(lián)系，把數(shù)學(xué)問題與生活情境相結(jié)合，讓數(shù)學(xué)生活化，讓生活數(shù)學(xué)化。[7]學(xué)生在具體的生活情境中學(xué)數(shù)學(xué)，并完成如下的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過程：生活問題—數(shù)學(xué)問題—數(shù)學(xué)模型—數(shù)學(xué)問題—生活問題。

3.引導(dǎo)學(xué)生通過圖形與幾何的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力。實物與圖形教學(xué)是幾何直觀的一部分，幾何直觀首要的是學(xué)習(xí)如何用圓（圈）或三角形等幾何圖案去替代實物，畫出所述情境的示意圖來。這個描述題意的過程，關(guān)注的是幾何圖案與具體實物間的一一對應(yīng)。從實物圖到示意圖，學(xué)習(xí)的是用幾何圖形去表征數(shù)量的多少。借助圖形直觀的把握數(shù)學(xué)對象，進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，把研究“對象”抽象成“圖形”，再把“對象之間的關(guān)系”轉(zhuǎn)化為“圖形之間的關(guān)系”，這樣就把研究的問題轉(zhuǎn)化為“圖形的數(shù)量或位置關(guān)系”的問題，進(jìn)行思考分析，[8]通過圖形與幾何的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力。因此，實物與圖形教學(xué)強(qiáng)調(diào)的是三維與二維的轉(zhuǎn)化，即從立體轉(zhuǎn)換到平面，反過來再由平面轉(zhuǎn)換到立體。

（二）實物與圖形教學(xué)與現(xiàn)代信息技術(shù)有機(jī)結(jié)合

在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中運(yùn)用多媒體技術(shù)可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化為直觀形象的數(shù)學(xué)知識。但是直觀本身不是目的而是手段，是為了形成學(xué)生的生動表象并借以形成概念，促進(jìn)抽象思維的發(fā)展。如果過多過濫地使用直觀教學(xué)手段解決簡單問題，那就是為直觀而直觀，會降低對學(xué)生抽象思維能力的培養(yǎng)要求，而且會把簡單的教學(xué)過程復(fù)雜化，從而降低了教學(xué)效益。

針對這個問題，我們可以從以下幾點(diǎn)，促進(jìn)實物與圖形教學(xué)和現(xiàn)代信息技術(shù)相結(jié)合。

1.運(yùn)用直觀教學(xué)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。數(shù)學(xué)知識比較抽象，小學(xué)生年齡比較小，缺乏生活經(jīng)驗，會覺得學(xué)習(xí)很困難。因此，我們在數(shù)學(xué)教學(xué)中，可以運(yùn)用多媒體技術(shù)，把復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化為直觀形象的數(shù)學(xué)知識，形成直觀的圖形。比如，在教授關(guān)于角的概念時，可以利用多媒體技術(shù)，引導(dǎo)學(xué)生觀察一些實物，三角板，五角星等，讓學(xué)生從這些實物中感悟角的概念。教師要在教學(xué)過程中要通過示范、引導(dǎo)的方式，啟發(fā)學(xué)生用圖形來學(xué)習(xí)相關(guān)概念，激發(fā)學(xué)生思考，最大限度地調(diào)動學(xué)生的積極性和主動性。

2.運(yùn)用直觀教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解。引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會從具體活動過渡到抽象思維。實現(xiàn)這個過渡,要有適當(dāng)?shù)捻樞?要求過高,不注意依靠直觀現(xiàn)象,學(xué)生對抽象的概念就不能理解和掌握;過于依賴直觀形象,學(xué)生就不會運(yùn)用概念進(jìn)行思維。在處理具體活動與抽象思維的關(guān)系上，我們按照“實物模型—圖式—數(shù)式”的程序安排。[9]

3.運(yùn)用直觀教學(xué)，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律。教師要適度運(yùn)用多媒體進(jìn)行實物教學(xué)與圖形教學(xué)，幫助學(xué)生在直接觀察的基礎(chǔ)上除去非本質(zhì)的東西，抽取其本質(zhì)內(nèi)涵；利用直觀的手段，在加強(qiáng)直觀演示的基礎(chǔ)上，幫助學(xué)生歸納出事物本質(zhì)特征及數(shù)量關(guān)系，發(fā)揮多媒體實物教學(xué)和圖形教學(xué)的優(yōu)勢，幫助學(xué)生由具體形象思維到抽象思維的轉(zhuǎn)化；適時的將實物教學(xué)和圖形教學(xué)與多媒體技術(shù)結(jié)合起來，使其發(fā)揮最大功效。

