李永軍 馬立元 王天輝 段永剛

軍械工程學(xué)院，石家莊，050003

0 引言

模態(tài)參數(shù)識(shí)別是指以模態(tài)參數(shù)模型為基礎(chǔ)，以模態(tài)參數(shù)為目標(biāo)的系統(tǒng)識(shí)別方法。由于模態(tài)參數(shù)較物理參數(shù)更能從整體上反映系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)固有特性，而且參數(shù)少得多，所以，模態(tài)參數(shù)識(shí)別是系統(tǒng)識(shí)別的基本要求，也是進(jìn)行物理參數(shù)識(shí)別的基礎(chǔ)［1－3］。

子空間辨識(shí)算法是近些年來(lái)出現(xiàn)的一類(lèi)用于多輸入多輸出系統(tǒng)辨識(shí)算法的總稱(chēng)［3］。目前子空間辨識(shí)算法的研究以時(shí)域算法居多。時(shí)域子空間方法由于受到環(huán)境及測(cè)量噪聲的影響，有時(shí)辨識(shí)效果并不理想，而頻域子空間法得益于較為準(zhǔn)確的頻響函數(shù)估計(jì)，往往能提供理想的辨識(shí)結(jié)果［4］。頻域子空間算法相對(duì)其他頻域辨識(shí)方法而言，具有參數(shù)化、模型縮減和收斂性等優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)，采用較為準(zhǔn)確、可靠的頻域數(shù)據(jù)能達(dá)到很好的辨識(shí)效果。

1 頻域子空間辨識(shí)算法［5－6］

離散時(shí)間系統(tǒng)的狀態(tài)方程可描述為

式中，x（k）為k時(shí)刻的狀態(tài)向量；u（k）為k時(shí)刻的輸入向量；y（k）為k時(shí)刻的輸出向量；A為離散系統(tǒng)矩陣；B為離散輸入矩陣；C為離散輸出矩陣；D為傳遞矩陣。

對(duì)上式進(jìn)行傅里葉變換：

式中，N為頻率點(diǎn)數(shù)。

令Yre＝ ［Re（Y）Im（Y）］，Ure＝［Re（U）Im（U）］。其中，Re（·）表示復(fù)數(shù)的實(shí)部，Im（·）表示復(fù)數(shù)的虛部。

若將輸出矩陣Yre正交投影到矩陣Ure的行空間的正交補(bǔ)空間Ure，⊥上，則有

用“A/B”表示矩陣A到B的投影，構(gòu)建矩陣［UreYre］并進(jìn)行 QR分解，可得等式

對(duì)進(jìn)行奇異值分解，可得到Or的估計(jì)值

式中，n為模型的階次，系統(tǒng)的階次常根據(jù)奇異值矩陣Σ中較大的奇異值個(gè)數(shù)確定。

根據(jù)最小二乘法估計(jì)矩陣A、C可得

采用離散系統(tǒng)建模，模態(tài)頻率、阻尼和振型的計(jì)算式為［7］：

式中，fs為采樣頻率；λk為矩陣的特征值。

2 改進(jìn)頻域加權(quán)算法

頻域子空間方法雖已被證明在解決模態(tài)分析應(yīng)用中具有有效性，但其方法未考慮應(yīng)用中的噪聲影響。極大似然方法雖然對(duì)特殊的噪聲模型有很好的理論保證，但計(jì)算過(guò)程中會(huì)遇到關(guān)于未知參數(shù)的非線(xiàn)性方程，需要有一個(gè)迭代過(guò)程，因此這種方法運(yùn)算量較大，且需考慮其收斂性。因此，本文將研究頻域子空間算法的噪聲抑制問(wèn)題。

當(dāng)系統(tǒng)中加入觀測(cè)噪聲或干擾噪聲時(shí)，采用頻域子空間方法對(duì)系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)的辨識(shí)將會(huì)產(chǎn)生較大的誤差，甚至無(wú)法識(shí)別。下面以文獻(xiàn)［4］中的兩輸入兩輸出系統(tǒng)為例進(jìn)行闡述，系統(tǒng)矩陣參數(shù)為

可以計(jì)算得出：該系統(tǒng)有2個(gè)模態(tài)，其對(duì)應(yīng)的模態(tài)參數(shù)分別為：f1＝0.1275Hz，ξ1＝0.1987；f2＝0.3761Hz，ξ2＝0.0680。

