☉江蘇省淮安市清河中學(xué) 石禮標(biāo) 汪俊紅

求幾個(gè)函數(shù)或代數(shù)式最大值的最小值（或最小值的最大值）問(wèn)題，在高考試題、各地模擬題以及競(jìng)賽題中經(jīng)常出現(xiàn)，屬于難度較大的題目.其實(shí)這類問(wèn)題的解決并不復(fù)雜，如果掌握這類問(wèn)題解決方法，不僅可以迅速將這類問(wèn)題解決，并且可根據(jù)其規(guī)律命制許多新的題目.為了行文方便，本文用max{a，b}表示a，b中的最大值，min{a，b}表示a，b中的最小值.

題型一：僅含一個(gè)變量，可分類討論或構(gòu)造函數(shù)根據(jù)圖像解決

例1設(shè)f（x）=max{x2－2，x}，則f（x）的最小值為_(kāi)____.

解法1：當(dāng)x2－2≥x，即x≥2或x≤－1時(shí)，f（x）=x2－2≥－1；

當(dāng)x2－2＜x，即－1＜x＜2時(shí)，f（x）=x∈（－1，2）.

所以f（x）的最小值為－1.

解法2：設(shè)g（x）=x2－2，h（x）=x，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出它們的圖像（如圖1），已知兩函數(shù)圖像交于P（－1，－1），Q（（2，2）.而f（x）的圖像為圖中實(shí)線部分，所以f（x）的最小值為－1.

評(píng)注：上面用了兩種不同的方法加以解決.解法1突出分類討論，通過(guò)比較兩者的大小，在一定條件下確定大者后再求其值域或最小值；解法2突出數(shù)形結(jié)合，以形助數(shù)，選取圖像位置相對(duì)高的部分，再確定最小值.這是解決這類問(wèn)題常用的兩種方法.

圖1

圖2

例2（2009年海南卷）設(shè)f（x）=min{2x，x+2，10－x}（x≥0），則f（x）的最大值為_(kāi)_____.

解：設(shè)g（x）=2x，h（x）=x+2，q（x）=10－x（x＞0），在同一坐標(biāo)系中作出它們的圖像（如圖2），可知f（x）的圖像為圖中實(shí)線部分.而h（x）=x+2與q（x）=10－x的圖像交點(diǎn)為（4，6），所以（fx）的最大值為6.

評(píng)注：由于涉及三個(gè)函數(shù)，如果分類討論就比較煩瑣，而作出相應(yīng)的函數(shù)圖像后，根據(jù)函數(shù)圖像高低位置可迅速確定圖像，當(dāng)然也就知道所求最大值是哪兩個(gè)圖像的交點(diǎn)的縱坐標(biāo).因此對(duì)于多個(gè)函數(shù)式用數(shù)形結(jié)合更簡(jiǎn)捷.

有如下4種情況：

評(píng)注：雖然本題所提供的函數(shù)圖像均容易畫(huà)出，但涉及最小值之間的倍數(shù)關(guān)系，由圖像難以觀察出數(shù)量之間的關(guān)系，因此采用分類討論法較為適宜.

例4 如圖3，已知△ABC的面積為1，點(diǎn)D在AC上，DE∥AB，連接BD，設(shè)△DCE、△ABD、△BDE中最大面積為y，則y的最小值為_(kāi)_____.

圖3

由1-x-（x-x2）=1-2x+x2=（1-x）2＞0，得y=max{x2，1-x}.

總結(jié)：對(duì)于一元多個(gè)代數(shù)式求大中最小或小中最大，用分類討論或數(shù)形結(jié)合加以解決是常用方法.但在具體的求解過(guò)程中，要根據(jù)條件靈活選擇.若僅有兩個(gè)代數(shù)式兩法皆可，但要是三個(gè)或更多，顯然用數(shù)形結(jié)合較好，可避免討論的復(fù)雜性.當(dāng)然在解決多個(gè)函數(shù)最值問(wèn)題時(shí)，要適當(dāng)觀察是否有大小已定的，若有，迅速將問(wèn)題簡(jiǎn)單化處理.

題型二：含有多個(gè)變量，通過(guò)和積等運(yùn)算，根據(jù)基本不等式構(gòu)造常數(shù)

所以M的最大值為1.

例6 設(shè)a=lnz+ln［x（yz）-1+1］，b=lny+ln［（xyz）-1+1］，記M=max{a，b}，則M的最小值為_(kāi)_____.

而M≥a，M≥b，則2M≥a+b≥ln 4.

所以M的最小值為ln 2，此時(shí)x=1，yz=1.

評(píng)注：本題其實(shí)與例5類似.但a、b的關(guān)系不明顯，需要適當(dāng)變形后，方能得到a+b可用基本不等式轉(zhuǎn)化為常數(shù).

此時(shí)M的最小值為2，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=1時(shí)取等號(hào)；

此時(shí)M的最小值為2，當(dāng)且僅當(dāng)a=1，bc=1時(shí)取等號(hào).

故M的最小值為2.

總結(jié)：對(duì)于含有多個(gè)變量，幾個(gè)代數(shù)式求大中最小或小中最大，常通過(guò)幾個(gè)代數(shù)式和或積等運(yùn)算，轉(zhuǎn)化為根據(jù)基本不等式構(gòu)造出常數(shù)，進(jìn)而求出所需要的最值.由于涉及基本不等式，因此對(duì)等號(hào)成立的條件必須要注明.例7放縮后用分類討論求解，但顯然沒(méi)有用基本不等式求解簡(jiǎn)單.

命制一些原創(chuàng)題：

既然掌握了這類問(wèn)題的一般解法，也自然知道這類題型的命制規(guī)律，當(dāng)然也就可以命制一些題目了.

若僅含一元的多代數(shù)式，可命制下面一些容易題.如下面兩題：

原創(chuàng)題1：M=max{x2-x，1-x2}的最小值為_(kāi)_____（. 答案：0）

如果兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)不好求解，可通過(guò)第三量進(jìn)行調(diào)控.如原創(chuàng)題3：

原創(chuàng)題3：（fx）=max{2-x，2x}，則不等式（fx）＞4的解集為_(kāi)_____（. 答案：（-∞，-2）∪（2，+∞））

當(dāng)然，想增加難度，可命制三個(gè)代數(shù)式的最值問(wèn)題.如原創(chuàng)題4與原創(chuàng)題5：

如果與相關(guān)圖形結(jié)合，需要表示出相關(guān)量.再求其最值，就變?yōu)殡y題了.如原創(chuàng)題6：

原創(chuàng)題6：如圖4，邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，∠QAP=45°（其中點(diǎn)P、Q分別在邊BC、CD上）.設(shè)BP=t，M=max{AP，PQ，AQ}，AP、PQ、AQ表示對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng).則M的最小值為_(kāi)_____.

圖4

若含多元的多代數(shù)式，可命制下面一些容易題.如下面原創(chuàng)題7～9：

當(dāng)然，想增加難度，可命制三個(gè)代數(shù)式的最值問(wèn)題，或者所給代數(shù)式的關(guān)系不明顯.如原創(chuàng)題10、11：

若題目中給出多個(gè)代數(shù)式，但隱含了其中兩個(gè)代數(shù)式的大小，需要觀察并證明，達(dá)到適當(dāng)減少代數(shù)式的個(gè)數(shù)，就比較難了.如原創(chuàng)題12：