☉湖北省武漢市黃陂六中 梅 磊

湖北省教育考試院《2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試大綱（湖北卷）數(shù)學(xué)科考試說明》（以下簡稱“《考試說明》”）不僅是2013年湖北高三教師和學(xué)生復(fù)習(xí)備考的重要資料，同時也是2013年湖北高考數(shù)學(xué)命題的主要依據(jù).學(xué)習(xí)研究《考試說明》，明確其強化什么，淡化什么，突出什么，回避什么，對明晰考試要求和把握復(fù)習(xí)方向有重要意義.

《考試說明》共分考試性質(zhì)、命題指導(dǎo)思想、考核目標與要求、考試范圍與要求層次、考試形式與試卷結(jié)構(gòu)和題型示例5個部分，其中考核目標與要求部分對數(shù)據(jù)處理能力的考查，對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的考查，對數(shù)學(xué)思想和方法的考查，對數(shù)學(xué)能力的考查的表述與2012年略有調(diào)整，考試范圍與要求層次部分對具體內(nèi)容及層次要求略有調(diào)整，題型示例部分有所調(diào)整.

一、關(guān)于數(shù)學(xué)知識的考查

《考試說明》的表述是：對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的考查，既全面又突出重點，注重學(xué)科的內(nèi)在聯(lián)系和知識的綜合.注重試題的基礎(chǔ)性、綜合性和層次性.合理調(diào)控綜合程度，堅持多角度、多層次的考查.對知識的要求由低到高分為了解、理解、掌握三個層次.

與2012年相比，《考試說明》在考試具體內(nèi)容及層次要求中，有以下一些變化：

（1）三角函數(shù)中“誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式”由“理解”變?yōu)椤罢莆铡?

解讀：對“誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式”考查要求由“理解”變?yōu)椤罢莆铡焙?，三角變換的四組公式：誘導(dǎo)公式、同角公式、和差公式、倍角公式的考查要求均為“掌握”，說明三角變換相對提高了要求.這是因為對于三角變換，試題的復(fù)雜程度較之以前已明顯降低，而考生的作答情況則隨著試題變得簡單而越來越不盡如人意，特別是2012年湖北高考文科第18題實測難度僅為0.39，意外成為難題.

建議：三角變換的目的是化簡，化簡的最終結(jié)果是為了把問題本質(zhì)的東西更好地體現(xiàn)出來，所以復(fù)習(xí)中要弄清三角變換的目的、思路和方法，準確把握變換目標、變換對象，從宏觀上把控變換方向.一切為實現(xiàn)目標服務(wù)，避免機械、盲目地套用公式.只有理解了變換的目的，才能做恰當?shù)淖儞Q.

參考題：人教A版課本必修4第147頁A組第9-12題，B組第6題.

（2）三角函數(shù)中“了解周期函數(shù)的定義、三角函數(shù)的周期性”改為“了解周期函數(shù)的定義”.

解讀：去掉了“三角函數(shù)的周期性”的特指，說明對一般函數(shù)的周期性也有所要求，更符合近幾年湖北考題實際.

建議：按照《考試說明》要求：了解周期函數(shù)的定義，能夠“按照一定的程序和步驟照樣模仿”，要注意一般函數(shù)的周期性.

參考題：人教A版課本必修4第46頁A組第10題，B組第3題.

建議：需要強調(diào)的是，人教A版課本選修4-5第9頁用黑體字給出了一般形式的算術(shù)—幾何平均不等式，第53頁“探究”提供了證明一般形式的算術(shù)—幾何平均不等式的一種方法.

參考題：2011年湖北高考理科第21題，2012年湖北高考理科第22題.

（4）導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用中，“常見基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式”加注“*”號，并在表后附有8個公式.

解讀：借鑒其他省市的做法，《考試說明》附注8個常見基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，避免了其他公式是不是常見基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式的爭論.

建議：不要求根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義推導(dǎo)這些公式，只要求能夠利用它們求簡單的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即可.在復(fù)習(xí)中，適量的練習(xí)對于熟悉這些公式的運用是必要的，但應(yīng)避免過量的形式化的運算練習(xí).

參考題：人教A版課本選修1-1第85頁A組第4題（選修2-2第18頁A組第4題）.

（5）導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用中，“利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性”和“函數(shù)的極值、最值”由“理解”變?yōu)椤罢莆铡?，并去掉了“多項式函?shù)一般不超過三次”的限制.

