吳華穩(wěn),王富章

(中國鐵道科學(xué)研究院電子計算技術(shù)研究所,北京100081)

基于最大Lyapunov指數(shù)的鐵路煤炭發(fā)送量預(yù)測研究

吳華穩(wěn),王富章*

(中國鐵道科學(xué)研究院電子計算技術(shù)研究所,北京100081)

應(yīng)用混沌理論的相空間重構(gòu)方法,分析了與鐵路煤炭運量相關(guān)的3組時間序列,分別計算了它們的嵌入延遲時間、嵌入維數(shù)、關(guān)聯(lián)維數(shù)、最大Lyapunov指數(shù)等混沌統(tǒng)計量,并以此為依據(jù)判斷了3組時間序列的混沌特性.結(jié)果顯示:煤炭發(fā)送增長量和增長率符合混沌特性,煤炭發(fā)送量不符合混沌特性.最后,利用最大Lyapunov指數(shù)方法和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法對鐵路煤炭發(fā)送增長量和增長率進行預(yù)測.預(yù)測結(jié)果表明,基于最大Lyapunov指數(shù)預(yù)測值能夠較好地與實際值相吻合,其預(yù)測的準確度明顯好于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測值.因而用混沌理論中的最大Lyapunov指數(shù)在煤炭發(fā)送量相關(guān)時間序列預(yù)測中有廣泛的實用價值.

鐵路運輸;煤炭發(fā)送量時間序列;最大Lyapunov指數(shù);混沌判定;相空間重構(gòu)

1 引 言

煤炭是我國鐵路貨運量比重最大的貨種,鐵路煤炭發(fā)送量預(yù)測是指根據(jù)鐵路運輸現(xiàn)狀的統(tǒng)計數(shù)據(jù),進行動態(tài)分析,結(jié)合國民經(jīng)濟和社會發(fā)展規(guī)劃,在定性基礎(chǔ)上進行定量計算,采用數(shù)理統(tǒng)計方法對鐵路煤炭發(fā)送量進行預(yù)測.正確預(yù)測鐵路煤炭發(fā)送量,對鐵路貨運發(fā)展、資源配置和經(jīng)營管理都有重要作用[1].

如何對鐵路煤炭發(fā)送量有效地進行預(yù)測,一直都是鐵路貨運運量處理所面臨的重大課題,近年來,國內(nèi)諸多學(xué)者在大量研究的基礎(chǔ)上提出了一些貨運預(yù)測的數(shù)學(xué)模型.文獻[2,3]利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有很強的非線性擬合能力,以及學(xué)習規(guī)則簡單、便于計算機實現(xiàn)的優(yōu)點,對鐵路貨運進行預(yù)測建模.但神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)存在過分依賴學(xué)習樣本、易陷入局部最優(yōu)、泛化能力不強等缺點.文獻[4,5]利用分形理論具有完備自相似性、遞歸性強的優(yōu)點對鐵路貨運進行預(yù)測,但分形理論預(yù)測體系還不成熟,計算量較大.文獻[6,7]利用灰色理論所需數(shù)據(jù)少、計算量小、不考慮分布情況、不考慮變化趨勢的優(yōu)點,對鐵路貨運進行建模預(yù)測,但灰色理論存在發(fā)展時間比較短、不適合長期預(yù)測等缺點.鑒于上述理論在研究鐵路貨運預(yù)測中的不足,本文采用混沌理論中最大Lyapunov指數(shù)預(yù)測方法對鐵路煤炭運量進行預(yù)測研究,該方法具有不易受噪聲數(shù)據(jù)影響,不陷入局部最優(yōu)解、解的精度較高、收斂速度快等優(yōu)點.

時間序列分析中的一個主要問題是判斷時序是確定性還是隨機的,從而合理選擇與待處理的序列數(shù)據(jù)相一致的處理方法.如果是隨機的,就沒有必要研究吸引子的性質(zhì)；如果序列是低自由度的確定性混沌,則系統(tǒng)必然是存在非線性機制的耗散系統(tǒng).如何確認時間序列是否混沌,Lyapunov指數(shù)是檢驗系統(tǒng)不穩(wěn)定、出現(xiàn)混沌的一個非常有用的特征量.本文按照混沌動力學(xué)的過程,根據(jù)煤炭運量時間序列計算最大Lyapunov指數(shù),建立模型來預(yù)測鐵路煤炭運量的發(fā)展規(guī)律,最后對預(yù)測結(jié)果進行了分析與驗證.

