姜業(yè)鋒

用數(shù)學(xué)建模思想來(lái)分析江蘇高考函數(shù)類數(shù)學(xué)題，能夠幫助學(xué)生了解高考函數(shù)，指導(dǎo)他們解決生活中有關(guān)函數(shù)的問(wèn)題.結(jié)合近幾年江蘇高考數(shù)學(xué)函數(shù)類試題，本文總結(jié)出了四類考點(diǎn).

一、函數(shù)的概念、性質(zhì)及其應(yīng)用

【例1】請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒，如圖1所示，ABCD是邊長(zhǎng)為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P，正好形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)，設(shè)AE=FB=xcm.（1）若廣告商要求包裝盒側(cè)面積S（cm2）最大，試問(wèn)x應(yīng)取何值？（2）若廣告商要求包裝盒容積V（cm3）最大，試問(wèn)x應(yīng)取何值？并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值.

解析：本題考查函數(shù)的概念、最值等基礎(chǔ)知識(shí)，

通過(guò)空間想象和閱讀，來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題.

設(shè)包裝盒的高為h（cm），底面邊長(zhǎng)為a（cm），

由已知得

a=2x，h=60-2x2 =2（30-x），0

（1）S=4ah=8x（30-x）=8（x-15）2+1800，所以當(dāng)x=15時(shí)，S取最大值.

（2）V=a2h=22（-x3+30x2），V′=62x·（20-x），由V′=0得x=0（舍）或x=20.

當(dāng)x∈（0，20）時(shí)，V′>0；當(dāng)x∈（20，30）時(shí)，V′<0.所以當(dāng)x=20時(shí)，V取最大值，此時(shí)ha=12 ，即包裝盒的高和地面邊長(zhǎng)的比值為12 .

二、基本函數(shù)的圖像和性質(zhì)

【例2】函數(shù)f（x）=Asin（wx+φ）（A，w，φ是常數(shù)，A>0，w>0）的部分圖像如圖2所示，求f（0）的值.

解析：本題考查三角函數(shù)的圖像及其性質(zhì).

由圖像可知，函數(shù)圖像過(guò)點(diǎn)（π3，0） ，（7π12 ，-2），

又A>0，w>0，

可知T4 =7π12 -π3 ，

解得T=π=2πw ，得w=2.

又函數(shù)圖像的最低點(diǎn)是（7π12，-2 ），故A=2.

根據(jù)2sin（2×7π12 +φ=-2）

，可得φ=π3 .

所以f（0）=2sinπ3=62 .

三、方程根的問(wèn)題

【例3】已知a，b，c，d是不全為0的實(shí)數(shù).函數(shù)f（x）=bx2+cx+d，g（x）=ax3+bx2+cx+d，方程f（x）=0有實(shí)根，且f（x）=0的實(shí)數(shù)根都是g（f（x））的根，反之g（f（x））=0的實(shí)數(shù)根都是f（x）=0的根.（1）求d的值；（2）若a=0，求c的取值范圍.

解析：本題主要考查函數(shù)方程根問(wèn)題，可以運(yùn)用分類討論和等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法.

（1）設(shè)r為方程的一個(gè)根，即f（r）=0，由題可知g（f（r））=0，則g（0）=d=0.所以d=0.

（2）由（1）知d=0，所以當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=0，g（f（x））=0，則f（x）=x（bx+c）=0，g（f（x））=x（bx+c）（b2x2+bcx+c）=0，

a，b，c，d是不全為0的實(shí)數(shù).

（i）當(dāng)c=0，b≠0時(shí)，符合題設(shè)；

（ii）當(dāng)c≠0，b=0時(shí)，符合題設(shè)；

（iii）當(dāng)c≠0，b≠0時(shí)，f（x）有x1=0，x2=-cb ，也是方程g（f（x））的根，但不是方程b2x2+bcx+c=0的實(shí)數(shù)根.故此方程無(wú)實(shí)數(shù)根，則此方程的判別式Δ=（bc）2-4b2c<0，得0

綜上所述，c的取值范圍是[0，4）.

四、函數(shù)的零點(diǎn)

圖3

【例4】函數(shù)f（x）=x-cosx在[0，+∞）內(nèi)（）.

A.沒(méi)有零點(diǎn)

B.有且僅有一個(gè)零點(diǎn)

C.有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)

D.有無(wú)窮多個(gè)零點(diǎn)

解析：判斷函數(shù)在區(qū)間上是否存在零點(diǎn)時(shí)，有三種情況：能直接求出零點(diǎn)時(shí)，直接求出判斷；不能直接求出零點(diǎn)時(shí)，據(jù)存在性定理判斷；用零點(diǎn)存在性定理無(wú)法判斷時(shí)，畫(huà)出圖像判斷.

（責(zé)任編輯金鈴）