焦永安

摘 要：初中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容是數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)思想方法組成的有機(jī)整體?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)主要是代數(shù)、幾何中的性質(zhì)概念、法則公式、公理定理以及由其深層次內(nèi)容所反映出來(lái)的數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)形結(jié)合、分類討論和化歸等數(shù)學(xué)思想方法蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中。在教學(xué)過(guò)程中，強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想方法的滲透，應(yīng)成為數(shù)學(xué)教師的自覺(jué)行為，也是數(shù)學(xué)課程改革的導(dǎo)向之一。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)；數(shù)形結(jié)合；分類討論；化歸思想

一、數(shù)形結(jié)合入堂奧

華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事非?！笨梢?jiàn)，數(shù)形結(jié)合可以使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的。人們一般把代數(shù)稱為“數(shù)”，而把幾何稱為“形”，“數(shù)”與“形”從表面看是相互獨(dú)立的，其實(shí)在一定條件下它們可以相互轉(zhuǎn)化，數(shù)量問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為圖形問(wèn)題，圖形問(wèn)題也可以轉(zhuǎn)化為數(shù)量問(wèn)題。

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，最典型的數(shù)形結(jié)合就是借助圖形研究函數(shù)性質(zhì)。函數(shù)圖象既具有特殊的幾何特征，又具備數(shù)量特征，將二者緊密結(jié)合，方有助于理解題意，探究解題思路，檢驗(yàn)解題結(jié)果。

例題：如右圖，已知一次函數(shù)y1=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y2=■的圖象交于A（2，4）和B（-4，m）兩點(diǎn)。

（1）求這兩個(gè)函數(shù)的解析式。

（2）求△AOB的面積。

（3）根據(jù)圖象直接寫(xiě)出，當(dāng)y1>y2時(shí)，x的取值范圍。

分析：解決此問(wèn)題的關(guān)鍵是利用圖象的位置，反映相應(yīng)的自變量和函數(shù)值的范圍，讓學(xué)生觀察圖象的特點(diǎn)，由圖象上的A（2，4）決定y1、y2的解析式，求△AOB的面積比較困難，激發(fā)學(xué)生由C點(diǎn)線段想到△AOB面積是△AOC與△BOC的面積和，就化難為易，得心應(yīng)手。

解：（1）∵點(diǎn)A（2，4）在反比例函數(shù)y2=■的圖象上，由反比例函數(shù)的概念y=■可變形為xy=k得a=2×4=8，

∴反比例函數(shù)的解析式為y2=■。

∵點(diǎn)B（-4，m）也在反比例的圖象上，

∴當(dāng)x=-4時(shí)，m=-■=-2。

∵直線y1=kx+b經(jīng)過(guò)A（2，4）和B（-4，-2），

∴2k+b=4-4k+b=-2解得k=1，b=2。

∴一次函數(shù)的解析式為y1=x+2。

（2）設(shè)直線y1=x+2與x軸交點(diǎn)C（如上圖）

則C點(diǎn)的y1=0時(shí)，x+2=0，x=-2。

∴點(diǎn)C（-2，0），|OC|=2是兩三角形的底邊。

∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=■×2×4+■×2×2=6。

由圖象可知，當(dāng)x>2或-4y2時(shí)，-42。

二、分類討論找規(guī)律

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，分類討論的思想無(wú)處不在，無(wú)時(shí)不用。如，對(duì)于有絕對(duì)值的代數(shù)式，當(dāng)去掉絕對(duì)值符號(hào)時(shí)，便要把代數(shù)式分大于0、等于0、小于0三種情況加以討論；在解含有字母系數(shù)的方程和不等式時(shí)，也要對(duì)字母的范圍進(jìn)行討論。

方程知識(shí)是初中數(shù)學(xué)知識(shí)的重點(diǎn)和基礎(chǔ)，涉及一元一次方程、二元一次方程、一元二次方程、分式方程等。這些不同類型的方程之間又可以通過(guò)降次、消元和去分母等方法互相轉(zhuǎn)化，解決這類問(wèn)題，只有審清了題意，全面、系統(tǒng)地考慮問(wèn)題，才能確定出各種可能情況的分類框架，分類時(shí)也才能做到條理清楚、不出現(xiàn)漏解的現(xiàn)象。

