黃朝煊，袁文喜，方詠來

（浙江省水利水電勘測(cè)設(shè)計(jì)院，杭州310002）

K0≠1時(shí)基礎(chǔ)軟弱下臥層臨界埋深的討論

黃朝煊，袁文喜，方詠來

（浙江省水利水電勘測(cè)設(shè)計(jì)院，杭州310002）

通過數(shù)學(xué)理論推導(dǎo)，給出了考慮靜止土壓力系數(shù)K0≠1時(shí)的條形基礎(chǔ)的地基臨界荷載P1／4，并與國標(biāo)《建筑地基基礎(chǔ)設(shè)計(jì)規(guī)范》（GB50007—2011）中相應(yīng)公式（5.2.5條）進(jìn)行了對(duì)比分析，認(rèn)為國標(biāo)公式過高估計(jì)了地基承載力，而本文公式相對(duì)較合理。當(dāng)基礎(chǔ)受力層范圍內(nèi)存在軟弱下臥層時(shí)，國標(biāo)中“5.2.7”條給出了軟弱下臥層承載力驗(yàn)算公式，但未說明軟弱下臥層埋深超過多少時(shí)可不考慮軟弱下臥層影響，采用已推導(dǎo)的地基承載力公式，通過無量綱化推導(dǎo)計(jì)算，給出了軟弱下臥層相對(duì)臨界埋深（Hcr／b）與基礎(chǔ)相對(duì)埋深（d／b）之間的關(guān)系式。最后通過實(shí)例計(jì)算，得出了不同基礎(chǔ)寬度、不同軟弱下臥層抗剪強(qiáng)度指標(biāo)下的相對(duì)臨界埋深（Hcr／b）關(guān)系曲線，認(rèn)為軟弱層抗剪強(qiáng)度指標(biāo)越大、上層土內(nèi)摩擦角越大，則軟弱下臥層相對(duì)臨界埋深Hcr就越小，其不利影響就越小。

地基承載力；靜止土壓力系數(shù)；軟弱下臥層；軟弱層臨界深度

對(duì)于地基下存在軟弱下臥層時(shí)的地基承載力驗(yàn)算，國標(biāo)《建筑地基基礎(chǔ)設(shè)計(jì)規(guī)范》（GB50007—2011）［1］中給出了相應(yīng)的軟弱層承載力驗(yàn)算公式。實(shí)際中，當(dāng)軟弱下臥層埋深較大時(shí)，淺基礎(chǔ)設(shè)計(jì)中是完全可不考慮軟弱下臥層影響的，只有當(dāng)軟弱下臥層埋深較小時(shí)，淺基礎(chǔ)設(shè)計(jì)中才需采用國標(biāo)中相應(yīng)驗(yàn)算公式進(jìn)行復(fù)核，基于此，本文將對(duì)此問題進(jìn)行深入研究。

1 地基臨界荷載

一般土力學(xué)教材中的臨界荷載計(jì)算公式都是在條形均布荷載、均質(zhì)地基等假定條件下推得的，且在公式推導(dǎo)簡(jiǎn)化過程中假定了土的靜止土壓力系數(shù)K0＝1，即將自重應(yīng)力場(chǎng)視為靜水應(yīng)力狀態(tài)。顯然，這種假定與大多數(shù)土的實(shí)際K0值（K0＝0.35～0.80）相差較大。假設(shè)K0＝1會(huì)過高地估計(jì)地基承載力?；谏鲜銮闆r，一些學(xué)者在文獻(xiàn)［2－5］中借助莫爾－庫侖強(qiáng)度理論，重新“推導(dǎo)”了K0≠1條件下的地基臨界荷載計(jì)算公式，但其“推導(dǎo)”中采用數(shù)學(xué)近似公式≈0.96A＋0.37B誤差較大（其中A表示某點(diǎn)處正應(yīng)力差的一半，B表示某點(diǎn)處的剪應(yīng)力）。依據(jù)莫爾應(yīng)力圓知：B≤A，通過數(shù)值分析最大誤差出現(xiàn)在A＝B時(shí)，此時(shí)則采用該公式計(jì)算值1.414A與精確值1.33A的誤差最大為6.0%（＞5.0%），誤差稍大，因此其“推導(dǎo)”得出的公式不嚴(yán)密，這也導(dǎo)致了不同學(xué)者［4－5］推導(dǎo)出的公式也不一樣，但推導(dǎo)思路及主要過程完全一致?；诖?，本文采用嚴(yán)密的數(shù)學(xué)理論對(duì)靜止側(cè)壓力系數(shù)K0≠1時(shí)的地基臨界荷載進(jìn)行了推導(dǎo)，并將本文成果應(yīng)用于基礎(chǔ)下臥軟弱層的承載力驗(yàn)算中。

