孟翔飛，王昌明，何博俠，陸建山，胡偉偉

(1.南京理工大學(xué) 機械工程學(xué)院，南京 210094;2.常熟理工學(xué)院 電氣與自動化工程學(xué)院，江蘇 常熟 215500)

火炮身管的燒蝕磨損引起內(nèi)膛結(jié)構(gòu)變化，從而使火炮內(nèi)彈道性能發(fā)生變化，最終它將造成初速、射程、精度的下降，使其無法滿足武器使用的彈道性能要求，終止身管的使用壽命［1］。為此，在掌握火炮身管內(nèi)膛燒蝕磨損特點的基礎(chǔ)上，建立了反映火炮身管內(nèi)膛燒蝕磨損特點的數(shù)學(xué)模型，就可以準(zhǔn)確量化火炮的內(nèi)彈道性能變化，這對正確評估火炮的壽命狀態(tài)、保證火炮的使用效率十分重要。

文獻(xiàn)［2］中提出采用BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的方法建立數(shù)學(xué)模型來計算Δd，文獻(xiàn)［3］中使用了多元線性回歸方法來研究Δd與內(nèi)彈道參量的相關(guān)性，文獻(xiàn)［4］中提出了基于最小二乘支持向量機的火炮特性模型，建立了火炮剩余壽命評定模型。文獻(xiàn)［5］中利用經(jīng)典內(nèi)彈道理論建立了彈丸初速下降量與炮膛內(nèi)徑磨損量計算模型，進(jìn)而預(yù)測了身管壽命。本文擬采用灰色系統(tǒng)理論建模對火炮身管內(nèi)徑磨損量及身管壽命終止時的最大射彈數(shù)進(jìn)行預(yù)測。通過建立的灰色預(yù)測模型，在少量身管內(nèi)徑燒蝕磨損測試數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，利用灰色預(yù)測得到身管內(nèi)徑磨損量與射彈數(shù)的數(shù)學(xué)關(guān)系式，可以對火炮身管壽命進(jìn)行準(zhǔn)確的預(yù)測。

1 火炮身管燒蝕磨損規(guī)律及建模分析

火炮身管內(nèi)膛的燒蝕磨損主要可以歸納為熱、化學(xué)和機械因素。磨損現(xiàn)象最嚴(yán)重的地方是在膛線的陽線表面和靠近膛線的起始段。西方國家常以膛線起始部因燒蝕、磨損引起的內(nèi)膛擴展量作為身管壽命的評價標(biāo)準(zhǔn)［6］。美國的瓊斯-布萊特巴特在對現(xiàn)有的37 ～203 mm 火炮試驗性能進(jìn)行統(tǒng)計的基礎(chǔ)上，提出火炮壽命終止時起始部最大徑向耗損量Δdmax一般為原陽線直徑的3.5% ～5%。

隨著火炮不斷進(jìn)行實彈射擊，火炮身管內(nèi)膛的燒蝕磨損逐步加劇。盡管火炮身管內(nèi)膛燒蝕磨損的程度與諸多因素有關(guān)，但火炮內(nèi)彈道性能的改變量直接與火炮的燒蝕磨損程度有關(guān)，而與身管內(nèi)膛是如何燒蝕磨損到這種程度的過程無關(guān)。取膛線的某條陽線起始部位為檢測固定點，當(dāng)該固定點位置的身管內(nèi)徑燒蝕磨損Δd 達(dá)到或超過規(guī)定最大值Δdmax時，內(nèi)彈道性能變壞，火炮身管壽命終止，此時的火炮射彈數(shù)為最大射彈數(shù)n。因此，如果能夠準(zhǔn)確的檢測或預(yù)測出Δd變化情況，建立Δd=f(n)的數(shù)學(xué)關(guān)系式，就可預(yù)知火炮身管壽命的終止時的最大射彈數(shù)n，這可大大提高火炮的實用性能。

2 灰色預(yù)測模型的建立

2.1 灰色系統(tǒng)預(yù)測可行性分析

部分信息已知、部分信息未知的系統(tǒng)稱為灰色系統(tǒng)，灰色預(yù)測是在已知一定數(shù)據(jù)的前提下，對未來數(shù)據(jù)進(jìn)行有效預(yù)測的方法，其優(yōu)點在于通過生成灰色過程把原始數(shù)列的隨機性弱化，規(guī)律性加強［7］。

火炮身管內(nèi)徑燒蝕磨損Δd 受諸多因素的影響，存在不確定性，因此可以認(rèn)為是屬于灰色系統(tǒng)的范疇，可以借助灰色預(yù)測在已知少量Δd 測試數(shù)據(jù)的前提下，對未來數(shù)據(jù)進(jìn)行有效預(yù)測。

2.2 灰色預(yù)測模型的確立

灰色系統(tǒng)理論中，經(jīng)典的預(yù)測模型為灰色GM(1，1)模型，但該模型是一種呈指數(shù)變化的單調(diào)序列模型，適合于短時間內(nèi)時效性要求較高的數(shù)據(jù)預(yù)測。而對于身管壽命來說，是一種中長期變化的過程，其燒蝕磨損增量也存在上升和下降的波動變化關(guān)系，因此灰色GM(1，1)模型對于中長期的火炮燒蝕磨損量及身管壽命的預(yù)測存在很大的誤差。

