史立霞

填空題是將一個(gè)數(shù)學(xué)命題寫成缺少一些詞語的形式，要求考生將缺少的詞語填寫在指定的空位上，使之成為一個(gè)完整正確的數(shù)學(xué)命題.而填空題中的特色題形式靈活、答案唯一、考查基本知識和基本能力，解題過程中容易產(chǎn)生錯(cuò)誤，失分率較高，因此探求填空題中的特色題的解法就顯得十分必要，下面結(jié)合例題介紹填空題中的特色題的常見類型及其方法，供大家參考.

一、新定義問題

就是給出新定義的概念、公式、定理或運(yùn)算法則等，然后根據(jù)新定義解決相關(guān)問題.解決此類問題的方法是弄清新定義的意義，應(yīng)用新定義，根據(jù)題意將問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉和已掌握的知識解決.

例1 開區(qū)間也可以稱為鄰域：對于任何實(shí)數(shù)a及正數(shù)ε，把開區(qū)間（a-ε，a+ε）稱為a的ε鄰域.可用符號O（a，ε）表示.試用新符號寫出同時(shí)包含于兩個(gè)鄰域O（0，1）與O（-1，1）中的一個(gè)鄰域 （只要寫出一個(gè)即可）

解析：根據(jù)題意，可以考慮對鄰域概念進(jìn)行模仿寫出O（0，1）和O（-1，1）.因?yàn)镺（0，1）=（-1，1），O（-1，1）=（-2，0），所以O(shè)（0，1）∩O（-1，1）=（-1，0）.令a-ε=-1，a+ε=0.解得a=-12，ε=12..故可取鄰域O（-12，12）.

答案：O（-12，12）.

評注：對一個(gè)新概念的現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用，有點(diǎn)即興發(fā)揮的味道，這類問題只需要我們抓住新概念的本質(zhì)，進(jìn)行基本的模仿和應(yīng)用就可得出結(jié)果.

二、歸納類比問題

歸納類比問題就是根據(jù)兩個(gè)或兩類對象有部分屬性相同（近），從而推出它們的其他屬性也相同（近）的推理問題.它是以關(guān)于兩個(gè)事物某些屬性相同的判斷為前提，推出兩個(gè)事物的其他屬性相同的結(jié)論的推理問題.

例2 在平面幾何里有勾股定理：“設(shè)△ABC中，∠ACB=90°，AB2=AC2+BC2.”拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側(cè)面積與底面積之間的關(guān)系，可以得到的結(jié)論是： .

解析：類比條件（平面→空間、結(jié)構(gòu)的相似性、邊長→面積）：兩邊AC、BC互相垂直邊垂直→面垂直平面→空間側(cè)面ABC、ACD、ADB互相垂直；結(jié)論：AB2=AC2+BC2邊長→面積結(jié)構(gòu)的相似性S2△ABC+S2△ACD+S2△ADB=S2△BCD.因此，猜想的正確結(jié)論是：“設(shè)三棱錐ABCD的三個(gè)側(cè)面ABC、ACD、ADB兩兩互相垂直，則S2△ABC+S2△ACD+S2△ADB=S2△BCD.”

證明：如圖所示，作AO⊥平面BCD于點(diǎn)O，由三個(gè)側(cè)面兩兩互相垂直，可得三側(cè)棱AB、AC、AD兩兩互相垂直，故O為△BCD的垂心.在Rt△DAE中，AO⊥DE，有AE2=EO·ED，得S2△ABC=14BC2·AE2=（12BC·EO）（12BC·ED）=S△BCD·S△OBC.同理S2△ACD=S△BCD·S△OCD，S2△ADB=S△BCD·S△OBD.故S2△ABC+S2△ACD+S2△ADB=S2△BCD.

答案：設(shè)三棱錐ABCD的三個(gè)側(cè)面ABC、ACD、ADB兩兩互相垂直，則S2△ABC+S2△ACD+S2△ADB=S2△BCD.

評注：此類問題要求我們能夠?qū)σ呀?jīng)掌握的數(shù)學(xué)知識和方法與要解決的問題進(jìn)行類比，因此，對歸納、猜想、推廣和創(chuàng)新的能力要求較高.

三、多選填空題

就是給出多個(gè)對象，根據(jù)題目要求對每個(gè)對象判斷其真假，然后填寫滿足題意要求的對象的序號.

例3 設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，如果對于任何一個(gè)x1∈D，都有唯一的x2∈D和它對應(yīng)，并使f（x1）+f（x2）2=C（C為常數(shù)）成立，則稱函數(shù)y=f（x）在D上的均值為C.給出下列四個(gè)函數(shù)：①y=x3；②y=4sinx；③y=lgx；④y=2x，則滿足在定義域上均值為2的函數(shù)是 （把滿足題意的所有函數(shù)的序號都填上）.

解析：首先弄清函數(shù)y=f（x）在D上的均值為C的意義，根據(jù)f（x1）+f（x2）2=C，進(jìn)行驗(yàn)證.

