本刊試題研究組

一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分

1．方程Cx28=C3x－828的解集為_____________

2．把4封不同的信投入3個不同的信箱，不同的投法種數(shù)共有_____________種

3．一個容量為30的樣本數(shù)據(jù)，分組后，組距與頻數(shù)如下：（10，20］，3；（20，30］，4；

（30，40］，5；（40，50］，8；（50，60］，6；（60，70］，4，則樣本在（40，70］上的頻率為_____________．

4．用偽代碼表示的一個算法如右框所示，如果輸入的x值是20，那么輸出的y值是_____________．

5． 在（x－2x）5的二項展開式中，x3的系數(shù)是_____________ ．（用數(shù)字作答）

6．已知（1－2x）6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6，則a2+a4+a6的值為_____________

7．某市教師基本功大賽七位評委為某選手打出分?jǐn)?shù)的莖葉圖如圖所示，去掉一個最高分和一個最低分后的5個數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為_____________．（莖表示十位數(shù)字，葉表示個位數(shù)字）

8．已知函數(shù)f（x）=log2x，在區(qū)間［12，2］上隨機(jī)取一x0，則使得f（x0）≥0的概率為_____________．

9． 隨機(jī)變量ξ的分布列如下：

其中a，b，c成等差數(shù)列，若期望E（ξ）=13，則方差V（ξ）的值是_____________．

10．袋中有4只紅球3只黑球，從袋中任取4只球，取到1只紅球得1分，取到1只黑球得3分，設(shè)得分為隨機(jī)變量ξ，則P（ξ≤7）=_____________．

11．4名男生3名女生排成一排，若3名女生中有2名站在一起，但3名女生不能全排在一起，則不同的排法種數(shù)有_____________

12．已知{an}是等差數(shù)列，設(shè)Tn=|a1|+|a2|+…+|an|（n∈N）．

某學(xué)生設(shè)計了一個求Tn的部分算法流程圖（如圖），圖中空白處理框中是用n的表達(dá)式對Tn賦值，則空白處理框中應(yīng)填_____________

13．在直角坐標(biāo)系xOy中，一個質(zhì)點沿x軸左右跳動，跳動的速率是每秒中一個單位．已知該質(zhì)點向左跳動的概率是13，向右跳動的概率是23.若質(zhì)點從原點開始跳動，則第6秒此質(zhì)點在點（－2，0）的概率為_____________

14．已知直線ax+by=1（a2+b2≠0）與圓x2+y2=50有公共點且公共點的橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)，那么這樣的直線共有_____________ 條

二、解答題：本大題共6小題，共計90分

15．（本題滿分14分）

若二項式（23x＋x）n的展開式中的常數(shù)項為第五項．

（1） 求n的值；

（2） 求展開式中系數(shù)最大的項．

16．（本題滿分14分）

某工廠三個車間共有工人1000名，各車間男、女工人數(shù)如下表：

若在全廠隨機(jī)抽取1名工人，則抽到第二車間男工的概率是0．15．

（1）求x的值；

（2）現(xiàn)用分層抽樣的方法在全廠抽取50名工人參加座談會，問應(yīng)在第三車間抽取多少名？

（3）設(shè)y≥185，z≥185，求第三車間中女工比男工少的概率．

17．（本題滿分15分）

設(shè)有編號為1，2，3，4，5的五個球和編號為1，2，3，4，5的五個盒子，現(xiàn)將這五個球放入5個盒子內(nèi)，

（1）若每個盒子都有球，但球的編號與盒子編號不全相同，有多少種投放方法？

（2）若恰有一個盒子空著，有多少種投放方法？

（3）若每個盒子內(nèi)投放一球，并且至少有2個球的編號與盒子編號是相同的，有多少種投放方法？

18．（本題滿分15分）

某品牌的汽車4S店，對最近100位采用分期付款的購車者進(jìn)行統(tǒng)計，統(tǒng)計結(jié)果如下表所示：

付款方式分1期分2期分3期分4期分5期

頻數(shù)4020a10b

已知分3期付款的頻率為0．2，4S店經(jīng)銷一輛該品牌的汽車，顧客分1期付款，其利潤為1萬元；分2期或3期付款，其利潤為1．5萬元；分4期或5期付款，其利潤為2萬元．用η表示經(jīng)銷一輛汽車的利潤．

（1）求上表中a，b的值；

（2）若以頻率作為概率，求事件A：“購買該品牌汽車的3位顧客中，至多有1位采用3期付款”的概率P（A）；

（3）求η的分布列及數(shù)學(xué)期望Eη．

19．（本題滿分16分）

某企業(yè)為打入國際市場，決定從A、B兩種產(chǎn)品中只選擇一種進(jìn)行投資生產(chǎn)．已知投資生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表：（單位：萬美元）

其中年固定成本與年生產(chǎn)的件數(shù)無關(guān)，m為常數(shù)，且3≤m≤8．另外，年銷售x件B產(chǎn)品時需上交0.05x2萬美元的特別關(guān)稅．

