岳轉(zhuǎn)林，閆學(xué)群

(天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，天津300387)

耗散系統(tǒng)中原子與場(chǎng)熵交換的條件

岳轉(zhuǎn)林，閆學(xué)群

(天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，天津300387)

研究了耗散場(chǎng)腔中，二能級(jí)原子與單模輻射場(chǎng)在相互作用過程中熵的關(guān)聯(lián)情況.結(jié)果表明：原子與耗散場(chǎng)之間存在熵交換現(xiàn)象，更重要的是證明了它們之間的熵交換需要滿足一定的條件.

耗散系統(tǒng)；耗散腔；原子與場(chǎng)；熵交換

熵交換可以說明量子系統(tǒng)由純態(tài)變?yōu)榛旌蠎B(tài)時(shí)損失的有效信息.Jaynes-Cummings（J-C）模型是一種描述原子與場(chǎng)相互作用的理想量子動(dòng)力學(xué)模型[1-3].因而，該模型中原子與場(chǎng)相關(guān)聯(lián)的熵演化現(xiàn)象已經(jīng)成為量子信息學(xué)的研究熱點(diǎn)[4-8].Phoenix等[9]研究了純態(tài)下原子與場(chǎng)相關(guān)聯(lián)的熵演化現(xiàn)象，并證明原子與場(chǎng)兩子系統(tǒng)的約化熵在演化過程中始終相等.之后，很多科學(xué)家對(duì)原子與場(chǎng)處于混合態(tài)時(shí)的狀況進(jìn)行了深入研究.Boukobza等[10]發(fā)現(xiàn)原子與場(chǎng)的初態(tài)均處于混合態(tài)時(shí)，它們的約化熵不一定相等，并在一定條件下發(fā)生熵交換，兩者之間出現(xiàn)反相關(guān)聯(lián)的現(xiàn)象[10].文獻(xiàn)[11]研究了非線性強(qiáng)度相關(guān)耦合的J-C模型中的熵關(guān)聯(lián)現(xiàn)象，結(jié)果發(fā)現(xiàn)熵交換只與原子和場(chǎng)的初始態(tài)選擇有關(guān)，與場(chǎng)的非線性量和非線性耦合系數(shù)均無關(guān).然而這些研究忽略了場(chǎng)腔的耗散對(duì)子系統(tǒng)熵交換的影響[12].在實(shí)際情況中，原子與場(chǎng)相互作用系統(tǒng)的熵在演化過程中總會(huì)隨著場(chǎng)的能量損耗而改變.因此，研究耗散腔中原子與場(chǎng)的熵交換更有實(shí)際意義[13-15].本文考慮了場(chǎng)腔耗散的影響，利用解線性微分方程組的方法，對(duì)共振情況下的二能級(jí)原子和耗散場(chǎng)相互作用體系的劉維方程進(jìn)行精確求解，計(jì)算原子與耗散場(chǎng)約化熵，并利用數(shù)值結(jié)果討論原子與耗散場(chǎng)的熵交換條件.

1 理論計(jì)算

量子系統(tǒng)的熵定義為：

為了研究原子與場(chǎng)之間的熵關(guān)聯(lián)，必須計(jì)算出原子和場(chǎng)的約化熵.以下標(biāo)記兩個(gè)子系統(tǒng)為a和f，兩個(gè)子系統(tǒng)總的密度算符為，子系統(tǒng)的密度算符為和子系統(tǒng)的密度算符由下式給出：

因此兩個(gè)子系統(tǒng)的熵分別為：

式中：γ為耗散系數(shù).將方程（5）、（8）代入方程（9）中，可以計(jì)算得到系統(tǒng)的密度算符的表達(dá)式（為簡(jiǎn)單起見而又不失一般性，令ω-ω0=0）：

其中λ1（t），λ2（t），λf（t）是原子和場(chǎng)的密度算符的本征值.由（10）、（11）、（12）、（13）、（14）式即可求得原子和場(chǎng)密度算符的本征值分別為：

2 數(shù)值分析

通過以上理論計(jì)算，分析現(xiàn)有模型中原子和場(chǎng)的熵變換的數(shù)值結(jié)果，進(jìn)而證明在一定條件下，原子與場(chǎng)的熵交換是反相關(guān)聯(lián)的.圖1所示為當(dāng)κ/γ=20時(shí)部分熵ΔS隨時(shí)間比的變化趨勢(shì).

