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圓是高中數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容之一，也是高考命題的熱點，高考中我們經(jīng)常會遇到圓的問題，可以說是左右逢“圓”，如何能夠突破圓的包圍，出奇制勝？現(xiàn)結(jié)合有關(guān)圓的題目，用四招輕松化險.

一、識圓

例2 （2011年江西卷）若曲線的極坐標(biāo)方程為ρ=2sin θ+4cos θ，以極點為原點，極軸為x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，則該曲線的直角坐標(biāo)方程為______.

解析：由方程ρ=2sin θ+4cos θ可得ρ2=2ρsin θ+4ρcos θ，由極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化公式易得x2+y2=2x+4y，即x2+y2-4x-2y=0.

點評：相見卻又不能相識，是解題者的一大悲嘆，也是考試丟分的主要原因！以上兩例是左右逢“圓”的開始，也是解題正確的關(guān)鍵.只有充分的認(rèn)識圓，不管它以何種方式（參數(shù)方程、極坐標(biāo)等）出現(xiàn)，我們都要能慧眼識珠，這樣才能在解題中立于不敗之地.

二、用圓

例3 （2011年北京卷）如圖1，AD，AE，BC分別與圓O切于點D，E，F(xiàn)，延長AF與圓O交于另一點G.給出下列三個結(jié)論：①AD+AE=AB+BC+CA；②AF·AG=AD·AE；③△AFB∽△ADG，

其中正確結(jié)論的序號是（ ）

圖1

A.①② B.②③

C.①③ D.①②③

點評：例3中圓的性質(zhì)運用比較明顯，例4的解決應(yīng)先認(rèn)識到點M在以橢圓焦距為直徑的圓上，又圓周上任意一點都在橢圓內(nèi)部，則由圓的性質(zhì)知短半軸長b比圓的半徑c大，從而轉(zhuǎn)化為與離心率有關(guān)的不等關(guān)系.

三、構(gòu)圓

問題轉(zhuǎn)化為：在三角形AOB的外接圓上求一點C，使得OC最大或者求三角形ABC外接圓的直徑.

圖2

分析：按常規(guī)思路思考，比較困難，不妨改變一下思路，從數(shù)形結(jié)合入手，可通過構(gòu)造圓來解決問題.

綜上所述，所求函數(shù)的值域為［-1，0］，應(yīng)選B.

點評：根據(jù)題目特征構(gòu)造圓，將原問題巧妙轉(zhuǎn)化為與圓有關(guān)的問題，然后利用圓的有關(guān)知識最終將問題順利解決.此法突破常規(guī)，不僅解決了問題，而且發(fā)散了同學(xué)們的思維，加強了知識間的縱橫聯(lián)系.可謂一舉兩得，一箭雙雕.

四、共圓

例8 （2011年全國新課標(biāo)卷）如圖3，D，E分別為△ABC的邊AB，AC上的點，且不與△ABC的頂點重合.已知AE的長為m，AC的長為n，AD，AB的長是關(guān)于x的方程x2-14x+mn=0的兩個根.

（1）證明：C，B，D，E四點共圓；

（2）若∠A=90°，且m=4，n=6，求C，B，D，E所在圓的半徑.

圖3

圖4

圖5

故C，B，D，E四點所在圓的半徑為5.

例9（2011年遼寧卷）如圖5，A，B，C，D四點在同一圓上，AD的延長線與BC的延長線交于E點，且EC=ED.

（1）證明：CD∥AB；

（2）延長CD到F，延長DC到G，使得EF=EG，證明：A，B，G，F(xiàn)四點共圓.

證明：（1）因為EC=ED，所以∠EDC=∠ECD.因為A，B，C，D四點在同一圓上，所以∠EDC=∠EBA.故∠ECD=∠EBA，所以CD∥AB.

（2）由（1）知，AE=BE，又因為EF=FG，故∠EFD=∠EGC，從而∠FED=∠GEC.連結(jié)AF，BG，則△EFA≌△EGB，故∠FAE=∠GBE，又CD∥AB，∠EDC=∠ECD，所以∠FAB=∠GBA.所以∠AFG+∠GBA=180°，故A，B，G，F(xiàn)四點共圓.

點評：共圓問題在近幾年的高考中悄然興起，成為高考中的一支新軍，但卻并未引起足夠的重視，丟分現(xiàn)象非常嚴(yán)重.以上兩例旨在拋磚引玉，以期引起同學(xué)們的關(guān)注，爭取在這方面少丟分，甚至不丟分.