2 重構(gòu)相空間

相空間重構(gòu)的目的是從高維相空間中恢復(fù)混沌吸引子.混沌吸引子作為混沌系統(tǒng)的特征之一,體現(xiàn)了混沌系統(tǒng)的規(guī)律性.由Pachard[8]和Takens[9]等人證明了可以找到一個合適的嵌入維m和時間延遲τ,重構(gòu)相空間

式中 x(j)為時間序列；τ為時間延遲；m為嵌入維數(shù).

混沌時間序列相空間重構(gòu)即通過對一維時序的維數(shù)進行擴充和延拓,將其擴展到三維甚至更高維的空間中去,以便將時間序列中蘊藏的信息充分顯露出來.重構(gòu)相空間技術(shù)的關(guān)鍵就在于時間延遲τ和嵌入維數(shù)m的選取.

3 混沌時間序列的判定

3.1 鐵路煤炭發(fā)送量時間序列的選取

本研究數(shù)據(jù)選取從1999年1月1日到2012年6月26日14年共4 926天的鐵路煤炭發(fā)送量,如圖1所示.為對鐵路煤炭發(fā)送量進行全面的混沌分析,選取了3個時間序列,分別是鐵路煤炭發(fā)送量、鐵路煤炭發(fā)送增長量、鐵路煤炭發(fā)送增長率；其中煤炭發(fā)送量為基礎(chǔ)數(shù)據(jù),煤炭發(fā)送增長量由當日煤炭發(fā)送量減去前一日的煤炭發(fā)送量的差得到的增量數(shù)據(jù)；煤炭發(fā)送增長率由當日煤炭發(fā)送量數(shù)據(jù)減去前一日的數(shù)據(jù)的差再除以前一日的數(shù)據(jù)得到.

3.2 C—C求嵌入時延和嵌入窗

為了從給定的時間序列中把蘊藏的信息充分地顯露出來,以便恢復(fù)吸引力的特性,通常是采用時間延遲技術(shù)重構(gòu)相空間.在重構(gòu)相空間中,時延τ和嵌入維數(shù)m的選取具有非常重要的意義.1999年,H.S.Kim[10]等人基于嵌入窗的思想提出了C—C方法,該方法使用關(guān)聯(lián)積分同時估計出時延τd和嵌入窗τw.時延τd確保xi各成分相互依賴,但不依賴于m,而嵌入窗τw依賴于m,且τ隨m而變化.

圖1 鐵路煤炭日發(fā)送量時間趨勢Fig.1 The trend of railway coal dispatched volume per day

(3)根據(jù)Scor(t)最小值去發(fā)現(xiàn)時間序列的第一個整體最大嵌入窗.

根據(jù)C—C方法,在構(gòu)造出相空間后,代入煤炭發(fā)送量相關(guān)時間序列4 926天的數(shù)據(jù)進行計算.圖2展示了鐵路煤炭發(fā)送量相關(guān)時間序列用C-C方法求嵌入時延及嵌入窗,直線代表t),點“.”代表Δt),星號“*”代表Scor(t).

在上面的鐵路煤炭發(fā)送量相關(guān)時間序列用C-C方法求嵌入時延及嵌入窗中,根據(jù)圖2得到最佳時延和嵌入窗的數(shù)值,如表1所示.

表1 鐵路煤炭發(fā)送量相關(guān)時間序列最佳時延和嵌入窗數(shù)值Table 1 The optimal embedded time-delay and embedded window of railway dispatched volume time series

圖2 鐵路煤炭發(fā)送量相關(guān)時間序列用C-C方法求嵌入時延及嵌入窗Fig.2 C-C method to calculate embedded time-delay and embedded window of railway coal dispatched volume related time series

3.3 G-P方法求嵌入維數(shù)

基于時延嵌入空間的思想,Grassberger和Procaccia[11]在1983年提出了一個針對實驗數(shù)據(jù)的方法,即通過單變量時間序列在重構(gòu)空間上關(guān)聯(lián)積分C(r)與距離r的關(guān)系獲取分形維數(shù),稱為G-P算法.設(shè)D為關(guān)聯(lián)維,R為給定值,則有rD.在實際計算中通常讓n從小增大使D不變,即雙對數(shù)關(guān)系lnCn(r),lnr中除去斜率為0和∞的直線外,擬合最好的直線斜率就是D.而D的穩(wěn)定值就是嵌入維m.

