樓文勝

摘 要：二次輪換對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的最值必在變量相等時(shí)取得，由此可非常快捷地解答一些高考題。

關(guān)鍵詞：二次輪換對(duì)稱(chēng)問(wèn)題；最值；高考題

《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》2012第5期刊出陳云烽老師《二次約束條件下的最值求法》，讀后深受啟發(fā)，只有當(dāng)二次約束條件對(duì)應(yīng)的圖形是橢圓時(shí)，x，y才能在限定的區(qū)間內(nèi)，px+qy才有最大值和最小值。 文章給出了此類(lèi)問(wèn)題形象的幾何直觀。

如限定二次約束條件為輪換對(duì)稱(chēng)式，要求的問(wèn)題也是輪換對(duì)稱(chēng)的，我們把它簡(jiǎn)稱(chēng)為二次輪換對(duì)稱(chēng)問(wèn)題。 其實(shí)這也是對(duì)2011浙江文科16題所做的一種一般化研究。二次輪換對(duì)稱(chēng)問(wèn)題有如下非常簡(jiǎn)明的結(jié)論：

定理：設(shè)x，y∈R，a（x2+y2）+bxy+c（x+y）+d=0，要求x+y（或xy）的最值（當(dāng)a=0，要求xy的最值，要求x，y∈R+），其最值必在x=y時(shí)取得。

下面給出上面結(jié)論的一個(gè)證明：

由高數(shù)知識(shí)，輪換對(duì)稱(chēng)式可由x+y和xy表示，其實(shí)約束條件通過(guò)配方后，顯然可以用x+y和xy表示，設(shè)配方后的式子為e（x+y）2+fxy+g（x+y）+h=0，可不妨設(shè)e≥0。

1. 求x+y的最值

設(shè)t=xy，s=x+y，上述問(wèn)題變?yōu)椋涸O(shè)es2+ft+gs+h=0，求s的最值。

2. 求xy的最值

設(shè)es2+ft+gs+h=0，求t的最值。

若f=0，es2+gs+h=0，此時(shí)s為常數(shù)，t=xy≤

2，t有最大值，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取得最大值。

若f≠0，e>0時(shí)，t=-s2-s-，t有最值，當(dāng)s=-時(shí)，取得最值，此時(shí)亦可看做x=y取得最值。

若f≠0，e=0時(shí)，t=-s-，≥，x，y∈R+，≥，通過(guò)放縮求最值，如有最值，最值必在等號(hào)時(shí)取得，即必有x=y。

綜上，二次輪換對(duì)稱(chēng)問(wèn)題“設(shè)x，y∈R，a（x2+y2）+bxy+c（x+y）+d=0，求x+y（或xy）的最值”（當(dāng)a=0，求xy的最值，要求x，y∈R+）必在x=y時(shí)取得。

二次輪換對(duì)稱(chēng)問(wèn)題高考中經(jīng)常出現(xiàn)，有了上面結(jié)論，可以非?？旖莸亟o出答案。

3. 結(jié)論的應(yīng)用舉例

例1 （1998年全國(guó)理科22題）已知a+ab+2b=30（a>0，b>0），則ab的最大值是_______。

解：條件不是輪換對(duì)稱(chēng)式：如令a=s，2b=t，則問(wèn)題變?yōu)椋阂阎猻+st+t=30，則st最大值是多少？這就是輪換對(duì)稱(chēng)問(wèn)題了。當(dāng)s=t時(shí)，s=t=6，即a=6，b=3，ab的最大值為18。

例2 （2010浙江文科15題）若正實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足2x+y+6=xy，則xy的最小值是________。

解：令2x=s，y=t，上式變?yōu)閟+t+6=st，則st的最小值是多少？這是一個(gè)輪換對(duì)稱(chēng)問(wèn)題。 當(dāng)s=t=6時(shí)取最小值，即x=3，y=6，xy的最小值是18。

例3 （2006年重慶理科10題）若a，b，c>0且a（a+b+c）+bc=4-2，則2a+b+c的最小值為 （ ）

解：關(guān)于b，c的輪換對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，當(dāng)b=c時(shí)取最小值，由條件b=c=-1-a，所以答案為D。

例4 （2011年浙江文科16題）設(shè)x，y∈R，x2+y2+xy=1，則x+y的最大值_____。

解：當(dāng)x=y時(shí)，x=±，所以最大值為。

對(duì)應(yīng)的理科高考16題：設(shè)x，y∈R，4x2+y2+xy=1，則2x+y的最大值是______。

只要設(shè)s=2x，t=y，上式變?yōu)椋簊，t∈R，s2+t2+=1，則s+t的最大值是多少？問(wèn)題變?yōu)檩啌Q對(duì)稱(chēng)，易知最大值為。