1.1 K0≠1時(shí)的地基臨界荷載分析

設(shè)基礎(chǔ)寬度為b（m）；埋深為d（m）；均布條形荷載p作用在基底；基礎(chǔ)埋深d范圍內(nèi)土層平均容重為γ0；基礎(chǔ)下土層容重為γ；其抗剪強(qiáng)度參數(shù)為c，φ；土的靜止土壓力系數(shù)為K0。

基底附加應(yīng)力p為地基土中任意點(diǎn)的附加應(yīng)力與考慮靜止土壓力系數(shù)K0時(shí)的地基自重應(yīng)力之和，即得基底下任意點(diǎn)的總應(yīng)力為

式中：參數(shù)角α為計(jì)算點(diǎn)與條形地基基底兩端連接之間的夾角（°），參數(shù)角δ為計(jì)算點(diǎn)與條形地基底中點(diǎn)的連線與豎向之間夾角（°）；參數(shù)z為計(jì)算點(diǎn)至基底的豎向距離。

令p0＝p－γ0d，依據(jù)莫爾應(yīng)力圓可求地基底任意點(diǎn)的主應(yīng)力，若該點(diǎn)處于塑性區(qū)邊界上，則根據(jù)Mohr－Coulomb屈服準(zhǔn)則，該點(diǎn)的大、小主應(yīng)力滿足以下關(guān)系：

依據(jù)公式（1）、莫爾應(yīng)力圓主應(yīng)力計(jì)算公式及Mohr－Coulomb屈服準(zhǔn)則，可得基底下土體處于塑性區(qū)的應(yīng)力條件式，通過整理，并對(duì)塑性區(qū)深度z關(guān)于張角α求導(dǎo)，并令d z／dα＝0，可得α＝π／2－φ，以下塑性區(qū)深度d與p0之間關(guān)系式為

由余弦三角差公式，即：cos（α＋2δ）cos（2α＋2δ）＋sin（α＋2δ）sin（2α＋2δ）＝cosα，參考文獻(xiàn)［3］，取α＋2δ＝π，代入上式（6）可知：

取塑性區(qū)深度為zmax＝b／4，則得由塑性區(qū)開展深度得到的地基承載力特征值為

地基的靜止土壓力系數(shù)K0計(jì)算采用由Jaky［2］提出并簡(jiǎn)化的公式K0＝1－sinφ，其中φ為相應(yīng)土層的內(nèi)摩擦角。當(dāng)K0＝1時(shí)，該公式與國標(biāo)5.2.5條中的公式完全一致，其中對(duì)于地基寬度b＞6 m，取6 m，對(duì)于砂土＜3 m，取3 m，該公式對(duì)相對(duì)偏心距e／b＜0.033時(shí)適用，其中各參數(shù)同上文。

1.2 考慮K0≠1時(shí)地基臨界荷載與規(guī)范推薦公式的對(duì)比分析

為了分析荷載埋深對(duì)地基臨界荷載的影響，取γ0＝γ，K0＝1－sinφ，將本文公式（5）與國標(biāo)公式（5.2.5條）的相應(yīng)無量綱公式的比值關(guān)系作為新函數(shù)（將公式（5）兩邊除以γb，簡(jiǎn)化為無量綱關(guān)系式），其比值關(guān)系與相對(duì)凝聚力c／γb、土的內(nèi)摩擦角φ、相對(duì)埋深d／b之間關(guān)系曲面見圖1。由圖1可知：基礎(chǔ)相對(duì)埋設(shè)深度越大、下層土內(nèi)摩擦角越大、下層土凝聚力越小，本文導(dǎo)出的承載力公式與國標(biāo)公式相差越大，且下層土內(nèi)摩擦角影響最大?？梢?，考慮靜止土壓力系數(shù)K0≠1時(shí)臨界荷載會(huì)減小，與文獻(xiàn)［3］，［5］等結(jié)論一致，且文獻(xiàn)［3］中圖5、圖6曲線特性也與本文曲面中的曲線族基本吻合。

圖1 K0≠1時(shí)臨界荷載（p1／4）與國標(biāo)公式（5.2.5條）比值關(guān)系曲面Fig.1 Curved surfaces formed by critical load ratio（ratio of critical load in the proposed formula to that in the code formu la），and relative cohesion and internal friction angle（K0≠1）

