王 琦 饒碧波 王源博 李 應(yīng)

南昌航空大學(xué)，南昌，330063

0 引言

桁架（多桿）結(jié)構(gòu)被廣泛用于飛機(jī)、汽車等結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中。特別是在飛機(jī)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，除滿足強(qiáng)度、剛度和可靠性要求外，還力求結(jié)構(gòu)質(zhì)量最?。?］。拓?fù)鋬?yōu)化是結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的一種常用方法。對于1975年美國密西根大學(xué)Holland教授提出的遺傳算法（genetic algorithm，GA）［2］，多數(shù)研究者將工作重點(diǎn)置于改進(jìn)簡單遺傳算法或?qū)⑵渑c其他算法混合后運(yùn)用到實(shí)際工程優(yōu)化問題中去。如，浙江工業(yè)大學(xué)的范佳靜等［3］將改進(jìn)遺傳算法用于制造單元模型的優(yōu)化求解；合肥工業(yè)大學(xué)的許聞清等［4］運(yùn)用改進(jìn)的遺傳模擬退火算法求解動(dòng)力總成懸置系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)；許素強(qiáng)等［5］在國內(nèi)首次運(yùn)用遺傳算法解決桁架結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化；唐文艷等［6］和黃冀卓等［7］分別在ε－松弛技術(shù)和結(jié)構(gòu)有限元分析的基礎(chǔ)上，引入新型拓?fù)渥兞?，改造拓?fù)淠Ｐ?，運(yùn)用改進(jìn)遺傳算法進(jìn)行桁架拓?fù)鋬?yōu)化，大大提高了優(yōu)化精度。張喜清等［8］采用有限元分析方法對變速箱箱體減重問題進(jìn)行了拓?fù)鋬?yōu)化；趙龍彪等［9］將基于比例微分控制思想的優(yōu)化準(zhǔn)則運(yùn)用到拓?fù)鋬?yōu)化中，取得了良好的效果。簡單遺傳算法的工程應(yīng)用目前存在的問題是：早熟或難以收斂，難以求解復(fù)雜的約束優(yōu)化問題［2，10－11］等。具體到結(jié)構(gòu)優(yōu)化方面，還存在以下問題：當(dāng)處理約束問題時(shí)，優(yōu)化效果常受制于優(yōu)化模型及罰函數(shù)參數(shù)（罰參數(shù)）的設(shè)計(jì)［5，7，10－11］；另外，設(shè)計(jì)變量和結(jié)構(gòu)分析次數(shù)增多，將降低遺傳算法的收斂速度，且其時(shí)間復(fù)雜度也是一個(gè)有待解決的問題。為提高遺傳算法的應(yīng)用效率，本文將簡單遺傳算法加以若干改進(jìn)，提出分段遺傳算法，并通過桁架結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的算例，驗(yàn)證了改進(jìn)算法的可行性和有效性。

1 分段遺傳算法步驟與簡析

1.1 分段遺傳算法步驟

分段遺傳算法將遺傳算法的運(yùn)行過程分為“粗搜”和“精搜”兩個(gè)階段，其程序流程如圖1所示。

圖1中，把初始種群中適應(yīng)度最高的一個(gè)個(gè)體作為最優(yōu)個(gè)體進(jìn)行保留，對剩余的2K個(gè)個(gè)體進(jìn)行遺傳操作［2］，產(chǎn)生新一代種群。

1.1.1 個(gè)體適應(yīng)度最佳保留原則

圖1 分段遺傳算法程序流程

（1）若新一代種群中的最優(yōu)個(gè)體優(yōu)于上一代種群中的最優(yōu)個(gè)體，但上一代種群中的最優(yōu)個(gè)體又優(yōu)于新種群中適應(yīng)度最差的個(gè)體，則保留新一代種群中的最優(yōu)個(gè)體，并用上一代種群中的最優(yōu)個(gè)體替換新種群中適應(yīng)度最差的個(gè)體，連同其他新個(gè)體參與下一輪遺傳操作。反之，若上一代種群的最優(yōu)個(gè)體不優(yōu)于新種群中適應(yīng)度最差的個(gè)體，則不作替換，保留新一代最優(yōu)個(gè)體，剩余新個(gè)體參與下一輪遺傳操作。

