在解題中有時我們會覺得似乎條件不足，從而使解題陷入困境，其實此時恰恰是同學們研究學習的開始.若在學習過程中能把握這一特殊的現(xiàn)象，適時地開展研究性學習，在問題中尋找方法感悟新知，定能擺脫困境提高思維能力.筆者從下面幾個方面淺談研究性學習的展開.

一、特殊性研究

有些問題的提出，按常規(guī)思路來解決似乎不太可能，而此時正是包含了問題的特殊性.若我們能從問題的特殊角度加以研究，消除一些思維定勢，定能開辟出新的解題思路.

例1 已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a7=5，求S13.

分析：（1）此題的一般解法是：設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，因為a7=5，所以有a1+6d=5，此時要先求出a1和d的值，再求S13，顯然這里只有一個方程，要求兩個未知量的值是不可能的，似乎條件不足.

（2）要求S13，是否可以不求出a1和d？可仔細分析一下，a1+6d與S13是否存在某種特殊的聯(lián)系？此時：S13=13a1+13（13-1）2d=13a1+13×6d=13（a1+6d），因此有S13=65.

例2 若對一切實數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），則f（x）的奇偶性是 .

分析：（1）判斷函數(shù)的奇偶性的一般步驟：判斷定義域是否關(guān)于原點對稱→求f（-x）的解析式→比較f（-x）與f（x）的關(guān)系.對于本題，由于沒有給出函數(shù)具體的解析式，故無從下手去求f（-x）的解析式，似乎條件不足.

（2）要判斷函數(shù)的奇偶性，在定義域關(guān)于原點對稱的前提條件下，關(guān)鍵是判斷f（-x）與f（x）的關(guān)系，由題意對一切實數(shù)都滿足f（x+y）=f（x）+f（y），令x=y=0，則有

f（0）=f（0）+f（0），得f（0）=0.令y=-x，則有f（0）=f（x）+f（-x）=0，即f（-x）=-f（x），所以f（x）是R上的奇函數(shù).

（3）由對一切實數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），我們可以聯(lián)想我們熟悉的函數(shù)模型中是否有符合的，不難發(fā)現(xiàn)f（x）=kx（k≠0）滿足f（x+y）=f（x）+f（y），于是不難得出函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù).

二、深刻性研究

有些問題覺得條件不足是因為我們忽略了一些隱含的條件，對問題沒有進行深入的研究.若我們能對問題進行全面的分析和仔細的研究，挖掘出隱含的條件，一定能使問題得以解決.

例3 設(shè)3sin2α-cos2β=3，α，β∈[0，π2]，求α，β的值.

分析：已知一個條件等式，求兩個未知量，通常情況下是不容易求出來的，因而在條件等式中肯定隱含著某個不易察覺的限制關(guān)系，因此對等式進行變形得cos2β=3sin2α-3，由有界性cos2β≥0，可知3sin2α-3≥0，故sin2α≥1，再由正弦函數(shù)的有界性sin2α≤1，得sin2α=1，∴cosβ=0，∵α，β∈[0，π2]，∴α=π4，β=π2.

例4 在復平面的單位圓上，有把圓三等分的三點，它們分別對應復數(shù)Z1，Z2，Z3，試求

（Z1+Z2）（Z2+Z3）（Z3+Z1）Z1Z2Z3的值.

分析：此題因為缺少有效的等量關(guān)系的條件，故很難解決.而對于Z1，Z2，Z3這三個復數(shù)，它們所具備的條件是：它們的模等于1，它們對應的三點構(gòu)成正三角形，且三角形的中心在坐標原點，從而有：Z1+Z2+Z3=0，若抓住了這一條件，解題變得很自然了.

原式=（-Z1）（-Z2）（-Z3）Z1Z2Z3=-1

三、輔助性研究

有些問題我們可以根據(jù)題目的特點，附加一些條件，使它們起到中間變量的過渡作用，從而使問題得以解決.