2 對(duì)基底軟弱下臥層臨界埋深的探討

2.1 規(guī)范對(duì)基礎(chǔ)存在下臥軟弱層時(shí)的承載力驗(yàn)算

當(dāng)淺基礎(chǔ)受力層范圍內(nèi)存在軟弱下臥層時(shí)，國標(biāo)中5.2.7條規(guī)定：當(dāng)?shù)鼗芰臃秶鷥?nèi)有軟弱下臥層時(shí)，見圖2，應(yīng)按以下公式驗(yàn)算其地基穩(wěn)定性

式中：pz為相應(yīng)于荷載效應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)組合時(shí)，軟弱下臥層頂面處的附加壓力值；pcz為軟弱下臥層頂面處土的自重壓力值；faz為軟弱下臥層頂面處經(jīng)深度修正后的地基承載力特征值。對(duì)于條形基礎(chǔ)式中pz值可按國標(biāo)中公式（5.2.7.2條）計(jì)算，即

式中：b為條形基礎(chǔ)底邊的寬度；pc為基礎(chǔ)底邊處自重應(yīng)力值；z0為基礎(chǔ)底邊面至軟弱下臥層頂面的距離；θ為地基壓力擴(kuò)散線與垂直線的夾角，按規(guī)范表5.2.7條計(jì)算。

對(duì)于軟弱下臥層容許承載力，國標(biāo)5.2.5條給出了根據(jù)土的抗剪強(qiáng)度指標(biāo)確定地基承載力特征值的計(jì)算公式（5.2.5條），該公式其實(shí)是本文K0＝1的特例。

2.2 對(duì)基礎(chǔ)下臥軟弱層臨界埋深的討論

對(duì)軟弱下臥層承載力特征值的計(jì)算采用本文考慮靜止土壓力系數(shù)K0≠1時(shí)計(jì)算公式（5）。假設(shè)地基軟弱下臥層頂面至地面深度為H（m），基底寬為b（m），地基埋深深度為d（m）；設(shè)淤泥層的重度為γ1，內(nèi)摩擦角為φ1，凝聚力為c1，靜止土壓力系數(shù)K01＝1－sinφ1；設(shè)上部土層的重度為γ，內(nèi)摩擦角為φ，凝聚力為c，靜止土壓力系數(shù)K0＝1－sinφ1，則地基下的軟弱下臥層承載力特征值為

當(dāng)基礎(chǔ)埋設(shè)太深以至于接近軟弱層時(shí)，承載力反而降低，故存在一個(gè)合適的埋深，使得基礎(chǔ)不考慮軟弱下臥層時(shí)的承載力與考慮軟弱下臥層影響時(shí)的承載力剛好相等，即滿足

其中：參數(shù)θ按規(guī)范表5.2.7計(jì)算；Nh為上部土層的承載力參數(shù)。

對(duì)公式（9）中參數(shù)無量綱化，即對(duì)承載力等力參數(shù)乘以（1／γb），對(duì)深度、寬度等長(zhǎng)度量乘以（1／b），將以上方程無量綱化，即：ˉz＝z／b，ˉH＝H／b，ˉd＝d／b＝（H－z）／b，ˉc1＝c1／γb，ˉc＝c／γb。

通過公式（9）可知，基礎(chǔ)相對(duì)埋深ˉd和軟弱層相對(duì)埋深ˉH之間的函數(shù)，即當(dāng)?shù)鼗鄬?duì)埋深控制在小于ˉd時(shí)，則通過上式可求出相應(yīng)的軟弱層臨界埋深ˉHcr（即當(dāng)軟弱層埋深大于ˉHcr時(shí)，可不考慮該軟弱下臥層對(duì)地基的不利影響）。

求解公式（9）的無量綱化公式得

已知：地基的相對(duì)埋深深度為d／b，上部土層的重度為γ，內(nèi)摩擦角為φ、凝聚力為c，靜止土壓力系數(shù)為K0，軟弱淤泥層土的力學(xué)指標(biāo)容重為γ1，內(nèi)摩擦角為φ1，凝聚力為c1，靜止土壓力系數(shù)為K01，則依據(jù)本文公式（10），可求出軟弱下臥層相對(duì)臨界深度ˉHcr。即，若軟弱層無量綱埋深（H／b）大于臨界埋深值ˉHcr時(shí)，可不考慮軟弱層對(duì)地基承載力的不利影響；反之，若軟弱層無量綱埋深（H／b）小于臨界埋深值ˉHcr時(shí)，則必須依據(jù)規(guī)范“5.2.7條”考慮軟弱層對(duì)地基承載力的不利影響，必要時(shí)采用加大基礎(chǔ)底寬或采用基礎(chǔ)處理等其它措施。