下面是應(yīng)用飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)G-P方法求解3組鐵路煤炭發(fā)送量相關(guān)時間序列的嵌入維數(shù)的結(jié)果,計算中選取嵌入維數(shù)為1到15,最佳時延在表1中已算出數(shù)值,在圖3中顯示了鐵路煤炭發(fā)送量的相關(guān)時間序列的關(guān)聯(lián)維數(shù)隨嵌入維數(shù)增加的變化情況.

在圖3中,每組圖的下部分顯示了鐵路煤炭發(fā)送量相關(guān)時間序列的嵌入維數(shù)D隨著嵌入維數(shù)m的增加而變化的情況；每組圖上半部分顯示鐵路煤炭發(fā)送量相關(guān)時間序列,隨著嵌入時延的增加,線性區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)了趨于飽和的現(xiàn)象,繼續(xù)增加延遲時間幾乎不影響關(guān)聯(lián)積分的值,說明3組時間序列都不是隨機序列.由混沌理論可知,這種飽和現(xiàn)象的出現(xiàn)只是判別時間序列是否混沌的一個必要條件,更為精確的是通過最大Lyapunov指數(shù)來判斷.

圖3 鐵路煤炭發(fā)送量相關(guān)時間序列GP方法求關(guān)聯(lián)維及嵌入維數(shù)和關(guān)聯(lián)維數(shù)的關(guān)系Fig.3 G-P method to calculate correlation dimension and the relation of embedded dimension and correlation dimension of railway coal dispatched volume related time series

3.4 最大Lyapunov指數(shù)

Lyapunov指數(shù)是一個混沌特征量.該指數(shù)的大小可用來度量系統(tǒng)混沌的程度,當系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)λ大于0時,表示存在混沌吸引子,系統(tǒng)具有混沌特性；λ小于0時,表示系統(tǒng)為隨機系統(tǒng)或確定性系統(tǒng)；λ等于0時,表示系統(tǒng)對應(yīng)著分叉點或系統(tǒng)的周期解,即系統(tǒng)出現(xiàn)周期現(xiàn)象. Lyapunov指數(shù)的倒數(shù)為最大可預(yù)報時間,而且λ越大,系統(tǒng)運動可預(yù)測的時間越短,預(yù)測性越差.

本文應(yīng)用最小數(shù)據(jù)量法[12]對3組煤炭發(fā)送量時間序列進行最大Lyapunov指數(shù)的計算,圖4顯示了相空間中吸引子軌跡兩點之間距離的變化情況.

混沌軌道具有對初始值的敏感性,即從兩個相鄰的初始條件出發(fā)的兩條軌道之間的距離將隨時間指數(shù)增加而增加,這種敏感性可以用Lyapunov特征指數(shù)定量地描述[13].鐵路煤炭發(fā)送量相關(guān)時間序列計算結(jié)果如表2所示,通過數(shù)據(jù)顯示,只有煤炭增長量和增長率兩組時間序列的最大Lyapunov指數(shù)是明顯大于零時,才滿足混沌的條件.

圖4 煤炭發(fā)送量相關(guān)時間序列最大Lyapunov指數(shù)Fig.4 The maximal Lyapunov exponent of coal dispatched volume related time series

表2 鐵路煤炭發(fā)送量相關(guān)時間序列最大Lyapunov指數(shù)Table 2 The maximal Lyapunov exponent of coal dispatched volume related time series

4 基于最大Lyapunov指數(shù)的鐵路運量預(yù)測

4.1 基于最大Lyapunov指數(shù)的鐵路運量預(yù)測步驟

(1)對時間序列{x(i),i=1,2,…,N}進行FFT變換[1],計算出平均周期p；

最后，不要隨便掏耳朵。俗話說：“耳不掏不聾?！蓖舛榔つw比較嬌嫩，與軟骨膜連接比較緊密，皮下組織少，血液循環(huán)差，掏耳朵時如果用力不當容易引起外耳道損傷、感染，導(dǎo)致外耳道發(fā)炎、潰爛。掏耳朵時稍不注意，還會傷及鼓膜或聽小骨，造成鼓膜穿孔，影響聽力。

(2)用C-C方法同時計算出嵌入維數(shù)m和時間延遲τ；

(3)根據(jù)時間延遲τ和嵌入維數(shù)m重構(gòu)相空間{y(t),t=1,2,…,M}；由C-C方法和G-P算法計算出時間延遲和嵌入維數(shù)；

(5)對相空間中每個點y(t),計算出該鄰域點對的i個離散時間步后的距離dt(i)為

(6)對每個i求出x(i),即

式中 q為非零dt(i)的數(shù)目,并用最小二乘法做出回歸直線,該直線的斜率為最大Lyapunov指數(shù)λ1.