（2）若新一代種群中的最優(yōu)個(gè)體不優(yōu)于上一代種群中的最優(yōu)個(gè)體，則上一代種群中的最優(yōu)個(gè)體仍然保留，全部新個(gè)體參與下一輪遺傳操作。

1.1.2 “粗搜”階段

（1）均勻交叉：兩個(gè)配對個(gè)體每個(gè)基因座上的基因都以相同的交叉概率進(jìn)行交換。

（2）均勻變異：以某一較小變異概率改變個(gè)體每個(gè)基因座上的原有基因值。上述Pc和Pm的取值與個(gè)體適應(yīng)度的關(guān)系分別如圖2和圖3所示。

圖2 自適應(yīng)交叉概率

在圖2和圖3中，fmin為某一代種群中個(gè)體的最小適應(yīng)度值；favg為某一代種群的平均適應(yīng)度值；f為某一代種群中某個(gè)個(gè)體的適應(yīng)度值；fmax為某一代種群中個(gè)體的最大適應(yīng)度值。

計(jì)算交叉概率Pc及變異概率Pm的表達(dá)式為

圖3 自適應(yīng)變異概率

其中，P0、P2、P′0、P′2之取值，視適應(yīng)度函數(shù)及其尺度變換的具體情況而定，但在多數(shù)情況下，它們的經(jīng)驗(yàn)參考值分別是：P0＝0.9，P2＝0.6，P′0＝0.1，P′2＝0.001［8］。

當(dāng)新種群的平均適應(yīng)度等于上一代種群的平均適應(yīng)度時(shí)，則新一代種群進(jìn)入“精搜”階段。

1.1.3 “精搜”階段

（1）單點(diǎn)交叉：交換交叉點(diǎn)右邊的部分基因。

（2）高斯近似變異：用正態(tài)分布的一個(gè)隨機(jī)數(shù)來替換原有的基因值。

1.2 分段遺傳算法簡析

在算法運(yùn)行的前期，均勻交叉和均勻變異易于使個(gè)體位置靠前的部分基因得到調(diào)整，搜索范圍迅速擴(kuò)大，故可稱為“粗搜”；在后期，單點(diǎn)交叉和高斯近似變異又易于保護(hù)個(gè)體位置靠前的部分基因不受破壞，使得搜索能控制在一定范圍內(nèi)，故稱為“精搜”。一般連續(xù)函數(shù)極值點(diǎn)附近點(diǎn)的函數(shù)值普遍大（小）于定義域內(nèi)其他點(diǎn)的函數(shù)值。由此可知：如果算法在“粗搜”階段找到一個(gè)平均適應(yīng)度最高的種群點(diǎn)，則全局最優(yōu)解就應(yīng)在該種群點(diǎn)附近或其中。本文1.1節(jié)所設(shè)計(jì)的最優(yōu)個(gè)體保留及Pc和Pm的自適應(yīng)設(shè)置，不僅可使迭代中出現(xiàn)的最優(yōu)值得以保留不致丟失，而且能在加快收斂速度的前提下，基本保證平均適應(yīng)度達(dá)到最大值之前，各代種群的平均適應(yīng)度逐代增大，而一旦某代種群的平均適應(yīng)度等于它前一代種群的平均適應(yīng)度，則表明該代種群的平均適應(yīng)度已經(jīng)達(dá)到最大值。以此作為“粗搜”階段結(jié)束的判定條件。這樣設(shè)立的判定條件，不僅可以避免設(shè)定閾值時(shí)的繁瑣試驗(yàn)過程，而且對于不同的優(yōu)化問題具有一定的通用性。以該平均適應(yīng)度達(dá)到最大值的種群點(diǎn)為操作對象，進(jìn)入“精搜”階段，調(diào)整交叉、變異類的各種相關(guān)遺傳操作因子，轉(zhuǎn)入局部區(qū)域重點(diǎn)搜索，最終快速找到全局最優(yōu)解。