圖2 淺基礎(chǔ)下存在軟弱下臥層臨界埋深分析Fig.2 Schematic of critical embedded depth of weak substrata under shallow foundation

3 算例分析

為了分析基礎(chǔ)相對(duì)埋深ˉd＝d／b和軟弱下臥層相對(duì)臨界埋深ˉHcr＝Hcr／b之間的關(guān)系，本次計(jì)算取軟弱下臥層為浙江沿海地區(qū)海堤圍區(qū)內(nèi)的2種典型淤泥土參數(shù)：①淤泥土1＃：c1＝9 kPa，γ1＝16.5 kN／m3，φ1＝1°；②淤泥土2＃：c1＝13 kPa，γ1＝17 kN／m3，φ1＝3°。

取2種典型的地基上層土，其力學(xué)參數(shù)分別為：①上層土為黏土?xí)r，c＝30 kPa，γ＝19 kN／m3，φ＝10°；②上層土為砂土?xí)r，c＝7 kPa，γ＝18 kN／m3，φ＝23°；取地基寬度分別為2，4，6，8 m，取Es／Es1＝3，即基底壓力擴(kuò)散角取θ＝23°，其中靜止土壓力系數(shù)均取K0＝1－sinφ。采用本文理論及公式分析計(jì)算，軟弱下臥層臨界埋深與土層力學(xué)性質(zhì)及基礎(chǔ)底寬的關(guān)系曲線見圖3。

圖3 當(dāng)基礎(chǔ)底寬b＝3，6 m時(shí)軟弱層相對(duì)臨界埋深ˉHcr與基礎(chǔ)相對(duì)臨界埋深ˉd關(guān)系曲線Fig.3 Curves of relative critical embedded depth of weak strata vs.relative critical embedded depth of foundation（foundation bottom w idth b＝3 m and 6 m）

通過實(shí)例計(jì)算分析，得出了不同基礎(chǔ)寬度、不同土層抗剪強(qiáng)度指標(biāo)組合下的軟弱下臥層相對(duì)臨界埋深ˉHcr關(guān)系曲線，認(rèn)為軟弱層抗剪強(qiáng)度指標(biāo)越好、上層土內(nèi)摩擦角越大，軟弱下臥層相對(duì)臨界埋深ˉHcr就越小，其不利影響就越小；基礎(chǔ)底寬越大，其軟弱下臥層相對(duì)臨界埋深ˉHcr就越小，但當(dāng)基礎(chǔ)寬度大于6 m后，基礎(chǔ)寬度影響逐漸變小。最后給出了軟弱下臥層影響的推薦相對(duì)臨界埋深值，見表1。

表1 不考慮軟弱下臥層影響時(shí)的相對(duì)臨界埋深ˉHcr建議表Table1 Recommendations of relative critical embedded depth when the im pact of weak substrata is not considered

4 結(jié) 語

本文采用嚴(yán)密的數(shù)學(xué)理論，推導(dǎo)了地基承載力公式；并利用該公式對(duì)基礎(chǔ)軟弱下臥層臨界埋深進(jìn)行深入研究，主要得出以下結(jié)論：

（1）推導(dǎo)了考慮靜止土壓力系數(shù)K0≠1時(shí)的條形地基的彈塑性臨界荷載P1／4，并與國標(biāo)公式5.2.5條進(jìn)行了對(duì)比分析，認(rèn)為國標(biāo)公式高估了地基的承載力，本文公式相對(duì)較合理；基礎(chǔ)相對(duì)埋設(shè)深度越大、下層土內(nèi)摩擦角越大、下層土凝聚力越小，則本文導(dǎo)出的承載力公式與國標(biāo)公式相差越大，且下層土內(nèi)摩擦角影響最大。

（2）對(duì)基礎(chǔ)下軟弱下臥層相對(duì)臨界埋深進(jìn)行了研究，得出了軟弱下臥層相對(duì)臨界埋深ˉHcr與基礎(chǔ)相對(duì)埋深（d／b）之間的無量綱公式。

