周瑩煒

摘 要：數(shù)學(xué)探究的重心在于探究過(guò)程，作為數(shù)學(xué)探究的開(kāi)端，問(wèn)題的作用是不言而喻的，數(shù)學(xué)探究的價(jià)值在于探究環(huán)節(jié)本身，從提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的角度來(lái)看，對(duì)于問(wèn)題呈現(xiàn)的研究?jī)r(jià)值也是顯而易見(jiàn)的. 我們要做的很大程度上是在應(yīng)試的壓力下，本著數(shù)學(xué)探究的本義去實(shí)施探究.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；探究；問(wèn)題呈現(xiàn)

在新課程走過(guò)的這些年里，數(shù)學(xué)探究已經(jīng)成為數(shù)學(xué)教學(xué)研究中的一個(gè)常用語(yǔ)，這說(shuō)明了新課程的相關(guān)理念已經(jīng)成為高中數(shù)學(xué)教師的一種自然意識(shí). 但有意思的是，數(shù)學(xué)探究這一概念對(duì)于很多同行而言，可能還停留在探索研究的理解上，對(duì)于《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（實(shí)驗(yàn)稿）提出的“圍繞某個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，自主探究、學(xué)習(xí)的過(guò)程”的表述，以及其他關(guān)于數(shù)學(xué)探究的文獻(xiàn)中的表述，卻沒(méi)有給予太多的重視與關(guān)注，因而導(dǎo)致了從課程改革到現(xiàn)在，數(shù)學(xué)探究還停留在相對(duì)較淺的層面，應(yīng)當(dāng)說(shuō)這是數(shù)學(xué)課程改革的一點(diǎn)不足. 從這個(gè)角度看，我們有必要對(duì)數(shù)學(xué)探究本身進(jìn)行探究.由于數(shù)學(xué)探究涉及多個(gè)層面，又由于篇幅所限，本文主要以數(shù)學(xué)探究中的問(wèn)題呈現(xiàn)為例談?wù)劰P者的看法，對(duì)于其他層面則做附帶性的簡(jiǎn)述.

[?] 數(shù)學(xué)探究中問(wèn)題呈現(xiàn)新思考

要深入理解數(shù)學(xué)探究，還是離不開(kāi)數(shù)學(xué)探究這一概念及其定義的，事實(shí)上對(duì)概念及定義缺少理解，也是產(chǎn)生對(duì)數(shù)學(xué)探究只有經(jīng)驗(yàn)性解讀的根本原因. 根據(jù)國(guó)內(nèi)高中數(shù)學(xué)同行及有關(guān)專家的研究，基于課程標(biāo)準(zhǔn)且更具針對(duì)性、科學(xué)性的定義是，“數(shù)學(xué)探究”指的是“學(xué)生圍繞某一個(gè)問(wèn)題情境，通過(guò)觀察分析數(shù)學(xué)事實(shí)，以提出有意義的數(shù)學(xué)問(wèn)題并解決問(wèn)題的過(guò)程”. 在這個(gè)過(guò)程中，“情境表述”即產(chǎn)生問(wèn)題的情境，以及“問(wèn)題表述”被提高到一個(gè)新的高度. 也就是說(shuō)，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，固然要重視探究過(guò)程的完成，但對(duì)于所探究的問(wèn)題如何得出，或者說(shuō)怎樣讓學(xué)生提出有意義的探究問(wèn)題，成為數(shù)學(xué)探究的一個(gè)重要施力點(diǎn).

這一點(diǎn)與常規(guī)情況下對(duì)數(shù)學(xué)探究的觀點(diǎn)是不一樣的，一般情況下我們認(rèn)為讓學(xué)生探究的數(shù)學(xué)問(wèn)題可以由教師提出（盡管實(shí)際教學(xué)中也是反對(duì)學(xué)生提出的，但總的來(lái)說(shuō)真正由學(xué)生提出的可探究問(wèn)題并不多），數(shù)學(xué)探究的重心在于探究過(guò)程. 而現(xiàn)在強(qiáng)調(diào)探究問(wèn)題的提出，是對(duì)數(shù)學(xué)探究基礎(chǔ)的重視與回歸，某種程度上講，具有愛(ài)因斯坦所說(shuō)的“提出一個(gè)問(wèn)題往往比解決一個(gè)問(wèn)題更重要”的含義. 事實(shí)上，如果我們暫時(shí)不談高考的要求（準(zhǔn)確地說(shuō)，是目前的高考中還沒(méi)有出現(xiàn)考查學(xué)生提出問(wèn)題能力的題型，因而沒(méi)有出現(xiàn)這種性質(zhì)的導(dǎo)向作用），我們就會(huì)更為客觀地發(fā)現(xiàn)提出問(wèn)題，對(duì)于高中學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有更為重要的作用. 曾經(jīng)有很多高中數(shù)學(xué)同行在論文中都提出一個(gè)觀點(diǎn)，就是當(dāng)學(xué)生有了提出問(wèn)題的意識(shí)之后，當(dāng)學(xué)生在某個(gè)知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)中有了問(wèn)題并得到解決之后，他們對(duì)相應(yīng)知識(shí)點(diǎn)的理解是超過(guò)單純的聽(tīng)的效果的，這也打消了研究問(wèn)題的提出會(huì)影響學(xué)習(xí)質(zhì)量的擔(dān)心.