2 算例驗(yàn)證

2.1 拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型

一般情況下，帶約束非線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型為

其中，g（x）＝ （g1（x），g2（x），…，gm（x）），j＝1，2，…，m。對可行域S＝｛x｜gj（x）≤0｝引入外點(diǎn)懲罰函數(shù)：

在選區(qū)內(nèi)構(gòu)造一個(gè)單調(diào)遞增且趨于無窮的罰因子列：0＜M1＜M2＜…＜Mk＜…，構(gòu)成一系列無約束非線性規(guī)劃問題：

從而將原帶約束非線性規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為一系列無約束非線性規(guī)劃問題。

一般地，拓?fù)鋬?yōu)化的數(shù)學(xué)模型（TP）為［5］：

式中，Ai、ρi、Li分別為第i桿之截面積、密度和桿長，其中，Ai為截面積設(shè)計(jì)變量；n為桿件總數(shù)；m為節(jié)點(diǎn)總數(shù)；p為載荷總數(shù)；ND為結(jié)構(gòu)維數(shù)，即2或3；σi為第i桿之許用應(yīng)力值為第j節(jié)點(diǎn)在i方向的允許位移值。

在上述模型中，式（7）和式（8）為約束條件。對拓?fù)鋬?yōu)化而言，一般允許截面積為零，此時(shí)，相應(yīng)地取消應(yīng)力約束。同理，當(dāng)連接某節(jié)點(diǎn)的各桿截面積均為零時(shí)，該節(jié)點(diǎn)的位移約束也應(yīng)取消。

2.2 無約束化處理

力與位移約束，其分段形式為

綜上，可用外點(diǎn)罰函數(shù)法將原問題（TP）轉(zhuǎn)化為遺傳算法（GA）所要求的形式，即

式中，Mσ、Mu分別為應(yīng)力約束罰參數(shù)和位移約束罰參數(shù)。

2.3 算例

選用3個(gè)桁架結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化作為算例，對上述拓?fù)淠Ｐ?，分別用簡單遺傳算法與分段遺傳算法進(jìn)行求解。

2.3.1 九桿結(jié)構(gòu)

九桿結(jié)構(gòu)如圖4所示，有5個(gè)節(jié)點(diǎn)，9根桿件，同時(shí)有應(yīng)力、位移兩種約束。各桿參數(shù)值為：彈性模量E＝29GPa，密度ρ＝0.83g/mm3，許用應(yīng)力取值分別是：－18MPa≤≤20MPa（i＝1，2，9），－12MPa ≤≤ 20MPa（其 余），uji＝±1.5mm（i＝2，4，5；j＝1，2）。在節(jié)點(diǎn)4處，有一載荷Px，取值為100N，在節(jié)點(diǎn)2處，有一載荷Py，取值為－100N；變量鏈化關(guān)系為：A1＝A2，A3＝A4，A5＝A6，A7＝A8。

圖4 九桿結(jié)構(gòu)

在應(yīng)用簡單遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化時(shí)，各參數(shù)設(shè)置為：Mσ＝2000，Mu＝1，種群尺度SP＝50，Pc＝0.9，Pm＝0.005，終止代數(shù)T＝100。使用分段遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化時(shí)，除保留Mσ＝2000、Mu＝1、T＝100外，其余參數(shù)設(shè)置調(diào)整為：SP＝51，Pc及Pm按式（1）和式（2）進(jìn)行自適應(yīng)設(shè)置。運(yùn)用2種算法對九桿結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化，優(yōu)化拓?fù)淙鐖D5所示，所得數(shù)據(jù)見表1，其進(jìn)化曲線如圖6所示。

圖5 九桿結(jié)構(gòu)優(yōu)化拓?fù)?/p>

表1 九桿結(jié)構(gòu)優(yōu)化數(shù)據(jù)

圖6 九桿結(jié)構(gòu)進(jìn)化圖

2.3.2 十桿結(jié)構(gòu)