（三）實物與圖形教學(xué)，具體與抽象的轉(zhuǎn)化

數(shù)學(xué)教育中抽象思維能力的發(fā)展，關(guān)鍵在于來自具體而又不為具體所局限。數(shù)學(xué)教師應(yīng)該根據(jù)數(shù)學(xué)理論體系的抽象層次和結(jié)構(gòu)，幫助學(xué)生構(gòu)造抽象思維的思想基礎(chǔ)，自覺實現(xiàn)抽象和具體層次的相互轉(zhuǎn)化，使抽象思維不斷由低層次向高層次發(fā)展，在這個過程中訓(xùn)練學(xué)生的抽象思維能力。

1.實物與圖形教學(xué)，促進(jìn)數(shù)學(xué)邏輯思維的形成。在實物與圖形直觀的、經(jīng)驗的表征中，讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)關(guān)系的理解和表述受感性直觀或特定原型的影響，并夾雜一些非本質(zhì)的成分。數(shù)學(xué)探索往往從一些經(jīng)驗性問題開始，積累有關(guān)數(shù)學(xué)概念及其關(guān)系的原始線索，從中追尋規(guī)律性的東西。邏輯思維的作用是把零散的經(jīng)驗性材料組織起來，構(gòu)成理論的雛形，幫助建立理論系統(tǒng)的框架，把所有的經(jīng)驗性材料加工成一個嚴(yán)格的演繹系統(tǒng)。

2.引導(dǎo)學(xué)生突破“具體”的局限，由經(jīng)驗上升到抽象思維在自然科學(xué)和社會科學(xué)研究中，一般的過程是從感性認(rèn)識發(fā)展到理性認(rèn)識，從經(jīng)驗發(fā)展到理論。實物與圖形教學(xué)也是由具體到抽象的過程，它提供數(shù)學(xué)認(rèn)識活動的生動素材，供邏輯思維加工，形成思想成果，擴(kuò)大人們的認(rèn)識領(lǐng)域，使整個數(shù)學(xué)理論體系不斷發(fā)展壯大，呈現(xiàn)勃勃生機(jī)。[10]

3.注意培養(yǎng)圖形思考意識，提高邏輯思維能力。圖形與實物教學(xué)的本質(zhì)是憑借圖形進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，不必囿于規(guī)范的幾何圖形，要杜絕為了直觀而直觀，把幾何直觀反而變成了麻煩，只要學(xué)生能順暢思考，可以不必硬性要求學(xué)生必須畫出圖來。[8]教師要善于培養(yǎng)學(xué)生從實物和圖形等感性的具體表象出發(fā)，通過思維活動分析出各種孤立的、抽象的數(shù)學(xué)本質(zhì)，提高邏輯思維能力。

總之，實物直觀和圖形直觀是影響小學(xué)生數(shù)學(xué)發(fā)展的重要因素之一，教師要深化直觀教學(xué)意識，恰當(dāng)運(yùn)用直觀教學(xué)策略，借助恰當(dāng)?shù)膱D形、直觀的模型，揭示數(shù)學(xué)對象的性質(zhì)和關(guān)系，促進(jìn)學(xué)生良好的抽象思維品質(zhì)的形成。

[1]孔凡哲，史寧中.關(guān)于幾何直觀的含義及表現(xiàn)形式[J].課程·教材·教法,2012（7）:93

[2]楊慶余.小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究[M].北京:中國廣播電視大學(xué)出版社,2004

[3]曹才翰，章建躍.數(shù)學(xué)教育心理學(xué)[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,2002:135

[4]康玥媛，曹一鳴.中英美小學(xué)和初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中內(nèi)容分布的比較研究[J].課程·教材·教法,2013（4）:120

[5]劉鳳翥.我看義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程改革[J].課程·教材·教法,2013（3）:54

[6]范文貴.小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)論[M].上海:華東師范大學(xué)出版社,2008

[7]楊九俊.小學(xué)數(shù)學(xué)課堂診斷[M].北京:教育科學(xué)出版社,2006:68

[8]蔡宏圣.幾何直觀：小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的視角[J].課程·教材·教法,2013（5）:111

[9]陳國盛.小學(xué)數(shù)學(xué)的啟發(fā)式教學(xué)[J].課程·教材·教法,1985（4）:89

[10]徐利治，王前.數(shù)學(xué)與思維 [M].遼寧:大連理工大學(xué)出版社,2008:28,63,137

責(zé)任編輯：姚 旺

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1671-6531(2013)20-0086-02

新疆師范大學(xué)人文社會科學(xué)重點(diǎn)研究基地新疆兒童發(fā)展與教育研究中心基金資助

杜昕靜/新疆師范大學(xué)初等教育學(xué)院在讀碩士（新疆烏魯木齊 830054）；伍軍/新疆師范大學(xué)初等教育學(xué)院副教授，碩士生導(dǎo)師（新疆烏魯木齊 830054）。