李志勤

整體思想是一種著眼于問題的整體結(jié)構(gòu)，以統(tǒng)攝的方法抓住問題的全貌或本質(zhì)的思想.由于數(shù)列本身就是一個特殊的整體，所以運用整體思想解數(shù)列問題，具有決定全局的重大意義，它使問題的解決進(jìn)入到了一種無可比擬的勝境.

一、整體代入

把已知條件作為一個整體，直接代入或組合后代入所求的結(jié)論.

例1 （肇慶市2013屆高三上學(xué)期期末）等比數(shù)列{an}中，a1+a2=20，a3+a4=40，則a5+a6等于 .

解析：a1+a1q=20a1q2+a1q3=40q2=2，a5+a6=a1q4+a1q5=q2（a1q2+a1q3）=80.

點評：本題的求解始終利用整體思想進(jìn)行求解，根據(jù)前兩項整體相除得到q2，再求解a5+a6時，把a1q2+a1q3看作一個整體，使得問題計算起來簡單化.

例2 設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若a6a4=711，則S11S7等于 .

解析：因為a1+a11=2a6，a1+a7=2a4，所以S11S7=11（a1+a11）27（a1+a7）2=11a67a4=11×77×11=1.

點評：本題求解利用等差數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合整體代入思想進(jìn)行求解.

二、整體求解

把所求的結(jié)論作為一個整體，由已知條件變形或計算便得.

例3 （2013寶山區(qū)2012學(xué)年第一學(xué)期期末）若數(shù)列{an}的通項公式是an=3-n+（-2）-n+1，則a1+a2+…+an= .

解析：因為a1+…+an=[13+（13）2+…+（13）n]+[1+（-12）+（-12）2+…+（-12）n-1]

=13（1-（13）n）1-13+1-（-12）n1-（-12）

=12-12（13）n+23-23（-12）n，

點評：在求解數(shù)列的和時，需要把數(shù)列分成兩組數(shù)列，利用整體思想，分別構(gòu)成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的求和公式求得結(jié)果.

三、整體轉(zhuǎn)化

把求解的過程作為一個整體，寓整體于轉(zhuǎn)化之中.

例4 （潮州市2013屆高三上學(xué)期期末）等比數(shù)列{an}中a1=512，公比q=-12，記∏n=a1×a2×…×an（即∏n表示數(shù)列{an}的前n項之積），∏8，∏9，∏10，∏11中值為正數(shù)的個數(shù)是 .

解析：等比數(shù)列{an}中a1>0，公比q<0，故奇數(shù)項為正數(shù)，偶數(shù)項為負(fù)數(shù).

∴∏11<0，∏10<0，∏9>0，∏8>0.

點評：解決本題需要根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)與已知條件，奇數(shù)項是負(fù)值，偶數(shù)項是正數(shù)，再結(jié)合∏n的新定義，確定數(shù)列的項數(shù)從而解決問題.

四、整體換元

把陌生的或復(fù)雜的式子進(jìn)行整體換元，這是一種化生為熟、以簡馭繁的解題策略.

例5 （上海金山區(qū)2013屆高三一模）已知數(shù)列{an}滿足a1=-67，1+a1+a2+…+an-λan+1=0（其中λ≠0且λ≠-1，n∈N*）.求數(shù)列{an}的通項公式an；

解：由題意1+a1+a2+…+an-λan+1=0，可得：

1+a1+a2+…+an-1-λan=0（n≥2），所以有

（1+λ）an-λan+1=0（n≥2），又λ≠0，λ≠-1，

得到：an+1=1+λλan（n≥2），故數(shù)列{an}從第二項起是等比數(shù)列.

又因為a2=17λ，所以n≥2時，an=17λ（1+λλ）n-2

所以數(shù)列{an}的通項an=-67n=1，17λ（1+λλ）n-2n≥2.

點評：解決本題的關(guān)鍵是利用整體換元的思想，根據(jù)已知條件得到相鄰項的代數(shù)式，兩式相減即可得到數(shù)列的規(guī)律，再利用等比數(shù)列的定義求得通項公式.

