鄧謙棠

縱觀每年的高考試卷，我們都可以發(fā)現(xiàn)許多“似曾相識(shí)”的題，其實(shí)，他們都是從課本上的習(xí)題變式而來.例如2010年湖北省高考數(shù)學(xué)理科試題第5題：已知？駐ABC和點(diǎn)M滿足++=，若存在實(shí)數(shù)m使得+=m成立，則m=（ ）.

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

此題由人教A版的普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)》必修4第120頁復(fù)習(xí)參考題（B組）第5題：“已知向量，，滿足條件++=，===1，求證：？駐P1P2P3是正三角形.”變式而來.那么，怎樣進(jìn)行課本習(xí)題的變式教學(xué)呢？

一、變式教學(xué)的目的

高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容跨度大、抽象性強(qiáng)，只有促進(jìn)高中生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的深刻理解，才能達(dá)到掌握和靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的目的.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，通過變式教學(xué)，可以把一個(gè)看似孤立的問題從不同角度向外擴(kuò)散，并形成一個(gè)有規(guī)律可尋的系列，幫助學(xué)生在問題的解答過程中去尋找解決此類問題的思路和方法，有意識(shí)地展現(xiàn)教學(xué)過程中教師與學(xué)生數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的過程，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性， 培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考問題、分析問題和解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)以及創(chuàng)造性的邏輯思維方式.同時(shí)，在變式教學(xué)模式下，學(xué)生不需要大量地、重復(fù)地做同一種題型的練習(xí)，減輕了學(xué)生的學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)，提高了學(xué)習(xí)效率.

二、變式教學(xué)的方法

下面以課本《數(shù)學(xué)》必修4第91頁的第6題為例，談?wù)劻?xí)題變式教學(xué)的方法.

原題： 已知向量，，求作向量，使++=0.表示，，的有向線段能構(gòu)成三角形嗎？

分析：如圖1，設(shè)=，=，以AB、AD為鄰邊作平行四邊形ABCD，由向量加法的平行四邊形法則可知+=，即=.顯然，當(dāng)，不共線時(shí)，表示，，的有向線段能構(gòu)成三角形.

1. 創(chuàng)設(shè)新情境，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性

創(chuàng)設(shè)新情境是指把條件放在一些特殊的情境中，使問題得以深化.而且，在新的情境中，解決問題的方法不僅僅拘泥于原題的方法，這就要求學(xué)生有扎實(shí)的基礎(chǔ)，有變通的能力，以養(yǎng)成思維的靈活性.

變式1：如圖2，已知向量，，滿足條件++=，則點(diǎn)M是？駐ABC的_____心（選填“內(nèi)”、“外”、“重”、“垂”）.

分析：

方法1：以MB，MC為鄰邊作平行四邊形MBDC，設(shè)平行四邊形MBDC的對(duì)角線MD、BC交于點(diǎn)E，則E為BC的中點(diǎn)，+==

2，由++=得+=-，即=-2，所以M，A，E三點(diǎn)共線，且=2，所以點(diǎn)M是？駐ABC的重心.

方法2： 以M為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3），則=（x1，y1），=（x2，y2），=（x3，y3），由++=，得（x1+x2+x3，y1+y2+y3）=（0，0），

所以點(diǎn)M可表示為（，），即點(diǎn)M是？駐ABC的重心.

變式2：設(shè)P是平面ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，若=（++），則G是？駐ABC的_____心（選填“內(nèi)”、“外”、“重”、“垂”）.

分析：由=（++）可知++-3=，

即（-）+（-）+（-）=

即++=

由變式1可知，G是？駐ABC的重心.

變式意圖：與原題相比，變式1是在？駐ABC中根據(jù)條件++=來研究點(diǎn)M的性質(zhì)，其本質(zhì)還是運(yùn)用向量加法的平行四邊形法則，并未發(fā)生大的改變，但創(chuàng)設(shè)？駐ABC這個(gè)新的情境，就可以利用坐標(biāo)法來解決問題.變式2在變式1的基礎(chǔ)上再次變換了新情境，要求學(xué)生適當(dāng)變形，靈活處理，拓寬了學(xué)生的思維，使得學(xué)生思維的靈活性得到提高.