選用鐵路煤炭運量從1999年1月1日到2012年6月26日之間14年共4 926天增長量時序數(shù)據(jù)和增長率時序數(shù)據(jù)構(gòu)成時間序列{x(t)},t=1,2,…,n,n=4 926.按照混沌動力學(xué)的理論,Lyapunov指數(shù)λ1的倒數(shù)Tm=1/λ1表示混沌系統(tǒng)最長預(yù)報時間.煤炭增長量λ1=0.030 8,則增長量最長預(yù)報時間Tm=1/λ1=32天；煤炭增長率λ1=0.025 3,從而增長率最長預(yù)報時間Tm=1/λ1=40天.比較二者最長預(yù)報時間,為提高預(yù)測精度,選取預(yù)測長度為30天.即在時間序列4 926個長度中,選取前4 896天數(shù)據(jù)進行相關(guān)參數(shù)的計算,后30天數(shù)據(jù)用作預(yù)測模型的檢驗.

4.3 預(yù)測結(jié)果及分析

依據(jù)上述的預(yù)測步驟,對鐵路煤炭增長量時間序列和增長率時間序列進行最大Lyapunov指數(shù)預(yù)測,并與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測數(shù)據(jù)進行比較,將預(yù)測結(jié)果繪制成曲線如圖5所示.曲線中“+”號代表真實值,“o”代表最大Lyapunov指數(shù)預(yù)測值,“*”代表BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測值.用前4 896天的數(shù)據(jù)作為基礎(chǔ)數(shù)據(jù),來預(yù)測從第4 897天到第4 926天共30天的數(shù)據(jù),并與實際值進行比較.其中,BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建根據(jù)系統(tǒng)輸入輸出數(shù)據(jù)特點確定的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu).由3.3節(jié)得出煤炭增長量嵌入維數(shù)m=12,也就是說一個相空間含有12個狀態(tài)變量,所以BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的輸入層神經(jīng)元個數(shù)為12；神經(jīng)模型的預(yù)報步長為1,所以BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型輸出層的神經(jīng)元數(shù)為1.計算隱層神經(jīng)元的個數(shù)采用經(jīng)驗公式

式中 n1為隱層神經(jīng)元個數(shù)；n為輸入層神經(jīng)元個數(shù)；m為輸出層神經(jīng)元個數(shù)；a為1-10之間的常數(shù).

應(yīng)用式(1)-式(5)計算煤炭增長量隱層神經(jīng)元數(shù)4≤n1≤13,經(jīng)試算選定隱層神經(jīng)元的個數(shù)為5,最后確定鐵路煤炭增長量神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型結(jié)構(gòu)為12-5-1,同理鐵路煤炭增長率神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型結(jié)構(gòu)為12-6-1.得到鐵路煤炭運量神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型結(jié)構(gòu)后,進行BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練,然后仿真預(yù)測未來值,得到的預(yù)測結(jié)果如圖5所示,并將真實值、最大Lyapunov指數(shù)預(yù)測值、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測值進行對比分析.從圖5可以看出,最大Lyapunov指數(shù)預(yù)測結(jié)果前15天的數(shù)據(jù)預(yù)測值和真實值融合度很高；后15天的數(shù)據(jù)隨著天數(shù)的增加,變化趨勢是一致的,離散較?。欢鳥P神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測值誤差相比最大Lyapunov指數(shù)預(yù)測誤差大一些.結(jié)果表明,基于最大Lyapunov指數(shù)預(yù)測結(jié)果能很好地反映鐵路煤炭日增長量和增長率的變化趨勢,預(yù)測精度較高.