例5 已知自然數(shù)x1，x2，x3，x4，x5，滿足x1+x2+x3+x4+x5=x1x2x3x4x5，求x5的最大值.

分析：此題粗看一下，似乎很難，仔細觀察一下發(fā)現(xiàn)，x1，x2，x3，x4，x5都是自然數(shù)，總有一個大小關(guān)系，所以可附加條件：x1≤x2≤x3≤x4≤x5，且不影響整個解題的過程.于是有：x1+x2+x3+x4+x5≤5x5，即x1x2x3x4x5≤5x5，那么x1x2x3x4≤5，因此有下列幾種可能：

（1）x1=x2=x3=x4=1，則x5+4=x5，顯然不成立；

（2）x1=x2=x3=1，x4=2，3，4，5，則相應地有5+x5=2x5，6+x5=3x5，

7+x5=4x5，8+x5=5x5，顯然有x5=5，3，2

（3）x1=x2=1，x4=x3=2，則6+x5=4x5，x5=2

因此有x5的最大值為5.

四、討論性研究

有些問題本身具有不確定性，不可能直接加以解決.這時需要我們對問題進行分類，在不同的條件下加以解決.

例6 數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足：a1=a（a≠0），an+1=rSn（n∈N*，r∈R，r≠-1）

（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；

（Ⅱ）若存在k∈N*，使得Sk+1，Sk，Sk+2成等差數(shù)列，試判斷對于任意的m∈N*，且m≥2，am+1，am，am+2是否成等差數(shù)列，并證明你的結(jié)論.

分析：本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識，同時考查推理論證能力，以及特殊與一般的思想.仔細推敲不難發(fā)現(xiàn)數(shù)列{an}的通項公式與r有關(guān)，因此在解題的過程中要對實數(shù)r進行分類討論，往往學生因考慮問題不夠全面而導致漏解.

解：（Ⅰ）由已知an+1=rSn可得an+2=rSn+1，兩式相減可得

an+2-an+1=r（Sn+1-Sn）=ran+1

即an+2=（r+1）an+1

又a2=ra1=ra，所以r=0時，

數(shù)列{an}為：a，0，…，0，…

當r≠0，r≠-1時，由已知a≠0，所以an≠0

于是由an+2=（r+1）an+1可得an+2an+1=r+1（n∈N*），

∴a2，a3，…，an，…成等比數(shù)列，

∴當n≥2時，an=r（r+1）n-2a

綜上，數(shù)列{an}的通項公式為

an=a，n=1r（r+1）n-2a，n≥2

（Ⅱ）對于任意的m∈N*，且m≥2，am+1，am，am+2成等差數(shù)列，證明如下：

當r=0時，由（Ⅰ）知，an=a，n=10，n≥2

∴對于任意的m∈N*，且m≥2，am+1，am，am+2成等差數(shù)列，

當r≠0，r≠-1時，

∵Sk+2=Sk+ak+1+ak+2，Sk+1=Sk+ak+1.

若存在k∈N*，使得Sk+1，Sk，Sk+2成等差數(shù)列，

則Sk+1+Sk+2=2Sk，

ak+2+2ak+1=0

對于任意的m∈N*，且m≥2，am+1=-2am，從而am+2=4am

∴am+1+am+2=2am，即am+1，am，am+2成等差數(shù)列，

綜上，對于任意的m∈N*，且m≥2，am+1，am，am+2成等差數(shù)列.

從上述的幾種情況我們可以看出，若在解題中感覺條件不足，使解題陷入困境，我們應該從問題的本身進行分析和思考，從特殊性、深刻性、輔助性三方面加以研究，然后再注意思維的開闊性，從討論和開放這兩方面進行研究.所以在解題中只要我們對發(fā)現(xiàn)的問題加以研究，一定能擺脫困境，走向成功.

（作者：丁稱興，江蘇省溧水高級中學）