圖1 當(dāng)κ/γ=20時(shí)部分熵ΔS隨時(shí)間變化的趨勢(shì)Fig.1 Change of partial entropy ΔS with time for κ/γ=20

圖1（a）所述為當(dāng)場(chǎng)的初始態(tài)為弱激發(fā)熱態(tài)m= 0.2、原子的初始態(tài)為混合態(tài)Pe=0.9時(shí)原子與場(chǎng)的熵變化ΔS（t）隨時(shí)間γt變化的趨勢(shì).可以看出，隨時(shí)間γt的增加，原子與場(chǎng)的熵變化趨勢(shì)逐漸不同，這與孤立系統(tǒng)中原子與場(chǎng)的熵變化是同時(shí)上升或者是同時(shí)下降的變化趨勢(shì)有所不同.這是由于耗散場(chǎng)要向外界不斷地輻射光子，致使場(chǎng)的熵增加得快一些.這與熱力學(xué)中的熵增加原理完全相符.圖1（b）中Pe=0.2，m=0.3，可以清楚看到原子與場(chǎng)的熵變化呈現(xiàn)相反的變化趨勢(shì)，ΔSa+ΔSf也呈振蕩變化.當(dāng)Pe和m取合適的值時(shí)，ΔSa+ΔSf的圖像是一條光滑的曲線，變化方向與場(chǎng)約化熵的變化方向相同.

選擇原子與場(chǎng)的熵交換呈現(xiàn)反相關(guān)聯(lián)時(shí)對(duì)應(yīng)的Pe和m的值，將這些值擬合成一條曲線，如圖2所示.

圖2 場(chǎng)的熵變化量大于原子的熵變化量Fig.2 Field entropy change is larger than that atomic

圖2中，固定Pe的值不變，減小m的值，場(chǎng)熵是負(fù)值，原子熵是正值，即這些點(diǎn)落到A區(qū)域，ΔSf＜0，ΔSa＞0；增大m的值，這些點(diǎn)落到B區(qū)域，ΔSf＞0，ΔSa＜0.圖2曲線與無耗散項(xiàng)曲線上的點(diǎn)都代表原子與場(chǎng)的熵交換時(shí)對(duì)應(yīng)的Pe和m的值，但這些點(diǎn)代表的物理意義有所不同.無耗散項(xiàng)曲線上的點(diǎn)表示原子與場(chǎng)熵變化量之和是相等的，即

而本文討論的有耗散項(xiàng)曲線上的點(diǎn)代表的是原子的熵變化量小于場(chǎng)的熵變化量.因?yàn)椋疚牡牧孔酉到y(tǒng)是開放系統(tǒng)，隨著時(shí)間t的變化，腔中有光子向外輻射，場(chǎng)熵的增加要比原子熵的增加快一些，即

證明：為不失一般性，選擇一點(diǎn)Pe=0.36，對(duì)應(yīng)圖2中曲線上的m值，m值介于1.28和1.29之間.當(dāng)κ/ γ=20，Pe=0.36時(shí)原子與場(chǎng)的熵交換呈反相關(guān)聯(lián)的趨勢(shì)，如圖3所示.圖3（a）中當(dāng)m=1.28時(shí)，場(chǎng)熵變化是負(fù)值（ΔSf＜0），原子的熵變化為正值（ΔSa＞0）.圖3（b）中當(dāng)m=1.29時(shí)，原子和場(chǎng)發(fā)生了熵交換，場(chǎng)的熵變化是正值（ΔSf＞0）），原子的熵變化是負(fù)值（ΔSa＜0）.同時(shí)可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)場(chǎng)的熵變化是正值時(shí)，ΔSa+ΔSf＞0，當(dāng)場(chǎng)的熵變化是負(fù)值時(shí)，ΔSa+ΔSf＜0.也就是說，當(dāng)Pe和m取不同的適當(dāng)?shù)闹禃r(shí)，都會(huì)存在場(chǎng)熵變化量的絕對(duì)值總是大于原子熵變化量的絕對(duì)值.故而可以證明場(chǎng)熵的增加要比原子的熵增加快一些，即