（3）通過工程實(shí)例計(jì)算，得出了不同基礎(chǔ)寬度、不同土層抗剪強(qiáng)度指標(biāo)組合下的軟弱下臥層相對(duì)臨界埋深ˉHcr關(guān)系曲線，認(rèn)為軟弱層抗剪強(qiáng)度指標(biāo)越大、上層土內(nèi)摩擦角越大，則軟弱下臥層相對(duì)臨界埋深ˉHcr就越小，軟弱下臥層的不利影響就越小。隨著基礎(chǔ)底寬越大，其軟弱下臥層相對(duì)臨界埋深ˉHcr就越小，但當(dāng)基礎(chǔ)寬度大于6 m后，基礎(chǔ)寬度影響逐漸變小。最后給出了軟弱下臥層影響的推薦相對(duì)臨界埋深值。

［1］ GB50007—2011，建筑地基基礎(chǔ)設(shè)計(jì)規(guī)范［S］.北京：中國建筑工業(yè)出版社，2011.（GB50007—2011，Code for Design of Building Foundation［S］.Beijing：China Building Industry Press，2011.（in Chinese））

［2］ 趙樹德.地基彈塑性承載力K0≠1時(shí)的計(jì)算公式［J］.西安建筑科技大學(xué)學(xué)報(bào)，1995，27（3）：294－298.（ZHAO Shu-de.Formula of Bearing Capacity of Subgrade with K0≠1.0［J］.Journal of Xi’an University of Architecture＆Technology，1995，27（3）：294－298.（in Chinese））

［3］ 陳樂意，李鏡培，梁發(fā)云.考慮荷載埋深與K0變化的地基臨界荷載［J］.巖土工程學(xué)報(bào)，2010，32（12）：1930－1934.（CHEN Le-yi，LIJing-pei，LIANG Fa-yun.Critical Load of Ground Considering Load Embedded Depth and Variation of K0［J］.Chinese Journal of Geotechnical Engineering，2010，32（12）：1930－1934.（in Chinese））

［4］ 梅 嶺，梅國雄，易宗發(fā).K0≠1時(shí)的地基臨塑載荷和臨界載荷近似計(jì)算公式［J］.計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào)，2010，27（6）：1090－1095.（MEI Ling，MEI Guo-xiong，YI Zong-fa.Approximate Formulas of Critical Edge Pressure and Critical Load of Subsoil with K0≠1［J］.Chinese Journal of Computational Mechanics，2010，27（6）：1090－1095.（in Chinese））

［5］ 隋鳳濤，王士杰，馬建超.新的臨界荷載計(jì)算公式［J］.河北農(nóng)業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2009，32（5）：94－97.（SUIFengtao，WANG Shi-jie，MA Jian-chao.New Formula of Critical Load of Subsoil［J］.Journal of Agricultural University of Hebei，2009，32（5）：94－97.（in Chinese） ）

（編輯：劉運(yùn)飛）

Critical Embedded Depth of Foundation’s W eak Substrata W hen K0≠1

HUANG Chao-xuan，YUANWen-xi，F(xiàn)ANG Yong-lai
（Zhejiang ProvincialWater Conservancy and Hydropower Survey and Design Institute，Zhejiang 310002，China）

Mathematical inferential reasoning was employed to obtain the critical load P1／4of strip foundation when the effect of K0≠1 was considered，and the obtained formulawas compared with formula 5.2.5 in Code for Design of Building Foundation（GB50007—2011）.It’s believed that the formula in the Code overestimates the foundation’s bearing capacity while the formula in this study ismore reasonable.When weak substrata exists in the foundation’s load carrying layers，a check formula for the bearing capacity of theweak substrata is given in“5.2.7”in the Code，but the Code doesn’t explain under what embedded depth ofweak strata the effect of K0≠1 can be ignored.On the basis of the obtained formula of foundation’s bearing capacity，the relationship between the relative critical embedded depth（Hcr／b）ofweak strata and the relative embedded depth of foundation（d／b）was obtained through dimensionless calculation.Finally through calculation examples，curves of relative critical embedded depth（Hcr／b）with different foundation widths and different shear strengths ofweak layer were acquired.It’s concluded thatwhen the shear strength ofweak strata and the internal friction angle of topsoil are larger，the relative critical embedded depth of weak substrata Hcris smaller，hence the adverse impactwould be smaller.

foundation’s bearing capacity；coefficient of lateral earth pressure；weak substrata；critical depth of weak strata；

TV223.2；TU470.3

A

1001－5485（2013）01－0056－05

10.3969／j.issn.1001－5485.2013.01.011

2011－11－22；

2012－03－08

黃朝煊（1983－），男，湖北黃石人，碩士研究生，主要從事水工結(jié)構(gòu)工程研究，（電話）13819483276（電子信箱）516227811＠qq.com。