解讀：導(dǎo)數(shù)在中學(xué)階段的定位就是以研究函數(shù)單調(diào)性為核心的，這是與導(dǎo)數(shù)的定義相關(guān)的.函數(shù)單調(diào)性與函數(shù)的最值以及發(fā)展趨勢有著必然聯(lián)系，因此在利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的問題中也提出會求函數(shù)極大值與極小值的要求以及閉區(qū)間上最大值與最小值的要求.“利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性”和“函數(shù)的極值、最值”由“理解”變?yōu)椤罢莆铡?，說明“利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值、最值”提高了要求，去掉了“多項式函數(shù)一般不超過三次”的限制，說明可能考查四次函數(shù)和五次函數(shù)等.

建議：需要強調(diào)的是，函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值、最值方法在人教A版課本選修2-2（選修1-1）都是用黑體字給出的.要掌握課本上利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值的方法，以及利用函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值證明不等式的方法.值得注意的是，可能考查四次函數(shù)和五次函數(shù)，這在其他省市高考試卷中考查過.

參考題：2007年重慶理科第20題，2008年天津文科第21題，2008年江西文科第21題，2008年湖南文科第21題，2008年四川文科第20題，2009年全國Ⅰ文科第21題，2010年全國Ⅰ文科第21題.

（6）圓錐曲線中，“雙曲線的定義及標準方程”和“雙曲線的簡單幾何性質(zhì)”由“了解”變?yōu)椤袄斫狻?

解讀：近年來，高考對雙曲線的考查要求不斷降低，從“掌握”到“理解”再到“了解”，導(dǎo)致考生的作答情況越來越不盡如人意，《考試說明》提高對“雙曲線”的要求，對湖北高中數(shù)學(xué)教學(xué)有導(dǎo)向作用.

建議：要讓學(xué)生真正理解雙曲線的定義及標準方程和簡單幾何性質(zhì)，注意雙曲線與橢圓的區(qū)別與聯(lián)系，注意等軸雙曲線和黃金雙曲線等特殊的雙曲線.

參考題：人教A版課本選修2-2第60頁例6，2012年湖北高考理科第14題.

（7）概率與統(tǒng)計中，“用樣本的頻率分布估計總體分布，用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征”由“掌握”變?yōu)椤袄斫狻?

解讀：對“用樣本估計總體”的要求，由“掌握”變降低為“理解”，與前面兩個相關(guān)考點的要求保持一致，更符合《課程標準》的要求.

建議：結(jié)合生活化背景考查頻率分布表、頻率分布直方圖和莖葉圖是高考的熱點，其方式主要是理解頻率分布表、頻率分布直方圖和莖葉圖，并由圖、表得到數(shù)據(jù)相關(guān)信息，在此基礎(chǔ)上考查頻率、頻數(shù)、樣本容量，并與概率或其他知識交匯考查，要引起重視.另外，眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)是初中就學(xué)了樣本數(shù)據(jù)的基本數(shù)字特征.值得注意的是，高中課本新增了從頻率分布直方圖中估計樣本的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù).

參考題：2012年湖北高考文科第5題.

要仔細推敲《考試說明》對考試內(nèi)容三個不同層次的要求，準確掌握哪些內(nèi)容是了解，哪些是理解，哪些是掌握，值得指出的是《考試說明》中對知識要求的三個層次表示的是在所考查的知識點上對考生要求的程度，并不代表有關(guān)該知識點的考題是以小題還是以大題的形式出現(xiàn).應(yīng)嚴格按照《考試說明》中所規(guī)定的具體內(nèi)容和層次要求去備考，不能隨意提高或降低復(fù)習(xí)要求，更不能隨意擴大或縮小復(fù)習(xí)范圍，這樣既能明了知識系統(tǒng)的全貌，又可知曉知識體系的主干及重點內(nèi)容.

二、關(guān)于數(shù)學(xué)能力的考查

《考試說明》的表述是：能力是指空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力以及應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識.對數(shù)學(xué)能力的考查，以抽象概括能力和推理論證能力為核心，全面考查各種能力.注意問題的多樣化，體現(xiàn)思維的嚴謹性、抽象性和發(fā)散性.