那么，問(wèn)題不是由教師或課本提出，學(xué)生怎樣才能提出有意義的探究問(wèn)題呢？關(guān)于這一點(diǎn)，我們的共識(shí)是：不是簡(jiǎn)單地在陳述句前面加一個(gè)為什么，而應(yīng)該向?qū)W生提供合適的素材，讓學(xué)生在一定的情境中去提出問(wèn)題.

[?] 數(shù)學(xué)探究中問(wèn)題呈現(xiàn)再實(shí)踐

結(jié)合以上分析，我們?cè)诮虒W(xué)實(shí)踐中進(jìn)行了一些嘗試，這些嘗試有的是專題性質(zhì)的，也有的是穿插在日常的數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)中的. 現(xiàn)將實(shí)踐所得到的一些認(rèn)識(shí)形成文字，以與同行切磋.

首先，我們認(rèn)為要想讓學(xué)生提出有探究意義的問(wèn)題，必須有合適的素材.

這里所說(shuō)的“合適”，不完全是指合乎高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的需要，更指符合他們的興趣與求知需要. 興趣需要是不言而喻的，有了興趣才會(huì)有探究的動(dòng)力，而求知的需要?jiǎng)t更多的是一種認(rèn)知平衡的打破，亦即讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)已有知識(shí)的體系是不能解決新問(wèn)題的. 根據(jù)這一認(rèn)識(shí)，我們進(jìn)行了一些課例探究.

課例一：圖象與函數(shù). 在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，為了加強(qiáng)學(xué)生對(duì)函數(shù)的理解，必須讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到函數(shù)可以描述具體的圖形，認(rèn)識(shí)到函數(shù)是一種數(shù)學(xué)語(yǔ)言. 除了課本上提供的三角函數(shù)、曲線函數(shù)外，我們還可以將其拓展到數(shù)學(xué)發(fā)展史上的其他事例.

筆者在課例中向?qū)W生提供的是“阿基米得螺線”. 阿基米得螺線在數(shù)學(xué)發(fā)展史上具有重要地位，在生活中也有類似的情形，因此容易激起學(xué)生的興趣和求知欲.具體做法是，筆者首先讓學(xué)生自己去想象出一個(gè)阿基米得螺線，具體方法如下：

第一步，想象生活中盤(pán)狀蚊香；想象從螺絲的尖端看螺絲的螺紋. 教師也可以提供這些實(shí)物或投影片，以讓學(xué)生直觀感受，然后再讓學(xué)生回憶，以在大腦中形成良好的表象，以建立一定程度的形象思維.

第二步，想象一根可以繞固定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的長(zhǎng)桿在轉(zhuǎn)動(dòng)，然后一個(gè)小蟲(chóng)在桿上爬動(dòng)，想象整個(gè)過(guò)程中小蟲(chóng)爬出的軌跡. 對(duì)于某些想象能力差的學(xué)生，可以用圓規(guī)作為教具繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，用一個(gè)粉筆頭比作小蟲(chóng)在圓規(guī)上由內(nèi)向外爬，然后讓學(xué)生去想象小蟲(chóng)的運(yùn)動(dòng)軌跡.

第三步，介紹生活中其他例子，如螺絲身上的螺紋等.

有了這樣豐富的情境作為支撐，就可以引導(dǎo)學(xué)生去提出問(wèn)題：這樣美的曲線在生活中如此常見(jiàn)，引起了數(shù)學(xué)家的高度興趣，面對(duì)阿基米得螺線，你們有什么探究的欲望呢？我們的教學(xué)目的自然是讓學(xué)生想到用數(shù)學(xué)語(yǔ)言去描述數(shù)學(xué)事物，而這一問(wèn)題只可能產(chǎn)生于學(xué)生具有良好的數(shù)學(xué)意識(shí)，進(jìn)而我們又發(fā)現(xiàn)這種數(shù)學(xué)又來(lái)源于日常教學(xué)中的積累，因此每學(xué)習(xí)一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)，都需要跟學(xué)生強(qiáng)化數(shù)學(xué)語(yǔ)言的認(rèn)識(shí). 事實(shí)上，本課例并不完全在于要求學(xué)生能夠提出教師想要的問(wèn)題，關(guān)鍵是培養(yǎng)學(xué)生一種提問(wèn)的意識(shí)與能力，讓他們自己生成數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)源于數(shù)學(xué)事例中的意識(shí).

其次，要想讓學(xué)生提出有意義的探究問(wèn)題，教師應(yīng)當(dāng)向?qū)W生提供“原始問(wèn)題”.

原始問(wèn)題來(lái)源于首都師范大學(xué)邢紅軍教授的研究成果，數(shù)學(xué)作為物理的工具，與物理具有密不可分的關(guān)系. 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，利用物理現(xiàn)象提供產(chǎn)生數(shù)學(xué)探究問(wèn)題的土壤，可以讓數(shù)學(xué)探究變得更為真實(shí). 而且通過(guò)這種學(xué)科之間發(fā)生的聯(lián)系，可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)視野與對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí).

