季順華

“大前提、小前提和結(jié)論”三段論式的演繹推理貫穿于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，而合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)展史上也留下濃重一筆，如阿基米德“稱”出了球體公式，哥德巴赫做出了世界著名的猜想，傅立葉發(fā)明了級(jí)數(shù)。在社會(huì)生活中，醫(yī)生診病、警察判案、軍事指揮、人際交往都要應(yīng)用到合情推理。而我國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)歷來重視邏輯推理能力的培養(yǎng)，而忽視合情推理能力的培養(yǎng)，導(dǎo)致學(xué)生想象能力不高。類比推理作為合情推理的一種，是根據(jù)在特征、屬性等方面類同的兩個(gè)不同對(duì)象，猜測(cè)它們?cè)谄渌矫嬉部赡艽嬖谟蓄愅?，從而做出某種判斷的推理方法。

一、類比推理在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用

1.有助于激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)。教師創(chuàng)設(shè)類比的問題情境，可以吸引學(xué)生的注意力，促使學(xué)生將自身的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)與教師的講授有機(jī)聯(lián)系起來，通過對(duì)相關(guān)知識(shí)進(jìn)行類比分析、尋找規(guī)律、做出猜想，從而接受新的知識(shí)，掌握新的方法。

2.有助于培養(yǎng)批判性思維能力?！皩W(xué)貴有疑，小疑則小進(jìn)，大疑則大進(jìn)”。高考指揮棒扼殺了高中生敢于質(zhì)疑的精神，使他們不知覺地迷信于書本、權(quán)威，導(dǎo)致他們?nèi)狈ε心芰?，容易出現(xiàn)判斷失誤。教師要借助于類比情境，引導(dǎo)學(xué)生從多角度審視、多方位批判分析新的知識(shí)，讓學(xué)生在“求同”中學(xué)會(huì)“存異”，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維。

3.有助于提高學(xué)習(xí)的主動(dòng)性?！皽毓识拢梢詾閹熞印?。許多新的知識(shí)是由舊知識(shí)發(fā)展變化而來，新知識(shí)里或多或少都有舊知識(shí)的影子。教師在教學(xué)中，通過舊知猜測(cè)新知的內(nèi)容、思想和方法，有助于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。如在“球的體積和表面積”教學(xué)中，教師通過“圓柱的體積”知識(shí)的復(fù)習(xí)，將球體進(jìn)行切割，分解成若干個(gè)近似于圓柱體的“小圓片”，它的體積和接近于球的體積。

4.有助于學(xué)生掌握科學(xué)的思維方法。學(xué)生通過類比有助于區(qū)別容易混淆的內(nèi)容，能將抽象的內(nèi)容具體化，便于學(xué)生理解抽象的概念屬性，促使學(xué)生主動(dòng)記憶，提高學(xué)生的記憶效率。類比教學(xué)能增強(qiáng)教學(xué)效果，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。

二、當(dāng)前類比教學(xué)中存在的主要問題

1.認(rèn)識(shí)不足。類比作為一種重要的思維方法，在厘清概念、總結(jié)規(guī)律、探索結(jié)論方面發(fā)揮重要的作用，能將零亂、松散的知識(shí)條理化。如球的概念教學(xué)中，用圓的切線與球的切面、圓的弦與球的截面圓、圓周長(zhǎng)與球表面積、圓面積與球體積進(jìn)行類比，有助于學(xué)生理解消化球的概念。然而，部分教師雖然也認(rèn)為類比推理在解題中比較重要，但往往重視不夠，沒有進(jìn)行針對(duì)性的訓(xùn)練，導(dǎo)致學(xué)生應(yīng)用類比推理解題時(shí)困難重重。

2.重解題輕講授。高中一些知識(shí)結(jié)構(gòu)、性質(zhì)相互關(guān)聯(lián)，通過類比推理就能快速地掌握新知。然而由于應(yīng)試的觀念根深蒂固，大部分教師大搞題海戰(zhàn)術(shù)，片面追求問題的解題而忽視思想方法的指導(dǎo)，以至學(xué)生尚未將知識(shí)完全消化，就匆匆應(yīng)用于解決數(shù)學(xué)題目，導(dǎo)致解題出錯(cuò)。

3.缺乏系統(tǒng)化的教學(xué)。由于教師對(duì)類比推理教學(xué)沒有引起足夠的重視，對(duì)類比推理教學(xué)的原則和策略缺乏有效的研究，不深入挖掘類比資源、應(yīng)用類比素材，導(dǎo)致應(yīng)用類比教學(xué)的方法呈任意性和隨機(jī)性。