而灰色Verhulst 模型主要用來描述具有數(shù)據(jù)擺動或飽和狀態(tài)的過程，該模型對于火炮身管燒蝕磨損量的灰色預(yù)測從系統(tǒng)上是契合的，其更能適應(yīng)火炮身管燒蝕磨損變化受眾多因素影響的波動原始序列，在應(yīng)用范圍和預(yù)測精度方面都要優(yōu)于GM(1，1)模型或其它模型。

通過以上分析，本文提出采用灰色Verhulst 模型，以射彈數(shù)為時間序列，建立火炮身管燒蝕磨損的中長期預(yù)測模型。

2.3 傳統(tǒng)的灰色Verhulst 模型

定義1 設(shè)X(0)為原始數(shù)據(jù)序列:

且x(0)(k)≥0，k=1，2，…，n。其1 -AGO 序列X(1)為:

Z(1)為X(1)的緊鄰均值生成序列:Z(1)= (z(1)(2)，z(1)(3)，…，z(1)(n))，其中，z(1)(k)=0.5(x(1)(k)+x(1)(k-1))，k=2，3，…，n。

定義2 稱

為灰色Verhulst 模型。

定義3 稱

為灰色Verhulst 模型的白化方程。

則Verhulst 白化方程的解為

即為傳統(tǒng)灰色Verhulst 模型的時間響應(yīng)式。

由式(3)可知，灰色Verhulst 模型的精度取決與參數(shù)a，b，式(1)和式(2)分別為灰色Verhulst 模型的差分方程與微分方程，把式(1)估計所得的參數(shù)a，b 值代入式(2)便可得到灰色Verhulst 模型的時間響應(yīng)式?？梢?，式(1)的準(zhǔn)確性直接影響到最終的預(yù)測結(jié)果。上述建模中，式(1)和式(2)的關(guān)系可根據(jù)灰導(dǎo)數(shù)的信息覆蓋原理，分別以x(1)的一階差商x(0)(t)覆蓋dx(1)/dt，以z(1)(t)覆蓋x(1)(t)。并直接代入到式(2)中得到式(3)。很顯然，這種處理方法在建模機理上割斷了差分方程與微分方程的必然聯(lián)系。本文將提出一種優(yōu)化的灰色Verhulst 模型使得差分方程與微分方程中所對應(yīng)的參數(shù)能夠緊密聯(lián)系。

2.4 優(yōu)化的灰色Verhulst 模型

由上述灰色模型的建模思想可知原始數(shù)據(jù)的一階累加生成序列的光滑擬合曲線為x(1)(t)，根據(jù)梯形公式，x(1)(t+1)可近似表示為

由累加定義，可得

根據(jù)式(4)和式(5)，有

由式(2)，即傳統(tǒng)灰色Verhulst 模型的白化方程，有

將式(7)中的2 個等式相加，可得

聯(lián)立式(8)與式(6)，有

根據(jù)式(9)，可得優(yōu)化的灰色Verhulst 模型，表達(dá)式為

引理1 設(shè)X(0)，X(1)，Z(1)如定義1 所述，令

1)優(yōu)化的灰色Verhulst 模型白化方程的解為

2)優(yōu)化的灰色Verhulst 模型的時間響應(yīng)式為

3 預(yù)測模型的數(shù)據(jù)驗證

為了檢驗優(yōu)化的灰色Verhulst 模型精度，對表1 提供的某型火炮身管固定點內(nèi)徑燒蝕磨損數(shù)據(jù)進(jìn)行實例驗證。

1)對表1 建立傳統(tǒng)灰色Verhulst 模型可以求得參數(shù)為

于是得白化方程為

取x(1)(0)=x(1)(1)=2.04，可得傳統(tǒng)的灰色Verhulst模型的時間響應(yīng)式

2)對表1 建立優(yōu)化的灰色Verhulst 模型可以求得參數(shù)為

于是得白化方程為

取x(1)(0)=x(1)(1)=2.04，可得優(yōu)化的灰色Verhulst模型的時間響應(yīng)式

表1 某型火炮身管固定點內(nèi)徑燒蝕磨損量Δd與射彈發(fā)數(shù)n 數(shù)據(jù)

由表2 可以看出，優(yōu)化的灰色Verhulst 精度要高于傳統(tǒng)灰色Verhulst 模型，在模擬、預(yù)測方面更具優(yōu)勢。當(dāng)預(yù)測值Δd≈Δdmax時，此時的n 就是身管壽命終止時的最大射彈數(shù)。

表2 兩種模型的預(yù)測值與實際值比較

4 結(jié)束語

優(yōu)化的灰色Verhulst 預(yù)測模型能夠大量減少試驗的射彈數(shù)，應(yīng)用少量的試驗數(shù)據(jù)就可大致確定火炮的壽命終止最大射彈數(shù)，因此經(jīng)濟(jì)性好又符合作戰(zhàn)的要求。通過應(yīng)用此模型對某型火炮進(jìn)行計算，結(jié)果表明預(yù)測計算是可行有效的。

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