魏宏

摘 要：對初中階段的因式分解中學生易錯的類型進行了歸納總結，剖析了學生是錯的地方和原因，從而也剖析了因式分解的難點之處，并通過典型例題介紹了多種方法、技巧，從而幫助學生徹底掌握因式分解，形成方法的系統(tǒng)化、知識的網絡化，提高了學生的解題能力。

關鍵詞：因式分解；概念；錯誤；方法；步驟；注意

我們知道，多項式的因式分解是初等代數的重要內容之一，它是學好代數的鑰匙。那么，什么叫因式分解呢？把一個多項式化為幾個整式的積的形式，就叫做多項式的因式分解。而我們的學生經常把因式分解和整式乘法混淆起來。下面我就從學生對因式分解的“誤區(qū)”和正確因式分解的幾種方法、步驟來談一下我對因式分解的理解。

一、易犯錯誤

可能受小學數學的影響，不少學生在學習數學時，只追求解題，以為只要會計算，會解題才是學數學的“真本領”。再則數學學科的概念本身就抽象，所以他們認為，這么枯燥無味的數學概念學與不學是一個樣，沒有什么關系的。有了這種想法，致使他們在解題時往往容易出錯，因為他們不了解數學概念是解題的基礎，是數學推理的依據。如果沒有掌握概念而去解題，就如不拿鑰匙去開鎖一樣，只會胡搬亂套，結果導致錯誤百出。

◆錯誤之一：只進行了部分分解，結果沒有化成積的形式

例1-1：因式分解：a2-2ab+b2-1

錯解：原式=（a-b）2-1

分析：錯解的根本是在只把原式的部分進行了分解成積的形式，沒有將原整式化成積的形式。

◆錯誤之二：分解結果不徹底，還有因式可以分解

例1-2：因式分解：（x2+2）2-（2x+1）2

錯解：原式=（x2+2+2x+1）（x2+2-2x-1）

=（x2+2x+3）（x2-2x+1）

分析：上面的第二個因式（x2-2x+1）還可以因式分解為（x-1）2，至使分解不徹底。

◆錯誤之三：分解時因沒有看范圍而出錯

例1-3：在實數范圍內因式分解：a4-4

錯解：原式=（a2+2）（a2-2）

分析：因題目要求是在實數范圍內進行因式分解，因此對第二個因式還可以繼續(xù)再分解（a+■）（a-■）。

◆錯誤之四：分解時變形不恒等，與方程的變形混淆

例1-4：因式分解：■x2-xy+■y2

錯解：原式=x2-2xy+y2

=（x-y）2

分析：在因式分解時，將恒等式的變形與方程的變形混在一起，錯誤地將分數系數轉化為整系數，從而破壞了因式分解的恒等變形這個原則。

學生正確理解因式分解的概念，是學好因式分解的前提，如果對以上的四個經典“易錯題”能掌握，那么在解因式分解的習題時就能舉一反三，融會貫通。當然，理解了因式分解的概念以后，我們也一定要掌握因式分解的方法和步驟。

二、因式分解的方法

我們所做的因式分解的基本方法，一般有四種，即提取公因式、公式法、十字相乘法、分組分解法。它們既是四種方法也是我們分解因式的順序與步驟。但是，其實方法不止這幾種。現(xiàn)將我所做的幾種方法歸納如下：

1.提取公因式

我們把多項式中每一項都含有的相同因式，稱之為公因式。公因式是各項系數的最大公約數與相同字母的最低次冪的積。把公因式提取出來，叫做提取公因式。用提取公因式法分解因式的關鍵是正確求出公因式。公因式通常有這樣兩種情況：（1）公因式是單項式；（2）公因式是多項式。其中，單項式分次數為數字和字母兩種情況；多項式又分為相同項和可化為相同項的公因項。當公因式是單項式時，比較容易求得，如果是多項式時，要注意符號，并充分利用偶次冪、奇次冪的性質：即（b-a）2n=（a-b）2n，（b-a）2n+1=-（a-b）2n+1（n為正整數）。

例2-1：分解因式（a-b）2x+1-（a-c）（a-b）2x+2（b-a）2x（b-c）

解：原式=（a-b）2x+1-（a-c）（a-b）2x+2（b-a）2x（b-c）

=（a-b）2x[（a-b）-（a-c）+（b-c）]