三、類比教學(xué)的應(yīng)用策略

1.結(jié)構(gòu)相似性類比。（1）概念類比教學(xué)。高中數(shù)學(xué)有很多概念的結(jié)構(gòu)相似性明顯，如正弦函數(shù)與余弦函數(shù)、等差數(shù)列與等比數(shù)列、圓與橢圓等，教師要利用結(jié)構(gòu)的相似性由舊知概念類比到新知概念。①提問。尋找類比的“源問題”，通過提問的方式復(fù)習(xí)舊知。比如：今天我們將學(xué)習(xí)橢圓的知識(shí)，大家之前都學(xué)過圓，哪位同學(xué)說一說圓是如何定義的？圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？你認(rèn)為圓的概念中，哪些詞最能反映它具有的特性？接著教師呈現(xiàn)圓的概念，并標(biāo)記重點(diǎn)詞匯，為下一步的類比教學(xué)做鋪墊。②類比。教師設(shè)置遞進(jìn)性的問題，引導(dǎo)學(xué)生逐層深入，由淺入深地找到類比條件，實(shí)現(xiàn)從舊知到新知的跨越。教師設(shè)置的問題要“緩坡度”，降低思維的難度，避免跨度過大。③驗(yàn)證。在得到新知概念之后，教師讓學(xué)生進(jìn)一步驗(yàn)證其正確性，加深學(xué)生對(duì)概念的理解。（2）公式教學(xué)類比。高中數(shù)學(xué)公式繁多，僅三角函數(shù)就有兩角和公式、和差化積、積分和差、倍角公式、誘導(dǎo)公式等若干個(gè)公式，學(xué)生即便花費(fèi)很長(zhǎng)時(shí)間記憶，在應(yīng)用時(shí)也難免出錯(cuò)。為了避免枯燥乏味的機(jī)械記憶，就要改變被動(dòng)接受的學(xué)習(xí)方式，化被動(dòng)記憶為主動(dòng)歸納猜想，通過直觀感受得出公式。首先，教師要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，挖掘“源問題”。如“三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式”教學(xué)中，教師首先呈現(xiàn)銳角三角函數(shù)的定義。接著，教師讓學(xué)生借助于單位圓，觀察第一向限角與其旋轉(zhuǎn)180°至第三象限角的終邊的位置關(guān)系，猜想旋轉(zhuǎn)后與旋轉(zhuǎn)前的兩角三角函數(shù)值存在怎樣的關(guān)系？進(jìn)而推導(dǎo)出三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式。最后，教師要引導(dǎo)學(xué)生驗(yàn)證類比的結(jié)論。（3）計(jì)算教學(xué)類比。高中數(shù)學(xué)中的許多運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)律具有一定的相似性，如果教師能在“異中求同”，運(yùn)用類比發(fā)現(xiàn)運(yùn)算之間的區(qū)別聯(lián)系，則有助于學(xué)生掌握新的運(yùn)算。如復(fù)數(shù)集是實(shí)數(shù)集的拓展與延伸，復(fù)數(shù)運(yùn)算與實(shí)數(shù)運(yùn)算有許多類似的性質(zhì)，教師通過啟發(fā)引導(dǎo)，讓學(xué)生運(yùn)用實(shí)數(shù)運(yùn)算的交換律、結(jié)合律、分配律進(jìn)行有關(guān)復(fù)數(shù)的運(yùn)算。

2.性質(zhì)相似性類比。通過性質(zhì)的相似性進(jìn)行類比，可以達(dá)到觸類旁通、舉一反三的教學(xué)效果。教師先統(tǒng)一復(fù)習(xí)舊知，學(xué)生經(jīng)過獨(dú)立思考，按照類比的范式探索新知，進(jìn)行統(tǒng)一類比，教師要及時(shí)給予引導(dǎo)和糾錯(cuò)。性質(zhì)的類比可以用表格的形式表述，清晰易懂，簡(jiǎn)潔明了。如：

圓的性質(zhì)和球的性質(zhì)類比教學(xué)表格

雖然類比的兩個(gè)對(duì)象之間有許多相同或相近的屬性，但在細(xì)節(jié)上還是有顯著差別的，通過類比，學(xué)生能靈活地掌握新知，科學(xué)地構(gòu)建知識(shí)體系。

如果說“演繹推理”是學(xué)習(xí)真理的話，那么“類比推理”則是發(fā)現(xiàn)真理。當(dāng)科學(xué)家波利亞“讓我們教猜想吧”的呼聲拷問我們的數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)，我們應(yīng)注重挖掘教材中潛在的類比資源，分析教材中哪些知識(shí)結(jié)構(gòu)適合于類比教學(xué)，放手讓學(xué)生通過類比推理掌握新的知識(shí)，從而培養(yǎng)學(xué)生類比推理的能力。