課例二：曲線方程. 曲線方程是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要知識(shí)，新課學(xué)習(xí)中其都是在不同階段呈現(xiàn)的，如何讓學(xué)生對(duì)曲線方程形成一個(gè)完整、統(tǒng)一的認(rèn)識(shí)呢？這是必須探究的一個(gè)問(wèn)題. 而且我們注意到，類似于這種問(wèn)題的探究，還有助于學(xué)生形成比較好的學(xué)習(xí)品質(zhì)，讓學(xué)生不僅得到一個(gè)良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，更能夠生成較好的學(xué)習(xí)方法.

我們向?qū)W生提供的原始問(wèn)題是這樣的：小明看到木匠師傅要得到一個(gè)特殊形狀的木板，就在一個(gè)平面內(nèi)確定了兩個(gè)固定點(diǎn)A、B，其用一根線系住兩個(gè)點(diǎn)，然后用鐵釘將這根線向外拉直至繃直. 這個(gè)時(shí)候如果你是木匠師傅，你想得到的是什么形狀的木板，你會(huì)怎么做？當(dāng)學(xué)生對(duì)這個(gè)問(wèn)題有了回答之后（預(yù)期答案是“畫(huà)出一個(gè)圖形”）；還可以引導(dǎo)學(xué)生生成“這個(gè)圖形會(huì)是什么形狀（預(yù)期答案是“橢圓”），可否用學(xué)過(guò)的知識(shí)來(lái)尋找曲線方程”等問(wèn)題. 尤其是在此基礎(chǔ)上，我們可以引導(dǎo)學(xué)生生成“今天研究圖形所用的曲線方程與已經(jīng)學(xué)過(guò)的哪些類似，有什么聯(lián)系，又有什么區(qū)別”等問(wèn)題. 這樣就可以將橢圓與雙曲線形成一個(gè)整體的認(rèn)識(shí)，從而將雙曲線和橢圓兩知識(shí)組塊合成一個(gè)，進(jìn)而增大學(xué)生的記憶容量.

分析這一過(guò)程，我們可以看到最初提出的情境并沒(méi)有明顯的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，有的只是一個(gè)生活情境，而這個(gè)情境中顯然又包含著數(shù)學(xué)知識(shí). 因此我們說(shuō)這樣的情境就是一個(gè)原始問(wèn)題的情境，利用這個(gè)情境讓學(xué)生生成問(wèn)題，可以培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)探究意識(shí). 事實(shí)上在教學(xué)實(shí)踐中，我們看到起初在呈現(xiàn)這種原始問(wèn)題時(shí)，學(xué)生往往無(wú)所適從，因?yàn)榱?xí)慣了常規(guī)探究問(wèn)題的學(xué)生不知道如何在這種原始事例中尋找數(shù)學(xué)知識(shí)，更加談不上產(chǎn)生數(shù)學(xué)探究的問(wèn)題了. 而經(jīng)過(guò)了多次這樣的訓(xùn)練之后，學(xué)生又很容易生成這樣的數(shù)學(xué)問(wèn)題與探究意識(shí). 這說(shuō)明通過(guò)原始問(wèn)題來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)探究問(wèn)題呈現(xiàn)的能力是有效的.

[?] 數(shù)學(xué)探究中問(wèn)題呈現(xiàn)再思考

作為數(shù)學(xué)探究的開(kāi)端，問(wèn)題的作用是不言而喻的，數(shù)學(xué)探究的價(jià)值在于探究環(huán)節(jié)本身，根據(jù)高中數(shù)學(xué)教學(xué)的國(guó)內(nèi)外比較研究結(jié)果，數(shù)學(xué)探究所包含的五個(gè)因素中，有兩個(gè)因素與問(wèn)題相關(guān). 因此從提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的角度來(lái)看，對(duì)于問(wèn)題呈現(xiàn)的研究?jī)r(jià)值也是顯而易見(jiàn)的. 我們要做的很大程度上是在應(yīng)試的壓力下，本著數(shù)學(xué)探究的本義去實(shí)施探究.

本文所說(shuō)的“合適的素材”與“原始問(wèn)題”，是數(shù)學(xué)探究問(wèn)題出生的良好土壤，既適合學(xué)生的認(rèn)知需要，也與生活關(guān)系密切. 分析與綜合、歸納與演繹、數(shù)學(xué)建模等思想均能在此過(guò)程中體現(xiàn)，因此根據(jù)合適的素材與原始問(wèn)題來(lái)研究數(shù)學(xué)探究的問(wèn)題呈現(xiàn)，是相對(duì)先進(jìn)的選擇.

當(dāng)然，由于客觀環(huán)境所限，由于研究眼光所限，筆者的研究還不能完全提示出數(shù)學(xué)探究中問(wèn)題呈現(xiàn)的規(guī)律，本文的闡述或許也有言難達(dá)意之處，從這個(gè)角度來(lái)看，還希望對(duì)此研究有興趣的同行提出寶貴意見(jiàn).