=（a-b）2x（a-b-a+c+2b-2c）

=（a-b）2x（b-c）

在這里易錯的是公因式難找，有些是整體思想在內，學生容易混淆。

2.運用公式

因式分解中的公式法可謂是靈活多變，技巧性非常強。往往一道因式分解不止用一個公式。做此類題必須理清因式分解的多項式本身的特殊性。

常見的公式：

（1）a2-b2=（a-b）（a+b）

（2）a2±2ab+b2=（a±b）2

（3）a3±b3=（a±b）（a2±ab+b2）

靈活復雜一點的公式：

（1）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=（a+b+c）2

（2）a3±3a2b+3ab2±b3=（a±b）3

（3）a3+b3+c3-3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-ac-bc）

當a+b+c=0時，a3+b3+c3=3abc

利用公式法進行因式分解時，必須緊扣公式特點，結合給出的多項式，全面考慮，選擇合適的公式。

例2-2：（a+2b+c）3-（a+b）3-（b+c）3

解：原式=（a+2b+c）3+（-a-b）3+（-b-c）3

又∵（a+2b+c）+（-a-b）+（-b-c）=0

∴原式=3（a+2b+c）（-a-b）（-b-c）

=3（a+2b+c）（a+b）（b+c）

提取完公因式以后，要看式子本身的特殊性，如果是兩項的就 考慮用平方差或立方和、立方差公式；如果是三項的就考慮用完全平方公式。

3.十字相乘

十字相乘主要是針對不能用完全平方公式的二次三項式的，也就是多項式具備的特征往往是含三項。對于二次項系數為1的二次三項式分解時，形如：x2+px+q=（x+a）（x+b），其中p=a+b，q=ab。另外通過解題我們還可以發(fā)現(xiàn)，在x2+px+q=（x+a）（x+b）中，當q>0時，a、b兩數同號。若p>0，則a、b同正；若p<0，則a、b同負。當q<0時，a、b兩數異號。若p>0，則a、b中正數的絕對值較大；若p<0，則a、b中負數的絕對值較大。對于二次項系數不為1的二次三項式因式分解，其形式一般為：abx2+（ad+bc）x+cd=（ax+c）（bx+d）符號討論情況較復雜，這里就不再展開。但無論二次項系數為1還是不為1，十字相乘法對于二次三項式的因式分解是十分簡單而實用的方法。

例2-3：分解因式：x2+2（x+1）2+3（x2+x）

解：原式=x2+3x（x+1）+2（x+1）2

=（x+2x+2）（2x+1）

=（3x+2）（2x+1）

4.分組分解

如果一個多項式有四項或四項以上，且無公因式可提，一般應考慮分組分解法。分組分解的目的是為了提取公因式、應用公因式等。主要是為其他方法創(chuàng)造條件，以便達到分解因式的目的。分組分解法分組后應遵循三條原則：①組與組之間應有公因式可提；②組與組之間構成因式分解公式；③組與組之間可構成二次三項式的因式分解。分組過程中至于分多少組，每組有幾項都無關緊要，關鍵的是分組后能否繼續(xù)分解。不能分解的分組是合理的分組，必須重新分組。

例2-4：分解因式：4xy+x2-1+4y2

解：原式=（4xy+x2+4y2）-1

=（x+2y+1）（x+2y-1）

5.拆項和添項

在分解因式時，常要對多項式進行適當的變形，使其能分組分解。添項和拆項是兩種重要的變形技巧。所謂添項，就是在要分解的多項式中加上僅僅符號相反的兩項的和（實際上是加上0，并不改變原多項式的值），如把a4+4添上4a2+（-4a），得到a4+4=（a4+4a2+4）-4a2=（a2+2）2-（2a）2，從而可以將原多項式分解因式。拆項是把多項式中某一項拆成兩項或多項的代數和（相當于整式加法中合并同類項的逆運算），再通過適當分組，達到分解因式的目的。

例2-5：分解因式x4+4x+3

解：原式=x4-1+1+4x+3

=（x2+1）（x+1）（x-1）+4（x+1）

=（x+1）（x3-x2+x-1+4）

=（x+1）（x3-x2+x+3）

=（x+1）（x3-x2-2x2-2x+3x+3）

=（x+1）[x2（x+1）-2x（x+1）+3（x+1）]

=（x+1）2（x2-2x+3）

6.換元法

有些復雜的多項式，如果把其中某些部分看作一個整體，用一個新的字母代替（即換元）不僅使原式得到簡化，而且能使式子的特點更加明顯，這樣先進行換元，再將含“新字母”的多項式分解因式，最后將“新字母”用原換的式子代回去，得到原多項式的因式分解結果。這種方法就是因式分解中的換元法，或者說是換元法在因式分解中的應用。

例2-6：（a+b）3+2ab（1-a-b）-1

解：原式=（a+b）3+2ab[1-（a+b）]-1

令a+b=x ab=y

則原式=x3+2y·（1-x）-1

=x3+2y-2xy-1

=（x3-1）-2y（x-1）

=（x-1）（x2+x+1-2y）

=（a+b-1）[（a+b）2+（a+b）+1-2ab]

=（a+b-1）（a2+b2+a+b+1）

7.待定系數法

有的多項式雖不能直接分解因式，但可由式子的最高次數與系數的特點斷定其分解結果的因式形式。如只含一個字母的三次多項式分解的結果可能是一個一次二項式乘以一個二次三項式，也可能是三個一次因式的積。于是，我們可以先假設要分解因式的多項式等于幾個因式的積，再根據恒等式的性質列出方程（組），進而確定其中的系數，得到分解結果，這種方法就稱為待定系數法。

