劉丹丹　曹榮美

摘 要： 研究了功能反映函數(shù)為Holling-iv型的捕食-食餌系統(tǒng)，對其在脈沖狀態(tài)下，利用脈沖微分方程的比較原理、Floquet定理等，分析了該系統(tǒng)的解的穩(wěn)定性與系統(tǒng)的持久性，得到了系統(tǒng)穩(wěn)定性與持久性的條件。

關鍵詞： Holling-iv型；脈沖；穩(wěn)定性；持久性

中圖分類號： TB

文獻標識碼： A

文章編號： 16723198（2013）06017603

脈沖現(xiàn)象作為一種瞬時突變現(xiàn)象，在現(xiàn)代科技各領域的實際問題中普遍存在，其數(shù)學模型往往可歸結為脈沖微分系統(tǒng)。近年來，脈沖微分方程系統(tǒng)的研究不斷深入，已經形成一套比較完善的基本理論。脈沖微分方程主要有三類：脈沖發(fā)生在固定時刻的脈沖微分方程、脈沖發(fā)生在變時刻的脈沖微分方程和脈沖自治微分方程。在種群的模型中，一般討論脈沖發(fā)生在固定時刻的脈沖微分方程，而在討論的過程中，一般都利用重合度理論、比較定理、Floquet乘子、中心流形、泛函等來研究，研究具有時滯比率依賴的捕食-食餌系統(tǒng)，利用中心流形的方法研究此系統(tǒng)在脈沖作用下解出現(xiàn)分支和混沌的現(xiàn)象；本文研究了具有單調功能性函數(shù)的時滯、脈沖基于比率依賴的捕食-食餌系統(tǒng)，運用泛函分析的理論，證明此系統(tǒng)周期解的存在性；等等。

本文主要針對系統(tǒng)（1），研究在脈沖狀態(tài)下平衡點的穩(wěn)定性與系統(tǒng)的持久性：

其中X（t）= x（t），y（t） 為系統(tǒng)（1）定義在 0，∞ 上的任意解。

引理1.3 （Floquet判斷定理）如果周期系數(shù)線性系統(tǒng)的特征方程的根，即系統(tǒng)的特征乘數(shù)的模均小于1，則系統(tǒng)是漸進穩(wěn)定的；若特征乘數(shù)中至少有一個模大于1，則系統(tǒng)不穩(wěn)地；若模為1的特征乘數(shù)只有一個，而其余的模均小于1，則系統(tǒng)穩(wěn)定；若模為1的特征乘數(shù)的個數(shù)大于1，而其余的模均小于1，則當模為1的特征乘數(shù)的代數(shù)重數(shù)都等于其幾何重數(shù)時，則系統(tǒng)穩(wěn)定，否則，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

2 平衡點的全局穩(wěn)定性

顯然，對系統(tǒng)（2）的任意一個解y（t），有 y（t）-y*（t） →0，t→∞。

從而我們可以得到主要目的為消滅食餌的系統(tǒng)（1）的周期解為（0，y*（t））。

下面討論（0，y*（t））的穩(wěn)定性。

取0

從而可知D+V（t）+lV（t）有界，不仿設上界為K.取適當?shù)膌0，則D+V（t）+l0V（t）≤K。

∴ D+V（t）≤-l0V（t）+K t≠nTV（t+）=V（t）+p t=nTV（0+）=V0 。

計算系統(tǒng)

D+u（t）=-l0u（t）+K t≠nTu（t+）=u（t）+p t=nTu（0+）=v0 ，

得

（2）證明m0>0，使得x（t）≥m0，y（t）≥m0，x（t），y（t）為系統(tǒng)（1）的解。

由等式（3）可知，必存在m1>0，T0>0，使得當t>T0時，有y（t）≥m1.下面主要證明存在m2>0，T1>0，使得當t>T1時，有x（t）≥m2。

假設不存在這樣的T1，即對任意的m′2>0，t>0，都有x（t）≤m′2.又aT- mp αd >0，所以對任意的m′2>0，ε>0，有aT- mεT α + mp λmm′2-αd >0。

從而

4 結語

本章討論了具Hollingiv型功能反應函數(shù)的脈沖系統(tǒng)的穩(wěn)定性與持久性，以 為參數(shù)，利用穩(wěn)定性理論和脈沖理論，得到了系統(tǒng)穩(wěn)定與持久的條件。

參考文獻

[1] 王麗敏，脈沖動力系統(tǒng)理論在種群生態(tài)學中的應用[D].大連：大連理工大學，2006.

[2]Xiao Hong LI，Chun LU，Xiu Feng DU，Permanence and Global Attractivity of a Discrete SemiRatioDependent PredatorPrey System with HollingIV Type Functional Response[J].Journal of Mathematical Research & Exposition，May ，2010，30（3）： 442450.

[3]Qintao Gan，Rui Xu，Pinghua Yang ，Bifurcation and chaos in a ratiodependent predatorprey system with time delay[J].Chaos，Solitons and Fractals，2009，39：18831895.

[4]王繼華，曾憲武.一類具有簡化 Hollingiv類功能反應的捕食食餌模型的定性分析[J].數(shù)學雜志，2004，24（6）：701705.

[5]陳蘭蓀，脈沖微分方程理論及其應用[M].北京：科學出版社，2011.