數(shù)學(xué)歸納法是專門證明與正整數(shù)有關(guān)的命題的一種方法，它是一種完全歸納法，它的證明共分兩步，其中第一步是命題成立的基礎(chǔ)，稱為“歸納基礎(chǔ)”（或稱特殊性），第二步是遞推的證據(jù)，解決的是延續(xù)性問(wèn)題（又稱傳遞性問(wèn)題），運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)的問(wèn)題要注意以下幾點(diǎn)：（1）“兩個(gè)步驟，一個(gè)結(jié)論”缺一不可；（2）第二步中，證明“當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論正確”的過(guò)程中，必須利用“歸納假設(shè)”，即必須用上“當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論正確”這一條件，沒(méi)有運(yùn)用“歸納假設(shè)”的證明不是數(shù)學(xué)歸納法；（3）在第二步的證明中，“當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論正確”這一歸納假設(shè)起著已知的作用，“當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論正確”則是求證的目標(biāo)，在這一步中，一般首先要湊出歸納假設(shè)里給出的形式，以便于利用歸納假設(shè)，然后再湊出當(dāng)n=k+1時(shí)的結(jié)論．

其次要注意運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法從n=k到n=k+1的證明過(guò)程分析，在運(yùn)用歸納假設(shè)時(shí)，應(yīng)該分析由n=k到n=k+1的差異和聯(lián)系，利用拆、添、并、放、縮等手段，或從歸納假設(shè)出發(fā)，或從n=k+1時(shí)分離出n=k時(shí)的式子，再進(jìn)行局部調(diào)整，也可以考慮二者的結(jié)合點(diǎn)，以便于順利過(guò)渡．

知識(shí)點(diǎn)一：數(shù)學(xué)歸納法的原理和步驟

例1 用數(shù)學(xué)歸納法證明：如果{an}是等比數(shù)列，公比為q，則an=a1qn－1對(duì)于一切n∈N*都成立．

分析：本題可用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的命題，其表現(xiàn)形式特別體現(xiàn)了對(duì)數(shù)學(xué)歸納法原理和步驟的理解．

證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=a1，右邊=a1q0=a1等式成立；

（2）假設(shè)當(dāng)n=k等式成立，即ak=a1qk－1，

當(dāng)n=k+1時(shí)，ak+1=akq=a1qk－1·q=a1·q（k+1）－1，這就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立，由（1）（2）可以判斷，等式對(duì)一切n∈N*都成立．

點(diǎn)撥：可用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明的關(guān)于自然數(shù)n的恒等式，證明時(shí)兩步驟缺一不可，第一步必須驗(yàn)證，證明當(dāng)n=k+1時(shí)必須用假設(shè)n=k時(shí)成立的結(jié)論證明．

知識(shí)點(diǎn)二：數(shù)學(xué)歸納法中的“起點(diǎn)”問(wèn)題

例2 對(duì)一切n∈N*，試比較2n與n2的大?。?/p>

分析：本例可先用歸納推理設(shè)出猜想，再用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想，在用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，要注意2n與n2的大小關(guān)系只有在n≥5時(shí)才能穩(wěn)定下來(lái)，即可以尋找起點(diǎn)為n=5．

解析：當(dāng)n=1時(shí)，21>12，即2n>n2；

當(dāng)n=2時(shí)，21=22，即2n=n2；當(dāng)n=3時(shí)，23<32，即2n

當(dāng)n=4時(shí)，24=42，即2n=n2；當(dāng)n=5時(shí)，25>52，即2n>n2；

當(dāng)n=6時(shí)，26>62，即2n>n2；則猜想當(dāng)n≥5時(shí)，2n>n2；下面用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想成立

（1）當(dāng)n=5時(shí)，由上面可以知道猜想成立；

（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥5）時(shí)成立，即2k>k2，那么當(dāng)n=k+1時(shí)，2k+1=2·2k>2k2=k2+k2>k2+（2k+1）=（k+1）2，即當(dāng)n=k+1時(shí)猜想成立．

根據(jù)（1）（2）可以知道，當(dāng)n≥5，2n>n2都成立，所以n=2或4時(shí)，2n=n2；當(dāng)n=3時(shí)，2nn2．

點(diǎn)撥：在證明與正整數(shù)有關(guān)的命題時(shí)，主要側(cè)重考查“起點(diǎn)”是否為“1”這個(gè)易誤點(diǎn)．

知識(shí)點(diǎn)三：數(shù)學(xué)歸納法中的“跨度”問(wèn)題

例3 用數(shù)學(xué)歸納法證明：1－12+13－14+…+12n－1－12n=1n+1+1n+2+…+12n．

分析：本題是在與正整數(shù)有關(guān)的命題中，通?？梢愿淖僴在前若干項(xiàng)中的變化規(guī)律，在思維定式中設(shè)計(jì)易錯(cuò)點(diǎn)．

證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1－12=12，右邊=11+1=12，則等式成立；

（2）假設(shè)當(dāng)n=k等式成立，即1－12+13－14+…+12k－1－12k=1k+1+1k+2+…+12k，

則當(dāng)n=k+1時(shí)，

1－12+13－14+…+12k－1－12k+12k+1－12k+2=1k+1+1k+2+…+12k+12k+1－12k+2=1k+2+1k+3+…+12k+12k+1+（1k+1－12k+2）

=1k+2+1k+3+…+12k+12k+1+12k+2=1（k+1）+1+1（k+1）+2+…+1（k+1）+k+12（k+1），

則當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立．

根據(jù)（1）和（2），等式對(duì)于任意的n∈N*都成立．

點(diǎn)撥：在利用歸納假設(shè)時(shí)論證n=k+1時(shí)等式也成立時(shí)，應(yīng)該注意分析n=k和n=k+1時(shí)兩個(gè)等式的差別；n=k+1時(shí)等式左邊應(yīng)該增加兩項(xiàng)，右邊增加一項(xiàng)，所證等式的右邊第一項(xiàng)變?yōu)?k+2，因此在證明中，應(yīng)該把右式中的1k+1應(yīng)該與－12k+2合并，可以得到所證等式，因而 在論證之前，把n=k+1時(shí)等式的左右兩邊的結(jié)構(gòu)先作分析是有效的．

因此，在從n=k到n=k+1的步驟中，我們應(yīng)該要很好地架起橋梁，那么天塹一定變通途．

（作者：李秀蘭，張家港市第二中學(xué)）