周振亞

一元二次方程是中考數學的重要考點之一，同時也是學好二次函數的基礎，尤其是一元二次方程結合函數更是中考熱點. 特將近幾年來各地在中考中出現的一元二次方程考題進行歸類解析，供大家參考.

一、一元二次方程的概念

例1 （2011年蘭州）下列方程中是關于x的一元二次方程的是（ ）.

A. x2 += 0 B. ax2 + bx + c = 0

C. （x - 1）（x + 2） = 1 D. 3x2 - 2xy - 5y2 = 0

分析 本題主要考查一元二次方程的定義，一元二次方程須滿足兩個條件：（1）只含有一個未知數并且未知數的最高次數為2；（2）方程必須是整式方程. 答案：C.

例2 （2012年柳州）一元二次方程3x2 + 2x - 5 = 0的一次項系數是 .

分析 考查一元二次方程的一般形式是：ax2 + bx + c = 0（a，b，c是常數且a ≠ 0），其中a，b，c分別叫二次項系數，一次項系數，常數項. 根據定義即可求解.答案：2.

二、一元二次方程的解法

例3 （2012年梅州）（1）已知一元二次方程x2 + px + q = 0（p2 - 4q ≥ 0）的兩根為x1，x2；求證：x1 + x2 = -p，x1·x2 = q.

分析 本題考查了一元二次方程的公式法解法，先根據求根公式得出x1、x2的值，再求出兩根的和與積即可.

例4 （2012年常州）已知關于x的方程2x2 - mx - 6 = 0的一個根為2，則m = ，另一個根為 .

分析 本題考查了一元二次方程解的含義，將2代入求出m后，解一元二次方程. 當然本題也能應用一元二次方程的根與系數的關系求解.

三、一元二次方程根與系數的關系

例5 （2012年鄂州）設x1，x2是一元二次方程x2 + 5x - 3 = 0的兩個實根，且2x1（x22 + 6x2 - 3） + a = 4，則a = .

分析 運用整體代入法及根與系數的關系求解.

解 ∵ x1，x2是一元二次方程x2 + 5x - 3 = 0的兩個實根，∴ x1 + x2 = -5，x1x2 = -3，x22 + 5x2 = 3，又∵ 2x1（x22 + 6x2 - 3） + a = 2x1（x22 + 5x2 + x2 - 3） + a = 2x1（3 + x2 - 3） + a = 2x1x2 + a = 4，∴ -6 + a = 4，解得：a = 10.

四、一元二次方程根的判別式

例6 （ 2012年河池）一元二次方程x2 + 2x + 2 = 0的根的情況是（ ）.

A . 有兩個相等的實數根

B. 有兩個不相等的實數根

C. 只有一個實數根

D. 無實數根

分析 由b2 - 4ac = 4 - 8 = -4 < 0得出方程沒有實數根.

例7 （2011年南充）關于的一元二次方程x2 + 2x + k + 1 = 0的實數解是x1和x2.

（1）求k的取值范圍；

（2）如果x1 + x2 - x1x2 < -1且k為整數，求k的值.

分析 本題先應用根的判別式求出k的取值范圍，再應用根與系數關系求出k值.

解 （1）∵方程有實數根，∴ Δ = 22 - 4（k + 1） ≥ 0，

解得k ≤ 0，

k的取值范圍是k ≤ 0.

（2）根據一元二次方程根與系數的關系，得x1 + x2 = -2， x1x2 = k + 1，

x1 + x2 - x1x2 = -2 - （k + 1），

由已知，得 -2 - （k + 1）< -1，解得 k > -2，

又由（1）k ≤ 0，

∴ -2 < k ≤ 0.

∵ k為整數，∴ k的值為-1和0.

五、一元二次方程與函數、實際問題等的綜合運用

例8 （2011年淄博）已知關于x的方程x2 - 2（k - 3）x + k2 - 4k - 1 = 0.若以方程x2 - 2（k - 3）x + k2 - 4k - 1 = 0的兩個根為橫坐標、縱坐標的點恰在反比例函數 的圖像上，求滿足條件的m的最小值.

解 設方程x2 - 2（k - 3）x + k2 - 4k - 1 = 0的兩個根為x1，x2，根據題意得m = x1x2.又由一元二次方程根與系數的關系得x1x2 = k2 - 4k - 1，那么m = k2 - 4k - 1 = （k - 2）2 - 5，所以，當k = 2時m取得最小值-5.