用待定系數法分解因式時需要利用恒等式的如下重要性質：

如果anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0≡bnxn+bn-1xn-1+…+b1x+b0，那么，an=bn，an-1=bn-1，…a1=b1，a0=b0，即恒等式同次項的對應系數一定相等。這里，“≡”表示“恒等于”，即對于任何x的值，等式左邊的值都等于右邊的值。

例2-7：分解因式6x2+xy-2y2+2x-8y-8

分析：要分解的式子是二元二次多項式，且二次項

6x2+xy-2y2=（3x+2y）（2x-y），從而可斷定原式分解的結果形式為（3x+2y+a）（2x-y+b），于是可用待定系數發(fā)分解。

解：設原式=（3x+2y+a）（2x-y+b），將右邊展開得6x2+xy-2y2+2x-8y-8=6x2+xy-2y2+（2a+3b）x+（-a+2b）y+ab，由恒等式的性質，比較兩邊的系數，得到

2a+3b=2 ①

-a+2b=-8 ②

ab=-8 ③

由①②可解得a=4，b=-2。將a=4，b=-2代入③，③也成立。

所以原式=（3x+2y+4）（2x-y-2）。

8.利用因式定理分解

因式定理：如果x=a時，多項式anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的值為0，那么x-a是該多項式的一個因式。

對于系數全部是整數的多項式anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0，如果x=■（p，q是互質的整數）時，該多項式的值為0，也就是x-■是該多項式的一個因式時，一定有p是an的約數，q是a0的約數。

對于an=1的特殊系數多項式（即系數全部是整數的多項式），如果x-q是它的一個因式，那么，q一定是常數項的約數。

有了上述定理，我們可以通過分解整系數多項式的最高次項系數和最低次項系數的因數，組成一些分數，并逐個試驗，找出整系數多項式的一個或幾個因式，然后再用多項式除以多項式的辦法逐步分解。

例2-8：分解因式：x4+2x3-9x2-2x+8

分析：本題可以用拆項分組或待定系數法分解，也可利用因式定理分解。因為首項系數為1，常數項為8，8的約數有±1，±2，±3，±4，所以，如果原多項式有因式x-a，那么a的可能取值在這8個數中，通過逐個代入檢驗，即可找出使原多項式值為0的因數。

解：因為8的約數有±1，±2，±3，±4，逐個代入原多項式求值，解得x=1，-1，2，-4時，原多項式的值都為零。這說明x-1，x+1，

x-2，x+4都是原多項式的因式。

又由于原多項式的次數是4，最高次項的系數是1，所以，原式=（x-1）（x+1）（x-2）（x+4）

說明：如果一元多項式中各項的系數和為0，那么，x-1是這個多項式的因式；如果一元多項式中所有奇次項系數的和等于所以偶次項系數的和，那么，x+1是這個多項式的因式。本題可由這個結論求得原式有因式（x-1）（x+1）。

例2-9：分解因式：7x4+20x3+11x2+40x-6

解：因為原式中最高次項的系數為7，它的約數有±1，±7；常數項為-6，它的約數有±1，±2，±3，±6。如果x-■是多項式的因式，那么，■的值只可能是±1、±2、±3、±6、±■、±■、±■、±■。

將上述各可能值代入原多項式的x，可得x=-3和x=■時，原多項式的值為0。由因式定理知（x+3）（x-■）是原多項式的因式，從而（x+3）（7x-1）也是原多項式的因式。

下面用多項式除以多項式的辦法求出其余的因式。

因為（x+3）（7x-1）=7x2+20x-3，由：

■

所以，原式=（x+3）（7x-1）（x2+2）。

說明：在試驗出x+3是原多項式的因式時，即可用原多項式除以x+3，得出商式后再分解。

三、因式分解的一般步驟

1.如果多項式的各項有公因式的，那么，先提公因式；

2.如果各項沒有公因式的，那么，可以嘗試運用公式、十字相乘來分解；

3.如果用上述方法都不能分解，那么，可以嘗試用分組分解、拆項和添項的方法來分解；

4.分解因式，必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止。

也可以用一句話來概括：“先看有無公因式，再看能否套公式，十字相乘試一試，分組分解要合適?！?/p>

四、注意點

因式分解中的四個注意點，可用四句話概括如下：首項有負常提負，各項有“公”先提“公”，某項提出莫漏1，括號里面分到“底”。

由此可見，因式分解中的四個注意貫穿于因式分解的基本方法中，與因式分解的步驟的四句話“先看有無公因式，再看能否套公式，十字相乘試一試，分組分解要合適”等式一脈相承的。

（作者單位 江蘇省常熟市莫城中學）