例題：已知關(guān)于x的方程（m+■）xm2-1+2（m-1）x-1=0

（1）m為何值時(shí)，它是一元二次方程；

（2）m為何值時(shí)，它是一元一次方程。

分析：根據(jù)一元二次方程和一元一次方程的定義，確定m的值。

（1）m2-1=2m+■≠0解得m=■。即當(dāng)m=■時(shí)，原方程是一元二次方程。

（2）若使原方程為一元一次方程，則m的情況分三種情況討論：

①m+■=2m-1≠0解得m=-■

②m2-1=1m+■+2（m-1）≠0得m=±■m≠■（2-■）解得m=±■

③m2-1=02（m-1）≠0得m=±1m≠1解得m=-1

當(dāng)m=-■或±■或者-1時(shí)，原方程是一元一次方程。

討論關(guān)于x的方程是一元一次方程或一元二次方程的問(wèn)題，關(guān)鍵要考慮兩點(diǎn)：一是未知數(shù)的最高次數(shù)，二是最高次項(xiàng)的系數(shù)不等于0，要進(jìn)行嚴(yán)密的思考，做到不重復(fù)不遺漏。

分類討論思想涉及初中數(shù)學(xué)的全部知識(shí)點(diǎn)，因此，加強(qiáng)分類討論思想的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生分類的習(xí)慣，有利于學(xué)生形成思維的條理性、縝密性和科學(xué)性，有利于學(xué)生形成良好的思維品質(zhì)，降低數(shù)學(xué)知識(shí)的理解難度，提高學(xué)習(xí)效率。

三、化歸思想見(jiàn)魅力

在處理問(wèn)題時(shí)，把那些待解決或難解決的問(wèn)題，通過(guò)某種轉(zhuǎn)化歸結(jié)為一類已經(jīng)解決或比較容易解決的問(wèn)題，最終求得原問(wèn)題的解答，諸如將未知向已知化歸，復(fù)雜問(wèn)題向簡(jiǎn)單問(wèn)題化歸，實(shí)際問(wèn)題向數(shù)學(xué)問(wèn)題化歸等。

例題：若（■-a）2與b-1互為相反數(shù)，則■的值為 。

分析：由相反數(shù)的性質(zhì)可知（■-a）2+b-1=0，由非負(fù)數(shù)性質(zhì)得■-a=0，b-1=0，得a=■，b=1，所以■=■=■+1。

初中代數(shù)教學(xué)內(nèi)容中處處滲透著化歸思想，有理數(shù)的運(yùn)算法則是小學(xué)四則運(yùn)算的拓展，分式方程、無(wú)理方程和簡(jiǎn)單的高次方程是一元一次方程、一元二次方程的引申，平面直角坐標(biāo)系是數(shù)軸的推廣……

在方程的教學(xué)中，化歸思想表現(xiàn)得更是突出。如，x=a是一個(gè)最簡(jiǎn)單形式的方程，同樣也是一個(gè)方程的解，那么，由此可以認(rèn)為：解方程的過(guò)程，就是把已知方程通過(guò)同解變形化為x=a的過(guò)程，數(shù)學(xué)思想是隱含在數(shù)學(xué)知識(shí)之中的，且隨著每一章節(jié)知識(shí)點(diǎn)的不同，隱含其中的數(shù)學(xué)思想也不同。

可見(jiàn)，教師有意識(shí)地滲透數(shù)學(xué)思想方法的首要條件是教師要從數(shù)學(xué)思想方法的角度對(duì)教材進(jìn)行系統(tǒng)的分析研究，發(fā)現(xiàn)和把握教材內(nèi)容中所隱含的數(shù)學(xué)思想方法。教師必須在數(shù)學(xué)思想的基礎(chǔ)上去設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程，在講課、評(píng)課、輔導(dǎo)等環(huán)節(jié)中都要有意識(shí)地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，并注意各種數(shù)學(xué)思想方法的關(guān)聯(lián)，使學(xué)生逐步了解、領(lǐng)悟、掌握數(shù)學(xué)思想方法，這樣學(xué)生才會(huì)越學(xué)越想學(xué)，越學(xué)越愛(ài)學(xué)。

參考文獻(xiàn)：

[1]王文槐.中考集訓(xùn).甘肅教育出版社，2008.

[2]王后雄.教材完全解讀.中國(guó)青年出版社，2009.

（作者單位 甘肅省臨夏縣三角初級(jí)中學(xué)）