用本文理論計(jì)算結(jié)果作圖時(shí)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)Pe的值一定時(shí)，改變m的值，總會(huì)出現(xiàn)原子與場(chǎng)熵交換現(xiàn)象，但是當(dāng)Pe值大于0.45時(shí)，原子與場(chǎng)熵的圖像相交錯(cuò)亂.改變m值，很難出現(xiàn)原子與場(chǎng)的熵交換的情況.因此，可以得出這樣一個(gè)結(jié)論：在耗散腔中，存在原子與場(chǎng)發(fā)生完全熵交換的條件為0＜Pe＜0.45，0＜m＜5.耗散系數(shù)的大小不會(huì)影響原子和場(chǎng)的熵交換，只會(huì)增強(qiáng)原子與場(chǎng)熵的振蕩頻率，如圖4所示.

圖3 當(dāng)κ/γ=20時(shí)原子和場(chǎng)的熵變化Fig.3 Partial entropy change for κ/γ=20

圖4 κ/γ=1 000時(shí)，Pe=0.36，m=1.29原子與場(chǎng)的熵變化Fig.4 Partial entropy change for atom in a mixed state(Pe= 0.36)and field in state m=1.29,with κ/γ=1 000

3 結(jié)論

利用J-C模型，研究了含有耗散項(xiàng)的二能級(jí)原子和單模場(chǎng)的熵變換，發(fā)現(xiàn)兩者的熵變化存在正相關(guān)聯(lián)和反相關(guān)聯(lián).這與無耗散項(xiàng)的二能級(jí)原子和單模場(chǎng)的熵關(guān)聯(lián)是一致的，只是在含有耗散項(xiàng)模型的演化過程中，原子與場(chǎng)的熵變化的幅度逐漸減小.當(dāng)原子與場(chǎng)的熵交換時(shí)，無耗散項(xiàng)的原子與場(chǎng)的熵變化的總和是不變的；而在耗散腔的模型中，由于耗散腔不斷向外輻射光子，由熵增加原理可知，場(chǎng)的熵變化要比原子的熵變化快一些.通過數(shù)值計(jì)算發(fā)現(xiàn)原子與場(chǎng)的熵交換的條件為：0＜Pe＜0.45，0＜m＜5，在這個(gè)范圍內(nèi)，只要選擇適當(dāng)原子初態(tài)和場(chǎng)的平均光子數(shù)，就可以使得原子的熵和場(chǎng)的熵交換，即兩者呈反相關(guān)的關(guān)系.最后還說明了耗散系數(shù)不會(huì)影響原子與場(chǎng)的熵交換的條件，只會(huì)增加熵變化的振蕩頻率.

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Condition for entropy exchange between atom and field in damped system

YUE Zhuan-lin，YAN Xue-qun
（School of Science，Tianjin Polytechnic University，Tianjin 300387，China）

The entropy exchange between a tow-level atom and a single-mode radiation field is studies in a damped system. The results show that there is an entropy exchange phenomenon between atom and field.Especially，it is prove that there is a condition for entropy exchange between atom and damped field.

damped system；damped field；atom and filed；entropy exchange

O413.1

A

1671－024X（2013）06－0081－04

2012-05-20

國(guó)家自然科學(xué)基金青年基金項(xiàng)目（51108314）

岳轉(zhuǎn)林（1986—），女，碩士研究生.

閆學(xué)群（1963—），男，博士，教授，碩士生導(dǎo)師.E-mail：xqyan867@tom.com