徐 婷

(海南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，海南?？?71158)

引 言

數(shù)學(xué)史是研究數(shù)學(xué)的發(fā)生、發(fā)展過程及其規(guī)律的一門學(xué)科，它的研究主要對象是歷史上的數(shù)學(xué)成果和影響數(shù)學(xué)發(fā)展的各種因素，探索前人的數(shù)學(xué)思想，借以指導(dǎo)數(shù)學(xué)的發(fā)展，并預(yù)測數(shù)學(xué)的未來。法國著名數(shù)學(xué)家龐加萊說過:“如果我們要預(yù)見數(shù)學(xué)的未來，適當(dāng)?shù)耐緩骄褪茄芯窟@門科學(xué)的歷史和現(xiàn)狀?！边@句話深刻揭示了數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)發(fā)展中的重要作用。我國著名數(shù)學(xué)家吳文俊說過:“假如你對數(shù)學(xué)史的歷史發(fā)展，對一個領(lǐng)域的發(fā)生和發(fā)展、興旺和衰落，對一個概念的來龍去脈，對一種重要思想的產(chǎn)生和影響等許多因素都弄清楚了，我想就會對數(shù)學(xué)了解得多，對數(shù)學(xué)的現(xiàn)狀就會知道的更清楚、更深刻，還可以對數(shù)學(xué)的未來起一種指導(dǎo)作用”［1］。這些都說明數(shù)學(xué)家很早就意識到數(shù)學(xué)史的重要性?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)》在2003年4月正式頒布，新課標(biāo)明確指出:“數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分。數(shù)學(xué)課程應(yīng)適當(dāng)反映數(shù)學(xué)的歷史、應(yīng)用和發(fā)展趨勢，設(shè)立‘?dāng)?shù)學(xué)史選講’等專題”［2］。這充分體現(xiàn)了對課改中數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教育中的作用和價值的重視［3］。

但是現(xiàn)在很多學(xué)生對數(shù)學(xué)缺乏興趣，甚至討厭數(shù)學(xué)。經(jīng)常聽到學(xué)生說數(shù)學(xué)課很難很煩，考試總不及格，上數(shù)學(xué)課還不如睡覺等等。此為本文研究的現(xiàn)實(shí)背景。本文通過調(diào)查研究，試圖從學(xué)生對數(shù)學(xué)史的認(rèn)識、了解、運(yùn)用能力這三方面了解師范類大學(xué)生對數(shù)學(xué)史教育的認(rèn)識現(xiàn)狀。我們把學(xué)生掌握數(shù)學(xué)史的情況分為優(yōu)秀、良好、一般、不合格四個等級，首先設(shè)定不同等級的分?jǐn)?shù)區(qū)間，其次通過對問卷調(diào)查進(jìn)行打分，確定學(xué)生所屬等級，最后根據(jù)各個等級人數(shù)多少、優(yōu)秀率、不合格率來評判數(shù)學(xué)史教育現(xiàn)狀好壞。

本文主要采用灰色聚類分析與模糊聚類分析方法來研究。

一 數(shù)學(xué)模型理論

(一)灰色聚類分析

灰色聚類分析是由華中科技大學(xué)鄧聚龍教授提出的一種定量評價方法，是建立在灰數(shù)的白化函數(shù)基礎(chǔ)上，將評價對象對不同評價指標(biāo)所擁有的白化值，按若干個灰色進(jìn)行歸納整理，從而判斷聚類對象屬于哪一種灰類的方法(即先聚類后排序)。灰數(shù)是指在某一個區(qū)間或某一個一般的數(shù)集內(nèi)取值不確定的數(shù)。白化權(quán)函數(shù)是指在直角坐標(biāo)系中的一條三折線或s型曲線，它可以定量地描述某一評估對象隸屬于某個灰類的程度(即隨著被評估指標(biāo)或樣點(diǎn)值的大小而變化的關(guān)系)。主要步驟為:1.構(gòu)建灰色聚類樣本;2.確定灰類白化權(quán)函數(shù);3.求聚類權(quán);4.求聚類系數(shù);5.構(gòu)造聚類向量，進(jìn)行聚類。

(二)模糊聚類分析

模糊聚類分析即用模糊數(shù)學(xué)的方法來進(jìn)行聚類分析;研究不同對象間的關(guān)系，表達(dá)了樣本類屬的中介性，更能客觀反映要研究的問題，是一種軟劃分。具體步驟為:1.建立模糊相似關(guān)系并將數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化;2.構(gòu)造模糊相似矩陣;3.選取適當(dāng)?shù)闹眯潘街颠M(jìn)行聚類。

二 實(shí)證分析

(一)聚類指標(biāo)體系

本文調(diào)查大學(xué)生數(shù)學(xué)史教育現(xiàn)狀，以海南師范大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生為個案研究。在參照大量數(shù)學(xué)史研究文獻(xiàn)、論文及專家建議基礎(chǔ)上，主要從學(xué)生對數(shù)學(xué)史的認(rèn)識、了解、運(yùn)用能力這三方面考察并設(shè)計問卷，建立數(shù)學(xué)史教育現(xiàn)狀評價指標(biāo)體系結(jié)構(gòu)。具體是:

一級指標(biāo):數(shù)學(xué)史教育現(xiàn)狀A(yù)

二級指標(biāo):對數(shù)學(xué)史的認(rèn)識B1

(C1積極的情感、C2科學(xué)的態(tài)度、C3正確的世界觀、C4獲得的途徑)

了解的數(shù)學(xué)史知識B2

(C5數(shù)學(xué)家、C6數(shù)學(xué)重要事件、C7數(shù)學(xué)原理、C8概念起源)

運(yùn)用數(shù)學(xué)史的能力B3

(C9學(xué)習(xí)能力、C10應(yīng)變能力、C11創(chuàng)新能力)

(二)灰色聚類分析

1.構(gòu)建灰色聚類樣本

采用問卷調(diào)查方法得到580份數(shù)據(jù)，其中總分在80分以上有79人，70－80分121人，60－70分98人，60分以下282人。而灰色聚類研究的是小樣本事件，所以根據(jù)問卷情況采用分層抽樣方法按1:20抽取4、6、5、14共29份問卷數(shù)據(jù)。根據(jù)上述指標(biāo)體系里問卷的設(shè)定再對三個指標(biāo)采用1～10分制分別打分，分值越高，說明其素質(zhì)越高。將每個學(xué)生的得分取平均值(這29份問卷對應(yīng)的29個學(xué)生就是本文的聚類對象)。

聚類對象 X={X1，X2，……，X29}有 29 個，每個對象有3個聚類指標(biāo)Y={B1，B2，B3}，每個指標(biāo)按評估標(biāo)準(zhǔn)分為4個等級(優(yōu)秀、良好、一般、不合格)，那么第i個對象(i=1…29)對第j個聚類指標(biāo)(j=1，2，3)的樣本值記為Xij(即聚類白化數(shù)如表1所示)，將第i個對象歸入第k(k∈{1，2，3，4})個灰類中(如表2所示)，稱為灰色聚類

表1 聚類對象及聚類白化數(shù)Table 1 the clustering object and clustering albino Xij

在專家建議基礎(chǔ)上素質(zhì)評價采用4個評價灰類(k)，如表2所示。

表2 聚類分級標(biāo)準(zhǔn)Table2 cluster grading standards

2.確定灰類白化權(quán)函數(shù)［6］

將n個對象關(guān)于指標(biāo)j的取值相應(yīng)的分為s個灰類，其中j指標(biāo)k子類的白化權(quán)函數(shù)記為(.)一個典型的白化權(quán)函數(shù)為起點(diǎn)、終點(diǎn)確定的左升、右降連續(xù)函數(shù)。白化權(quán)函數(shù)還有三種常見形式，分別為上限測度白化權(quán)函數(shù)、適中測度白化權(quán)函數(shù)和下限測度白化權(quán)函數(shù)，記為(a1，b1，－ ，a2)，(a1，b1，－ ，－ )，(－ ，－ ，b2，a2)，如圖1(a)～(d)所示。

圖1 白化權(quán)函數(shù)Chart 1 whitening weight function

根據(jù)表2，對數(shù)學(xué)史的認(rèn)識、了解的數(shù)學(xué)史和運(yùn)用數(shù)學(xué)史的能力各指標(biāo)關(guān)于各灰類的白化權(quán)函數(shù)分別設(shè)為:

表3 計算結(jié)果Table 3 the results

3.求聚類權(quán)

表4 臨界值及聚類權(quán)值Table 4 Threshold and cluster weights

4.求聚類系數(shù)

聚類系數(shù)揭示了第i個聚類對象屬于第k個灰類的程度。表示為根據(jù)公式，當(dāng) i=3 時(8.0)×0.3542+(7.9)×0.3333+(5.8)×0.3125=0.5708同理可得:=0.4285=0=0

5.構(gòu)造聚類向量，進(jìn)行聚類

當(dāng) i=3 時，向量 σ3=(0.5708，0.4285，0，0)，其中，max{}==0.708，說明該對象屬于第一灰類，即該學(xué)生數(shù)學(xué)史教育現(xiàn)狀問卷結(jié)果為優(yōu)秀。同樣可得到其他對象的聚類結(jié)果，如表5所示。

表5 聚類系數(shù)及分析結(jié)果Table 5 clustering coefficients and analysis results

上述結(jié)果表明29個對象中有4個優(yōu)秀，6個良好，5個一般，14個不合格。優(yōu)秀率僅達(dá)到13.8%，不合格率占將近一半，說明數(shù)學(xué)史教育現(xiàn)狀不容樂觀。

(三)模糊聚類分析

1.建立模糊相似關(guān)系并將數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化

由灰色聚類辦法得到的29個聚類行向量組成的29×29矩陣比較大，所以從上述29個行向量中抽取 10 個行向量(X1、X2、X6、X7、X16、X17、X23、X24、X25、X26)優(yōu)秀、良好、一般各兩個，不合格四個組成原始數(shù)據(jù)矩陣σ，其中σ的行指標(biāo)為聚類對象，列指標(biāo)為灰類指標(biāo)，矩陣形式如下:

2.構(gòu)造模糊相似矩陣

相似系數(shù)，rij=R(σi，σj)，rij建立模糊相似矩陣:

3.選取聚類

利用直接聚類法，取不同λ求相似類，最后獲得λ不同水平上的等價分類。其動態(tài)聚類圖如圖2所示。

圖2 動態(tài)聚類圖Chart 2 Dynamic clustering chart

三 分析與評價

由表5的行方向知:

聚類對象X1、X3屬于第1灰類，問卷評價為優(yōu)秀。、X4、X6屬于第2灰類，評價為良好。X16、X18屬于第3灰類，評價結(jié)果為一般。其他為第4灰類。即有4個優(yōu)秀，5個良好，6個一般，14個不合格。優(yōu)秀率僅達(dá)到13.8%，不合格率占將近一半，學(xué)生對數(shù)學(xué)史的認(rèn)識、了解的數(shù)學(xué)史知識以及運(yùn)用數(shù)學(xué)史能力會影響學(xué)生的學(xué)習(xí)情況。也說明數(shù)學(xué)史教育現(xiàn)狀不容樂觀，不管是學(xué)校還是教師、學(xué)生都要加大重視力度。

由列方向知:

總體來說:學(xué)生對數(shù)學(xué)史的認(rèn)識比較高，都能認(rèn)識到數(shù)學(xué)史的重要性;但掌握的數(shù)學(xué)史知識并不是很好，主動獲取這方面知識的意向不夠;學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)史的能力非常差。

由圖2知，當(dāng)λ=0.9時，所有對象的聚類可劃分為 7 個類別，{X1、X2}、{X6}、{X7}、{X16、X17}、X23、{X24、X25}、{X26}。

當(dāng)λ=0.8時，對象可劃分為4個類別。{X1、X2}、{X6、X7}、{X16、X17}、{X23、X24、X25、X26}與之前灰色聚類得到的結(jié)果是一致的。由于所有對象各自成類或全部對象并入一類沒有實(shí)際意義，所以置信水平取0.8比較合適，說明兩種聚類方法可行。

結(jié) 語

本文采用灰色和模糊聚類方法建立評價模型，結(jié)合實(shí)例予以說明。該模型計算過程簡單，充分利用了各種灰類程度的評價信息，評價結(jié)果可靠。從總體上看，評價結(jié)果能較客觀反應(yīng)實(shí)際情況，方法科學(xué)合理［10］。

從數(shù)據(jù)結(jié)果分析得知，超過80%的學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識到數(shù)學(xué)史的重要性，但卻很少有人花時間去研究、學(xué)習(xí)，掌握的數(shù)學(xué)史知識比較差，運(yùn)用數(shù)學(xué)史能力更差。為使數(shù)學(xué)史教學(xué)不停留在表層，真正對我們的學(xué)習(xí)、生活、精神有幫助，要先從教師、學(xué)校做起。就此提出一些建議與措施:1.大學(xué)教師在上數(shù)學(xué)專業(yè)課時能從相關(guān)數(shù)學(xué)史講起;2.提高選修課質(zhì)量，延長選修課時間，考慮選修課轉(zhuǎn)化為必修課，分四年教授;3.形成良好的數(shù)學(xué)史學(xué)習(xí)氛圍，多舉辦數(shù)學(xué)史講座、數(shù)學(xué)史趣味演講等，調(diào)動師生的積極性。

［1］21世紀(jì)中國數(shù)學(xué)教育展望課題組.21世紀(jì)中國數(shù)學(xué)教育展望(第一輯)［M］.北京:北京師范大學(xué)出版社，1993.

［2］王森.美國“數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用”專題會議介紹［J］.數(shù)學(xué)通報.1999(8).

［3］王秀琴.當(dāng)前高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用數(shù)學(xué)史知識的調(diào)查研究［D］.濟(jì)南:山東師范大學(xué)碩士畢業(yè)論文，2011.

［4］吳文俊.在教育部的全國高校中外數(shù)學(xué)史講習(xí)班開學(xué)典禮上的講話［A］.中國數(shù)學(xué)史論文集(二)［C］.濟(jì)南:山東教育出版社，1986.

［5］中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))［M］.北京:人民教育出版社，2003.

［6］吳順祥.灰色粗糙集模型及其應(yīng)用［M］.北京:北京科學(xué)出版社，2009.

［7］謝季堅，劉承平.模糊數(shù)學(xué)方法及其應(yīng)用·第3版［M］.武漢:華中科技大學(xué)出版社，2006.

［8］劉思峰，郭天榜，黨耀國等.灰色系統(tǒng)理論及其應(yīng)用［M］.北京:科學(xué)出版社，1999.

［9］陳水利，李敬功，王向公.模糊集理論及應(yīng)用［M］.北京:科學(xué)出版社，2005.

［10］金玲玲，汪文俊，王喜鳳.大學(xué)生綜合素質(zhì)的灰色模糊聚類評價模型［J］.計算機(jī)技術(shù)與發(fā)展，2012(5).