五、整體構(gòu)造

把局部構(gòu)造成一個整體，這是在整體中求發(fā)展的一大創(chuàng)舉.

例6 已知函數(shù)f（n）=n2（當(dāng)n是奇數(shù)時）

-n2（當(dāng)n是偶數(shù)時），且an=f（n）+f（n+1），則a1+a2+a3+…+a2014= .

解析：本題考查數(shù)列的通項公式的求法和前n項和的求法，需注意對通項公式和問題靈活變形.當(dāng)n為奇數(shù)時，an=f（n）+f（n+1）=n2-（n+1）2=-2n-1，

當(dāng)n為偶數(shù)時，an=f（n）+f（n+1）=-n2+（n+1）2=2n+1，所以an=（-1）n（2n+1），

∴an+an+1=2（n是奇數(shù)）

∴a1+a2+a3+…+a2014=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2013+a2014）=2+2+2+…+2=2014

點評：本題的求解還是體現(xiàn)了解決問題的整體思想，先通過研究數(shù)列奇數(shù)項與偶數(shù)項的通項公式，利用相鄰兩項的和是定值，利用整體思想解決問題.

跟蹤訓(xùn)練題：

1.等差數(shù)列{an}中，如果a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，數(shù)列{an}前9項的和為 .

2.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn且滿足S15>0，S16<0，則S1a1，S2a2，…，S15a15中最大的項為 .

3.在數(shù)1和100之間插入n個實數(shù)，使得這n+2個數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這n+2個數(shù)的乘積記作Tn，再令an=lgTn，n≥1.則數(shù)列{an}的前n項和Sn= .

4.在等差數(shù)列{an}中，前n項和為Sn，且S2013=-2013，a1006=3，則S2012= .

5.等差數(shù)列{an}的通項公式是an=1-2n，其前n項和為Sn，則數(shù)列{Snn}的前10項和為 .

參考答案

1.【解析】 由a1+a4+a7=39，得3a4=39，a4=13.由a3+a6+a9=27，得3a6=27，a6=9.所以S9=9（a1+a9）2=9（a4+a6）2=9×（13+9）2=9×11=99.

2.【解析】 由S15=15（a1+a15）2=15a8>0，得a8>0.由S16=16（a1+a16）2=8（a9+a8）<0，得a9+a8<0，所以a9<0，且d<0.所以數(shù)列{an}為遞減的數(shù)列.所以a1，…，a8為正，a9，…，an為負(fù)，且S1，…，S15>0，S16，…，Sn<0，則S1a1>0，S2a2>0，…，S8a8>0，S9a9<0，S10a10<0，….又S8>S1，a1>a8，所以S8a8>S1a1>0，同理可得S8a8>Snan（n∈N*，n≤7），所以最大的項為S8a8.

3.【解析】 設(shè)l1，l2，…，ln+2構(gòu)成等比數(shù)列，其中t1=1，tn+2=100，則

Tn=t1·t2·…·tn+1·tn+2， ①

Tn=tn+2·tn+1·…·t2·t1， ②

①×②并利用titn+3-i=t1tn+2=102（1≤i≤n+2），得

T2n=（t1tn+2）·（t2tn+1）·…·（tn+1t2）·（tn+2t1）=102（n+2），

∴an=lgTn=n+2，n≥1.

所以Sn=n（n+5）2.

4.【解析】 因為S2013=2013（a1+a2013）2=2013a1007=-2013，所以a1007=-1.

又a1006=3，故S2012=2012（a1+a2012）2=1006（a1006+a1007）=1006×（3-1）=2012.

5.【解析】 由等差數(shù)列{an}的通項公式得a1=-1，所以其前n項和Sn=n（a1+an）2=n（-1+1-2n）2=-n2.則Snn=-n.所以數(shù)列{Snn}是首項為-1，公差為-1的等差數(shù)列，所以其前10項的和為S10=10×（-1）+10×92×（-1）=-55.