①由于y=x3，對任意一個(gè)x1∈R，都有x31+x322=2，則x32=4-x31.由于y=x3為R上的單調(diào)函數(shù)，所以x2=34-x31存在且唯一.故滿足題意.

②對于y=4sinx，對任意一個(gè)x1∈R，都有4sinx1+4sinx2=4，即sinx2=1-sinx1.而1-sinx1∈[0，2]，sinx2∈[-1，1].若sinx2∈[-1，0），顯然不滿足題意.如x1=-π2∈D，此時(shí)sinx2=1-sin（-π2）=2，這樣的x2不存在，故y=4sinx不滿足題意.

③對于y=lgx，對任意一個(gè)x1∈（0，+∞），都有l(wèi)gx1+lgx2=4，則x1x2=104.所以x2=104x1∈（0，+∞）存在且唯一.故滿足題意.

④對于y=2x，事實(shí)上，對于x1>2，有2x1>4，此時(shí)若2x1+2x2=4成立，則2x2=4-2x1<0，這與2x2>0矛盾.從而y=2x不滿足題意.

綜上所述，滿足題意的為①和③.故填①③.

答案：①③.

評注：組合型填空題，可根據(jù)組合的特點(diǎn)，逐個(gè)驗(yàn)證，篩選正確答案、排除錯(cuò)誤的答案，從而得到正確的結(jié)果.

四、圖表題

給出表格、柱形圖、折線圖、直方圖、函數(shù)圖象等，通過對圖表的觀察、分析，挖掘出圖表給予的解題信息，然后經(jīng)過計(jì)算、推理得到結(jié)果.

例4 將正偶數(shù)按下表排成五列，每行有4個(gè)偶數(shù)的蛇行數(shù)列（規(guī)律如表所示），則數(shù)字2012在第 行，第 列.

第1列第2列第3列第4列第5列

第1行2468

第2行16141210

第3行18202224

第4行32302826

……

解析：因?yàn)閿?shù)字2012為第1006個(gè)（從小到大排列）偶數(shù)，而1006=251×4+2，所以2012應(yīng)是第252行第2個(gè)偶數(shù).由表可知，偶數(shù)行的第5列為空位，不排數(shù)字，且從第1列到第4列，數(shù)字是由大到小排列的，又第252行是偶數(shù)行，該行的最小偶數(shù)應(yīng)排在第4列，故2012在第252行，第3列，因此填252；3.

答案：252；3.

評注：解決這類問題的方法是仔細(xì)閱讀圖表，弄清題意，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，使所給問題得到解決.

五、條件開放題

條件開放題，就是給出問題的結(jié)論，但沒有給出或部分給出題目的條件，要求給出或補(bǔ)充使問題結(jié)論成立的條件.解這類題采取的策略是執(zhí)果索因，首先要從結(jié)論出發(fā)，考慮結(jié)論成立時(shí)所要滿足的條件，從而得到答案.

例5 已知平面α，β和直線m，給出條件：①m∥α；②m⊥α；③mα；④α⊥β；⑤α∥β.

（1）當(dāng)滿足條件 時(shí)，有m∥β；

（2）當(dāng)滿足條件 時(shí)，有m⊥β（填所選條件的序號）.

解析：要找m∥β，m⊥β成立的條件，由題意可知，不能按常規(guī)的線面平行與垂直的判定定理，可用面面平行的性質(zhì).有面面平行的性質(zhì)可知mα，α∥βm∥β.α∥β，m⊥αm⊥β.故（1）填③⑤；（2）填②⑤.

答案：（1）③⑤；（2）②⑤.

評注：雖然本題只用面面平行的性質(zhì)解決，但要想找到“條件”，必須掌握空間的線面關(guān)系及面面關(guān)系的判定和性質(zhì)，并能靈活運(yùn)用.解這類題采取的策略與常規(guī)的解答題不同，它是從結(jié)論出發(fā)，考慮結(jié)論成立時(shí)所要滿足的條件，再結(jié)合圖形及其性質(zhì)逆向推導(dǎo)，尋找出所求條件，因此解題難度較大，希望引起大家的注意.

六、結(jié)論開放題

結(jié)論開放題，這類問題的基本特征是給出條件而無結(jié)論或結(jié)論的正確與否需要確定.解這類問題通常先假定其結(jié)論存在，再進(jìn)行計(jì)算、推理，從而得出滿足題意的結(jié)論.

例6 老師給出一個(gè)函數(shù)f（x），甲、乙、丙、丁四位同學(xué)分別對其給出下列四個(gè)性質(zhì)：

（1）對定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x1、x2，有f（x1x2）=f（x1）+f（x2）；

（2）對定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x1、x2，有f（x1+x2）=f（x1）·f（x2）；

（3）對定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x1、x2（x1≠x2），有f（x1）-f（x2）x1-x2>0恒成立；

（4）對定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x1、x2，有f（x1+x22）>f（x1）+f（x2）2>0恒成立.

現(xiàn)已知有且僅有三人回答正確，請寫出一個(gè)滿足條件的函數(shù)f（x）= .