2. 增加新條件，培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)造性

增加新條件是指在原題的基礎(chǔ)上，增加更多的限制性條件，使題目的難度層層遞增，這要求學(xué)生在深層次地理解原題的解題思路上，拓展思維，舉一反三，鍛煉思維的創(chuàng)造性.

變式3： 已知向量，，滿足條件++=，===1，求證：？駐P1P2P3是正三角形.（必修4第120頁復(fù)習(xí)參考題（B組）第5題）

分析：由變式1知點(diǎn)O是？駐P1P2P3的重心，由===1知O點(diǎn)是？駐P1P2P3的外心，所以？駐P1P2P3是正三角形.

變式4：已知向量，，滿足條件++=，且·=·=·，求證：？駐P1P2P3是正三角形.

分析：由·=·移項(xiàng)得·（-）=·=，所以⊥；同理可得⊥，⊥，所以O(shè)點(diǎn)是？駐P1P2P3的垂心， 又由變式1知點(diǎn)O是？駐P1P2P3的重心，所以？駐P1P2P3是正三角形.

變式意圖：變式2和變式3都是在變式1的基礎(chǔ)上增加一個(gè)條件，考查了學(xué)生對(duì)三角形的重心、外心和垂心的掌握情況，題目的難度層層遞增，符合學(xué)生的思維方式，提高了學(xué)生思維的創(chuàng)造性.

3. 變換新角度，培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性

變換新角度是指把原題的條件和結(jié)論變動(dòng)和加深，但知識(shí)點(diǎn)不離開原題的范圍，這要求學(xué)生在掌握原題的基礎(chǔ)上，能夠發(fā)散思維，能夠逆向地去分析問題，提高思維的發(fā)散性.

變式5：設(shè)M是？駐ABC的重心，則++=__________.

分析：根據(jù)變式1的作法，易知++=.

變式6：若？駐P1P2P3是正三角形，向量，，滿足條件===1，求證：++=.

變式7：已知向量，，兩兩所成的角相等，且滿足===1，求證：++=.

分析：如圖3，以點(diǎn)O為圓心，1為半徑作圓，則點(diǎn)P1、P2、P3都在此圓上，由向量，，兩兩所成的角相等知∠P1OP2=∠P2OP3=∠P3OP1=120°，以O(shè)P2、OP3為鄰邊作平行四邊形OP2PP3，則+=，且該平行四邊形為菱形，∠P2OP=∠POP3=60°，即？駐P2OP為正三角形，=1，又∠P1OP2+∠P2OP=180°，所以P1、O、P三點(diǎn)共線，所以=-，即++=.

變式意圖：變式5是變式1的逆運(yùn)算，變式6和變式7都是變式3的逆運(yùn)算.針對(duì)這幾個(gè)問題，我們要引導(dǎo)學(xué)生變換思維的角度，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想來解決問題，使得學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)有一個(gè)全方位、多角度的認(rèn)識(shí)，提高了學(xué)生思維的發(fā)散性.

三、變式教學(xué)的價(jià)值

以下列舉近幾年高考中學(xué)生感到“似曾相識(shí)”的題目，以此說明變式教學(xué)在高三復(fù)習(xí)中的重要性.

例1（2009年寧夏、海南理科題）已知O、N、P在？駐ABC所在平面內(nèi)，且==，++=，且·=·=·，則點(diǎn)O、N、P依次是？駐ABC的（ ）

A. 重心、外心、垂心

B. 重心、外心、內(nèi)心

C. 外心、重心、垂心

D. 外心、重心、內(nèi)心

例2（2009年陜西理科題）在？駐ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM=1，點(diǎn)P在AM上且滿足=2，則·（+）等于（ ）

A. - B. - C. D.

例3（2006年浙江高考理科題）設(shè)向量，，滿足++=，（-）⊥，⊥，若||=1，則||2+||2+||2的值是 .

例4（2005年全國高考數(shù)學(xué)試題（全國卷Ⅰ）第15題）？駐ABC 的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點(diǎn)為H，=m（++），則實(shí)數(shù)m=____________.

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)該有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生研究課本中的一些典型問題，通過創(chuàng)設(shè)新情境、增加新條件、變換新角度等多種途徑，挖掘習(xí)題潛在的數(shù)學(xué)價(jià)值.

責(zé)任編輯 羅 峰