為了明確煤炭增長量和增長率的混沌預(yù)測效果,對預(yù)測結(jié)果的精度進行性能校驗.本文用預(yù)測值與實際值的均方差作為評判預(yù)測效果的一個指標,如式(6)所示:

ESS小,說明預(yù)測值偏離實際值的程度小,預(yù)測效果較好；ESS大,說明預(yù)測值偏離實際值的程度大,預(yù)測效果就較差.實驗表明,對于最大Lyapunov指數(shù)預(yù)測,影響ESS的主要因素有:被預(yù)測序列的混沌性,構(gòu)造狀態(tài)空間的維數(shù)m,確定預(yù)測點鄰界狀態(tài)的距離,序列長度N和預(yù)測長度L等.通過式(6)算出基于最大Lyapunov指數(shù)預(yù)測鐵路煤炭增長量的誤差為7.621%,煤炭增長率的誤差為6.323%；BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測鐵路煤炭增長量的誤差為16.927%,煤炭增長率的誤差為15.673%.

圖5 煤炭發(fā)送增長量和增長率時間序列預(yù)測Fig.5 Coal dispatched volume growth amount and growth rate time series prediction

5 研究結(jié)論

煤炭發(fā)送量是鐵路貨運中的重要指標,針對煤炭發(fā)送量相關(guān)時間序列的非線性特性,本文證明了鐵路煤炭增長量和增長率為混沌時間序列,并應(yīng)用C-C方法和G-P方法確定了煤炭發(fā)送量相關(guān)時間序列的嵌入時延和嵌入維數(shù),探討了時間序列重構(gòu)吸引子的特點,并通過最大Lyapunov方法實現(xiàn)了煤炭增長量和增長率的預(yù)測,同時與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測結(jié)果進行對比.通過實例分析,結(jié)果表明:

(1)本文通過計算Lyapunov指數(shù),得到煤炭增長量和增長率的Lyapunov指數(shù)處于[0,1]之間,說明數(shù)據(jù)有較強的擬周期性,可以進行有限步的預(yù)測,具備時間序列的混沌特性.在實際生產(chǎn)項目中,對增長量和增長率的預(yù)測往往比對發(fā)送量預(yù)測更有研究意義.

(2)本次研究根據(jù)時間序列的非線性特性,分別基于最大Lyapunov指數(shù)以及BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對鐵路煤炭運量進行預(yù)測.實際預(yù)測結(jié)果表明,基于最大Lyapunov指數(shù)的混沌預(yù)測在逼近能力、分類能力和學(xué)習速度等方面均優(yōu)于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；而且由于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法有學(xué)習收斂速度較慢,容易陷入局部極小點等固有不足.從預(yù)測結(jié)果中可以清晰發(fā)現(xiàn),采用基于最大Lyapunov指數(shù)預(yù)測模型可以得到更高的預(yù)測精度,從而更好地滿足實際現(xiàn)場的需要.

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Railway Coal Dispatched Volume Prediction Based on Maximum Lyapunov Exponent

WU Hua-wen,WANG Fu-zhang
(Institute of Computing Technology,China Academy of Railway Sciences,Beijing 100081,China)

The phase space reconstruction method of chaos theory is used to analyze the three groups of time series associated with railway coal dispatched volume.The embedded time-delay,embedded dimension,correlation dimension and the maximum Lyapunov exponent of each time series are separately calculated.The results are used to judge the chaotic characteristic of time series.The analytical results show as follows:the growth amount and growth rate of railway coal dispatched volume have chaotic characteristics while the coal dispatched volume doesn't.The maximum Lyapunov exponent method and BP neural network are separately used to forecast the growth amount and growth rate of railway coal dispatched volume.The result shows that the predicted data using maximum Lyapunov exponent method is anastomotic with the real data.The maximum Lyapunov exponent method is better than BP neural network in prediction.The maximum Lyapunov exponent prediction of chaos theory has extensive and practical value in railway coal dispatched volume time series prediction.

U29.39

A

U29.39

A

1009-6744(2013)06-0184-07

2013-06-24

2013-09-03錄用日期:2013-09-23

鐵道部科技研究課題(2007X008-G,2008X015-H).

吳華穩(wěn)(1983-),男,河北唐山人,博士生.

*通訊作者:wfzh@rails.cn

Key words:railway transportation；railway coal dispatched volume time series；maximum Lyapunov exponent；chaotic judgment；phase space reconstruction