解析：由于有且僅有三人回答正確，所以（1）、（2）中必有一個(gè)性質(zhì)成立，所以需要找相應(yīng)的函數(shù)模型，我們可以在f（x）=logax與f（x）=ax中選擇，下面就是驗(yàn)證（3）（4）兩個(gè)條件了.

對（1）可知f（x）=logax滿足；對（2）f（x）=ax滿足；對（3）可知f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，由此可知a>1；對（4），由圖象的性質(zhì)可知f（x）=logax（a>1）滿足.所以f（x）可以是f（x）=logax（a>1）.

答案：logax（a>1）.

評注：本題是函數(shù)類結(jié)論開放題，解題時(shí)，要根據(jù)函數(shù)性質(zhì)猜想、歸納，再對不同情況進(jìn)行討論驗(yàn)證，最后得出結(jié)果.

七、組建新命題

就是在所給對象中，選取部分為條件，部分為結(jié)論，構(gòu)造正確命題的填空題.解題時(shí)往往聯(lián)系所學(xué)知識和結(jié)論，合理“搭配”相關(guān)對象，組合出條件和結(jié)論.

例7 α、β是兩個(gè)不同平面，m、n是平面α及β外的兩條不同直線，給出四個(gè)論斷：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題 .

解析：因?yàn)棣痢挺?，在α?nèi)存在一條與β垂直的直線，設(shè)為l.由于n⊥β，所以n∥l.又因?yàn)閙⊥α，從而m⊥l.這樣m⊥n.因此由②③④作為條件可推出①成立.

同樣根據(jù)面面垂直的判定定理、線面垂直的性質(zhì)定理、平行線的性質(zhì)可知，①③④作為條件，可推出②成立.

答案：α⊥β，n⊥β，m⊥αm⊥n或m⊥n，n⊥β，m⊥αα⊥β.

評注：本題有四種可能，要求在四個(gè)命題中選出一個(gè)正確命題，也就是說，四個(gè)命題中有可能有假命題，因此，不能隨便在四個(gè)命題中選出一個(gè)作為答案，正確的做法是先進(jìn)行論證，然后選出正確命題.

八、應(yīng)用題

以現(xiàn)實(shí)生活為背景，編制應(yīng)用型填空題，考察運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力.解決這類問題的方法是根據(jù)題意建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)思想方法解決.

例8 某小區(qū)現(xiàn)有住房的面積為am2，在改造過程中政府決定每年拆除bm2舊住房，同時(shí)按當(dāng)年住房面積的10%建設(shè)新住房，則n年后該小區(qū)的住房面積為 .

解析：根據(jù)題意，得an+1=an×1.1-b.用待定系數(shù)法將數(shù)列轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列：設(shè)an+1+A=（an+A）×1.1，則A=-10b.所以數(shù)列{an-10b}是首項(xiàng)為a-10b，公比為1.1的等比數(shù)列.因此an-10b=（a-10b）×1.1n，所以an=1.1na-10（1.1n-1）b.

答案：1.1na-10（1.1n-1）b.

評注：本題的解題關(guān)鍵是利用其等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題.這是一個(gè)有時(shí)代背景和現(xiàn)實(shí)意義的實(shí)際問題，是大家熟悉的知識環(huán)境，轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題后用基本方法解決也是大家掌握的基本數(shù)學(xué)思想.

九、猜想題

就是給我們?nèi)舾蓚€(gè)特殊的代數(shù)式、等式、不等式、函數(shù)表達(dá)式、圖形等，然后根據(jù)提供的信息歸納、猜想出滿足題目要求的規(guī)律.

例9 觀察下列不等式：1>12，1+12+13>1，1+12+13+…+17>32，1+12+13+…+115>2，1+12+13+…+131>52，….由此猜想第n個(gè)不等式為 .

解析：分析不等式左邊的項(xiàng)數(shù)與“序號”、不等式左邊最后一個(gè)數(shù)的分母與“序號”、不等式右邊與“序號”的關(guān)系，然后歸納出第n個(gè)不等式.

不等式項(xiàng)數(shù)依次為1，3，7，15，31，…，這與相應(yīng)不等式最后一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母一致，因此猜想：第n個(gè)不等式的最后一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母為2n-1，故第n個(gè)不等式為1+12+13+…+12n-1>n2.

答案：1+12+13+…+12n-1>n2.

評注：猜想規(guī)律填空題涉及的數(shù)學(xué)知識較多，技巧性強(qiáng)，沒有現(xiàn)成的解題套路，因此，要求我們首先要弄清題意，理清解題思路，通過合情合理地推理，把直覺發(fā)現(xiàn)與邏輯推理相結(jié)合，然后歸納出結(jié)果.

解填空題的要求是正確、合理、迅速.填空題的結(jié)構(gòu)及其解法較特殊，求解時(shí)不要求反映過程，因此解填空題要充分利用題目提供的信息，通過認(rèn)真的觀察、分析，發(fā)現(xiàn)其潛在的暗示信息，“小題小做”，利用直接求解法、圖象法和特殊化法，“合情”推理，迅速作出解答.