圖7所示為十桿結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)有6個(gè)節(jié)點(diǎn)、10根桿件，即有10個(gè)獨(dú)立的設(shè)計(jì)變量。對于全部桿件有：E＝10TPa，ρ＝0.1g/mm3＝±25GPa。在節(jié)點(diǎn)2和節(jié)點(diǎn)4上各有一個(gè)向下的載荷P，取值為100N；節(jié)點(diǎn)1、2、3、4的ui＝±2mm（i＝1，2，3，4）。

運(yùn)用簡單遺傳算法優(yōu)化時(shí)的控制參數(shù)為：Mσ＝1000，Mu＝1，SP＝50，Pc＝1.0，Pm＝0.01，T＝100。使用分段遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化時(shí)，除保留Mσ＝1000、Mu＝1、T＝100外，其余參數(shù)設(shè)置與2.3.1節(jié)相同。運(yùn)用2種算法對十桿基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化，優(yōu)化拓?fù)淙鐖D8所示，所得數(shù)據(jù)見表2，進(jìn)化曲線如圖9所示。

圖7 十桿結(jié)構(gòu)

圖8 十桿結(jié)構(gòu)優(yōu)化拓?fù)?/p>

表2 十桿結(jié)構(gòu)優(yōu)化數(shù)據(jù)

圖9 十桿結(jié)構(gòu)進(jìn)化圖

2.3.3 七十二桿結(jié)構(gòu)

七十二桿空間桁架為一塔架結(jié)構(gòu)，共有72根桿件，20個(gè)節(jié)點(diǎn)，如圖10所示。對于全部桿件有：E＝10TPa，ρ＝0.1g/mm3，σi＝±25GPa。位移約束為塔頂4個(gè)節(jié)點(diǎn)在空間三坐標(biāo)方向的位移值不得超過±0.25mm，各桿件的截面積最小值為0.1mm2。

由于結(jié)構(gòu)對稱，可將整個(gè)結(jié)構(gòu)分為4層，每層可分為4組，共16組，因此，72根桿件可設(shè)置為16個(gè)設(shè)計(jì)變量。頂層桿件的分組情況見表3。該結(jié)構(gòu)受到2個(gè)工況載荷，見表4。

圖10 七十二桿結(jié)構(gòu)

表3 七十二桿結(jié)構(gòu)頂層桿分組情況

表4 七十二桿結(jié)構(gòu)工況荷載情況

運(yùn)用簡單遺傳算法優(yōu)化時(shí)的控制參數(shù)為：Mσ＝1000，Mu＝1，SP＝50，Pc＝1.0，Pm＝0.01，T＝200。在使用分段遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化時(shí)，除保留Mσ＝1000、Mu＝1、T＝200外，其余參數(shù)設(shè)置與2.3.1節(jié)相同。運(yùn)用2種算法對七十二桿結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化，結(jié)構(gòu)優(yōu)化拓?fù)淙鐖D11所示。所得數(shù)據(jù)見表5和表6。進(jìn)化曲線如圖12所示。

圖11 七十二桿結(jié)構(gòu)優(yōu)化拓?fù)?/p>

表5 七十二桿結(jié)構(gòu)優(yōu)化數(shù)據(jù)（1）

表6 七十二桿結(jié)構(gòu)優(yōu)化數(shù)據(jù)（2）

圖12 七十二桿結(jié)構(gòu)進(jìn)化曲線

3 結(jié)束語

雖然本文的分段遺傳算法操作步驟及程序編制稍顯繁復(fù)，不及直接使用簡單遺傳算法工具箱快捷，但相比其他改進(jìn)遺傳算法更簡單，且具一定的通用性。3個(gè)桁架結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的算例表明：當(dāng)優(yōu)化較為復(fù)雜的桁架結(jié)構(gòu)時(shí)，無論是收斂速度還是收斂精度，分段遺傳算法都優(yōu)于簡單遺傳算法，說明本文分段遺傳算法的方案是可行、有效的。

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