與2012年相比，《考試說明》繼續(xù)強調(diào)“以抽象概括能力和推理論證能力為核心，全面考查各種能力”，增加了“體現(xiàn)思維的嚴謹性、抽象性和發(fā)散性”的表述.

解讀：以抽象概括能力和推理論證能力為核心，要求能在對具體的實例抽象概括的過程中，發(fā)現(xiàn)研究對象的本質(zhì)；從足夠的信息材料中，概括出一些合理的結(jié)論.會根據(jù)已知的事實和已獲得的正確數(shù)學(xué)命題來論證某一數(shù)學(xué)命題的正確性.增加了“體現(xiàn)思維的嚴謹性、抽象性和發(fā)散性”的表述，突出了《課程標準》中指出的數(shù)學(xué)在形成人類理性思維和促進個人智力發(fā)展的過程中發(fā)揮著獨特的、不可替代的作用，凸顯了《課程標準》中注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力的基本理念.

建議：在運用數(shù)學(xué)解決問題時，要讓學(xué)生不斷地經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、空間想象、抽象概括、符號表示、運算求解、數(shù)據(jù)處理、演繹證明、反思與建構(gòu)等思維過程.這些過程是數(shù)學(xué)思維能力的具體體現(xiàn)，有助于學(xué)生對客觀事物中蘊含的數(shù)學(xué)模式進行思考和做出判斷.

參考題：2011年湖北高考理科第5題.

給n個自上而下相連的正方形著黑色或白色.當n≤4時，在所有不同的著色方案中，黑色正方形互不相鄰的著色方案如下圖所示：

由此推斷，當n=6時，黑色正方形互不相鄰的著色方案共有______種，至少有兩個黑色正方形相鄰的著色方案共有______種.（結(jié)果用數(shù)值表示）

本題滿分5分，實測平均分0.97分，難度0.19，低于壓軸題難度0.25，意外成為全卷最難題.在258075名理科考生中竟然有192168人得0分.很多考生不能正確理解題意，不能發(fā)現(xiàn)數(shù)列的構(gòu)成規(guī)律，誤將本題中的數(shù)列認為是二階等差數(shù)列，當n≤4時，2，3，5，8也符合二階等差數(shù)列，但只要多想一步，看一看當n=5時的情況，就知道此題中的數(shù)列不是二階等差數(shù)列，而是斐波那契數(shù)列.絕大多數(shù)考生沒有意識到第一空的結(jié)果與第二空的結(jié)果相加的和應(yīng)等于當n=6時的所有著色方案種數(shù)26，這些都是出乎命題組意料之外的.

三、關(guān)于數(shù)學(xué)思想和方法的考查

《考試說明》的表述是：對數(shù)學(xué)思想和方法的考查，與數(shù)學(xué)知識融合，從學(xué)科整體意義和思想含義上立意，注重通性通法，淡化特殊技巧.

與2012年相比，《考試說明》繼續(xù)強調(diào)“注重通性通法，淡化特殊技巧”，刪除了“數(shù)學(xué)思想和方法是數(shù)學(xué)知識在更高層次上的抽象和概括”的表述.

解讀：“注重通性通法，淡化特殊技巧”是多年來數(shù)學(xué)《考試說明》中堅持的響亮口號，每年的試卷都基本體現(xiàn)了這一指導(dǎo)思想.刪除了“數(shù)學(xué)思想和方法是數(shù)學(xué)知識在更高層次上的抽象和概括”的表述，只是為了與《考試說明》前一段“對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的考查”和后一段“對數(shù)學(xué)能力的考查”的表述相協(xié)調(diào)，并不意味著否認數(shù)學(xué)思想和方法是數(shù)學(xué)知識在更高層次上的抽象和概括.數(shù)學(xué)思想方法屬于方法范疇，但更多地帶有思想、觀點的屬性，屬于較高層次的提煉概括.在高考考查中，共識的數(shù)學(xué)思想有函數(shù)與方程思想，數(shù)形結(jié)合思想，分類與整合思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想，特殊與一般思想，有限與無限思想，或然與必然思想；基本數(shù)學(xué)方法有待定系數(shù)法，換元法，配方法，割補法，反證法，數(shù)學(xué)歸納法等，它們是數(shù)學(xué)通法的主體；數(shù)學(xué)邏輯方法或思維方法有分析與綜合，歸納與演繹，比較與類比，具體與抽象等，它們都是數(shù)學(xué)考查中理解、思考、分析與解決問題的普通方法.