采用掃頻激勵(lì)，掃頻初始頻率為［0.1，0.1］Hz，終止頻率為［2，2］Hz，掃描時(shí)間為［20，10］s。采樣頻率為1Hz，數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為1024。向輸出加入白噪聲，噪聲方差為［0.2，0.2］，采用頻域子空間算法進(jìn)行系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)辨識(shí)。辨識(shí)結(jié)果與理論值對(duì)比如表1所示。所得傳遞函數(shù)與理論值對(duì)比如圖1所示。

表1 辨識(shí)結(jié)果與理論值對(duì)比

圖1 加入白噪聲后的頻域子空間辨識(shí)傳遞函數(shù)與理論值曲線(xiàn)

從辨識(shí)結(jié)果可以看出，如系統(tǒng)中混入噪聲，頻域子空間辨識(shí)算法的精度將受到較大影響。因此，需要考慮系統(tǒng)去噪。除傳統(tǒng)的原始信號(hào)去噪方法外，還可采用加權(quán)方法控制噪聲的影響。

為減小噪聲帶來(lái)的方差，本文提出一種加權(quán)的頻域子空間模態(tài)參數(shù)辨識(shí)算法。

在絕大多數(shù)測(cè)量中，輸入和輸出的信噪比在不同頻帶上是不相同的，即使相同，也具有很強(qiáng)的相關(guān)性。該方法的基本思想是增大噪聲較小頻點(diǎn)上的能量，減小噪聲較大頻點(diǎn)上的能量，從而提高模態(tài)參數(shù)的辨識(shí)質(zhì)量。頻率點(diǎn)上的噪聲以該點(diǎn)數(shù)據(jù)多次實(shí)驗(yàn)的方差為依據(jù)，方差大者則其噪聲較大，反之則較小。

假設(shè)在系統(tǒng)的輸入端和輸出端均存在噪聲，噪聲方差（k）是不可知的，但可以從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中提取得到。這樣，實(shí)際的方差就由采樣估計(jì)值代替。其值只能通過(guò)統(tǒng)計(jì)的方法獲得。本文首先對(duì)噪聲方差進(jìn)行估計(jì)。

若進(jìn)行M次實(shí)驗(yàn)，則離散傅里葉變換（DFT）可表示為

采樣頻域特性均值計(jì)算表達(dá)式為

用均值表示的噪聲方差為

令

式中，“./”表示點(diǎn)除；U′、Y′分別為加權(quán)后的輸入和輸出矩陣。將U′和Y′分別取代系統(tǒng)方程中的U和Y，則

式（12）為加權(quán)后的廣義狀態(tài)方程。

通過(guò)加權(quán)，則

由式（15）可以看出，通過(guò)對(duì)輸入U(xiǎn)的加權(quán)，實(shí)現(xiàn)了對(duì)構(gòu)成Ure的Q′1的行空間進(jìn)行修正，利用行空間投影關(guān)系：

通過(guò)引入σY對(duì)R22進(jìn)行修正和上述加權(quán)處理，噪聲方差較小的頻率點(diǎn)上的信號(hào)能量相對(duì)加強(qiáng)，而噪聲方差較大的頻率點(diǎn)上的信號(hào)能量相對(duì)減弱，從而降低了噪聲對(duì)辨識(shí)結(jié)果的影響。

3 加權(quán)算法仿真結(jié)果

為說(shuō)明問(wèn)題，采用上述的系統(tǒng)模型進(jìn)行仿真驗(yàn)證。向輸出加入［0.2，0.2］的白噪聲方差，采用加權(quán)頻域子空間辨識(shí)算法獲得的系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)如表2所示，其傳遞函數(shù)如圖2所示。

表2 加權(quán)子空間辨識(shí)算法辨識(shí)結(jié)果

向歸一化的輸出信號(hào)加入有色噪聲，由方差［0.2，0.2］的白噪聲通過(guò)通帶頻率0.3～0.4Hz的帶通濾波器產(chǎn)生。采用基本算法和本文提出的加權(quán)辨識(shí)算法獲得的系統(tǒng)傳遞函數(shù)的幅頻特性如圖3所示。

圖2 加權(quán)子空間辨識(shí)算法辨識(shí)傳遞函數(shù)與理論值曲線(xiàn)

圖3 加有色噪聲的辨識(shí)傳遞函數(shù)與理論值曲線(xiàn)

4 某變截面軸的模態(tài)參數(shù)識(shí)別

某裝備的傳動(dòng)部件受環(huán)境、自身轉(zhuǎn)速等因素影響，經(jīng)常出現(xiàn)故障。為了降低故障率，要使傳動(dòng)軸的轉(zhuǎn)速避開(kāi)其固有頻率，因此有必要對(duì)傳動(dòng)軸的模態(tài)參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)。

實(shí)驗(yàn)對(duì)象是一個(gè)橫截面為方形的變截面軸結(jié)構(gòu)，材料為45鋼，傳感器及激勵(lì)點(diǎn)如圖4所示。由于該軸的對(duì)稱(chēng)性，可以只考慮其彎曲模態(tài)，減少傳感器數(shù)量需求。

圖4 測(cè)點(diǎn)布置及激勵(lì)

在進(jìn)行模態(tài)分析實(shí)驗(yàn)時(shí)，采用自由懸掛方式。對(duì)實(shí)驗(yàn)對(duì)象采用力錘進(jìn)行激振。為模擬白噪聲激勵(lì)，力錘敲擊時(shí)的部位和力量均隨機(jī)。采樣頻率為20kHz，每個(gè)響應(yīng)信號(hào)取20 000個(gè)采樣點(diǎn)。實(shí)驗(yàn)時(shí)利用DH5920動(dòng)態(tài)信號(hào)測(cè)試儀獲取響應(yīng)數(shù)據(jù)，利用MATLAB軟件編程實(shí)現(xiàn)模態(tài)參數(shù)識(shí)別。系統(tǒng)階次根據(jù)SVD分解結(jié)果確定為8階。進(jìn)行加權(quán)頻域子空間算法辨識(shí)時(shí)的試驗(yàn)次數(shù)為10次。

有限元計(jì)算（FEM）能夠使分析者對(duì)該框架結(jié)構(gòu)的特征有初步了解，也可以為實(shí)驗(yàn)室的測(cè)試工作和參數(shù)辨識(shí)計(jì)算提供參考，使分析者在實(shí)驗(yàn)之前就能夠大致掌握振型節(jié)點(diǎn)的所在之處以及結(jié)構(gòu)的基本振型情況。小型簡(jiǎn)單金屬結(jié)構(gòu)實(shí)驗(yàn)已經(jīng)驗(yàn)證了有限元計(jì)算結(jié)果的可靠性及準(zhǔn)確性［6］。該變截面軸結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，可以將有限元計(jì)算結(jié)果作為真實(shí)值。識(shí)別所得前四階模態(tài)參數(shù)與有限元計(jì)算結(jié)果對(duì)比如表3所示。圖5～圖8所示為頻域加權(quán)子空間辨識(shí)方法識(shí)別的振型和ANSYS計(jì)算的振型結(jié)果。采用有限元計(jì)算振型矢量和辨識(shí)所得振型矢量進(jìn)行模態(tài)置信度（modal assurance criterion，MAC）分析［8］。有限元模型縮聚采用Guyan方法實(shí)現(xiàn)，加權(quán)頻域子空間辨識(shí)所得振型向量與有限元縮聚后的振型向量之間的MAC值柱狀圖如圖9所示。

表3 頻域子空間方法辨識(shí)結(jié)果與有限元結(jié)果比較

圖5 第一階振型對(duì)比

圖6 第二階振型對(duì)比

通過(guò)表3和圖5～圖9對(duì)比發(fā)現(xiàn)，實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)參數(shù)識(shí)別得到的各階模態(tài)參數(shù)與有限元分析得到的分析模態(tài)參數(shù)基本一致，證明本文研究所采用

圖7 第三階振型對(duì)比

圖8 第四階振型對(duì)比

圖9 辨識(shí)結(jié)果與有限元計(jì)算的MAC值

的模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法是可行的，所得模態(tài)參數(shù)反映了該部件的動(dòng)態(tài)特性。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文通過(guò)研究頻域子空間算法，提出了一種對(duì)其加權(quán)的模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法，其有效性及準(zhǔn)確性被實(shí)驗(yàn)分析所證明。

該算法能夠獲得相對(duì)準(zhǔn)確的模態(tài)參數(shù)，能夠減少計(jì)算量和節(jié)約計(jì)算資源。采用該方法時(shí)，應(yīng)使用盡可能大的數(shù)據(jù)長(zhǎng)度，以保證較為準(zhǔn)確的傅里葉變換結(jié)果。該方法還可為其他結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性快速評(píng)價(jià)和可靠性?xún)?yōu)化設(shè)計(jì)提供參考。

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