建議：在系統(tǒng)復(fù)習(xí)基礎(chǔ)的時候，學(xué)生僅僅有知識的積累還不夠，還要注意思想的領(lǐng)會和方法的歸納，特別是化歸與轉(zhuǎn)化的思想和分析與綜合的方法，研究通性通法.這些思想和方法的獲得，又全在于學(xué)生對數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)的準確把握與靈活運用.要想方設(shè)法讓學(xué)生熟練地掌握數(shù)學(xué)思想方法的適用情境，這樣才能在陌生的情境中想到它、運用它.

參考題：2012年湖北高考理科第22題.

（Ⅰ）已知函數(shù)f（x）=rx－xr+（1－r）（x＞0），其中r為有理數(shù)，且0＜r＜1，求f（x）的最小值；

（Ⅱ）試用（Ⅰ）的結(jié)果證明如下命題：

（Ⅲ）請將（Ⅱ）中的命題推廣到一般形式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你所推廣的命題.

注：當α為正有理數(shù)時，有求導(dǎo)公式（xα）′=αxα－1.

本題第（Ⅰ）問，實際上是證明貝努利不等式的一種，而貝努利不等式在課本選修4-5第52頁例3后的說明中出現(xiàn)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值也是課本上的常規(guī)方法.但較多考生根據(jù)求導(dǎo)結(jié)果可以得到f′（x）=0，即得出當x=1時，f（x）取最小值，討論過程錯誤頻現(xiàn)，體現(xiàn)出對基本概念、基本方法并未掌握.

本題第（Ⅱ）問，實際上證明楊不等式的一種，雖然楊不等式在課本上沒有直接出現(xiàn)，但是尋找第（Ⅰ）問與第（Ⅱ）問的內(nèi)在聯(lián)系，利用第（Ⅰ）問證明第（Ⅱ）問是考生熟悉的方法.但不少考生看不出尋找第（Ⅰ）問與第（Ⅱ）問的內(nèi)在聯(lián)系，盲目拼湊出要證的結(jié)論，體現(xiàn)出對轉(zhuǎn)化與化歸思想并未掌握.

本題第（Ⅲ）問，實際上證明加權(quán)均值不等式，而加權(quán)均值不等式的特例n個正數(shù)的均值不等式在課本選修4-5第53頁例4后的“探究”中出現(xiàn)，數(shù)學(xué)歸納法也是課本上的常規(guī)方法.但部分考生完全不能理解題意，生搬硬套寫出一般形式，出現(xiàn)明顯的“假證”現(xiàn)象，體現(xiàn)出對數(shù)學(xué)歸納法并未掌握.

四、關(guān)于題型示例

《考試說明》的表述是：為讓考生對高考試題獲得一定的認識，我們從近幾年高考數(shù)學(xué)湖北卷試題和其他省市的高考試題中選擇了部分試題編制成題型示例.題型示例中的試題與2013年高考試卷的結(jié)構(gòu)、形式、測試內(nèi)容、題目排序、題量、難度等均沒有任何對應(yīng)關(guān)系.

與2012年相比，《考試說明》對示例試題有些調(diào)整，如下表：

解讀：題型示例新增的12個示例均是2012年湖北高考試題，體現(xiàn)了《考試說明》的與時俱進，說明了課程改革與高考改革的一致性.值得商榷的是，題型示例中理科“試題29”和文科“試題4”及“試題26”，都涉及橢圓的準線概念，這與《課程標準》的教學(xué)要求和《考試說明》的考查要求并不一致.

建議：需要強調(diào)的是，題型示例中的試題與2013年高考試卷的結(jié)構(gòu)、形式、測試內(nèi)容、題目排序、題量、難度等均沒有任何對應(yīng)關(guān)系，只是為讓考生對高考試題獲得一定的認識.值得注意的是，題型示例中每道試題后面的“說明”，它指出了該題考查的知識點和難易程度.另外要注意，題型示例中解答題每道試題后面的“答案”，它體現(xiàn)了通性通法和常規(guī)方法.

在復(fù)習(xí)備考過程中，我們要學(xué)習(xí)研究《考試說明》，明確2013年湖北高考在知識能力和思想方法考查方面的基本要求，準確把握湖北高考命題的方向和特點，做到科學(xué)備考.