（1）寫出該廠分別投資生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的年利潤y1，y2與生產(chǎn)相應(yīng)產(chǎn)品的件數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系并指明其定義域；

（2）如何投資才可獲得最大年利潤．

20．（本題滿分16分）

（1）已知k，n∈N，k≤n，求證：kCkn=nCk－1n－1；

（2）若n∈N，n≥3，證明：∑nk=1k2Ckn=n（n+1）·2n－2；

（3）設(shè)數(shù)列a0，a1，a2，…是公差不為0的的等差數(shù)列，證明：對任意的正整數(shù)n，函數(shù)p（x）=a0C0n（1－x）n+a1C1nx（1－x）n－1+a2C2nx2（1－x）n－2+…anCnnxn是關(guān)于x的一次函數(shù)

參考答案

一、填空題

1． {4，9} 2． 81 3． 35 4． 150 5． －10 6． 3647． 2 8． 23 9． 59 10． 1335 11． 2880 12． n2－9n+40 13． 20243 14． 72

二、解答題

15．解：（1） ∵ Tr＋1＝Crn（23x）n－r（x）r

x的指數(shù)為－n-r3＋r2＝0，

∵ （23x+x）n的展開式中的常數(shù)項為第五項，∴ r＝4．

解得n＝10．

（2） ∵ Tr＋1＝Cr10（23x）10－r（x）r，其系數(shù)為Cr10·210－r．

設(shè)第k＋1項的系數(shù)最大，則Ck10·210-k≥Ck+110·29-k，

Ck10·210-k=Ck-110·211-k，（6分）

化簡得：2k+1≥10-k，11-k≥2k， 即83≤k≤113，∴ k＝3．

即第四項系數(shù)最大，T4＝C310·27·x－56＝15360x－56．

16． （1）150 （2）20 （3）古典概型1531

17．解：（1）考慮去雜法，A55－1=119（種）

∴滿足條件的放法數(shù)為：119（種）

（2）先取一個空盒，再將5球按 2，1，1，1分成4組，在分給4個盒子，

共C15C25C13C12C113！A44=1200（種）

∴滿足條件的放法數(shù)為：1200（種）

（3）滿足的情形：第一類，五個球的編號與盒子編號全同的放法：1種，

第二類，四個球的編號與盒子編號相同的放法：0種，

第三類，三個球的編號與盒子編號相同的放法：C35×1=10種，

第四類，二個球的編號與盒子編號相同的放法：C25×2=20種，

∴滿足條件的放法數(shù)為：1+10+20=31（種）

18．（1）由a100=0.2得a=20，因為40+20+a+10+b=100，所以b=10，

（2）“購買該品牌汽車的3位顧客中至多有1位采用3期付款”的概率：0.83+C13·0.2·（0.8）2

（3）記分期付款的期數(shù)為ξ，依題意得

P（ξ=1）=40100=0.4，P（ξ=2）=20100=0.2，P（ξ=3）=0.2

P（ξ=4）=10100=0.1，P（ξ=5）=10100=0.1

因為η的可能取值為1，1．5，2（單位萬元），并且

P（η=1）=P（ξ=1）=0.4

P（η=1.5）=P（ξ=2）+P（ξ=3）=0.4

P（η=2）=P（ξ=4）+P（ξ=5）=0.1+0.1=0.2

所以η的數(shù)學(xué)期望為Eη=１×０．４＋１．５×０．４＋２×０．２＝１．４（萬元）

19．解：（1）由年銷售量為x件，按利潤的計算公式，有生產(chǎn)A、B兩產(chǎn)品的年利潤y1，y2分別為：

y1=10×x－（20+mx）=（10－m）x－20 0≤x≤200

且x∈N y2=18×x－（40+8x）－0.05x2=－0.05x2+10x－40

所以y2=－0.05（x－100）2+460，0≤x≤120，x∈N.

（2）因為3≤m≤8，10－m>0，所以y1=（10－m）x－20為增函數(shù)，

又0≤x≤200，x∈N，所以x=200時，生產(chǎn)A產(chǎn)品有最大利潤為（10－m）×200－20=1980－200m（萬美元）又y2=－0.05（x－100）2+460，0≤x≤120，x∈N，所以x=100時，生產(chǎn)B產(chǎn)品有最大利潤為460（萬美元）

現(xiàn)在我們研究生產(chǎn)哪種產(chǎn)品年利潤最大，為此，我們作差比較：

（y1）max－（y2）max=（1980－200m）－460=1520－200m>0，3≤m<7.6時

=0，m=7.6時

<0，7.6

當(dāng)m=7.6時，生產(chǎn)A產(chǎn)品與生產(chǎn)B產(chǎn)品均可獲得最大年利潤；當(dāng)7.6

20.（本小題滿分16分）

證明：（1）左邊＝kCkn=k·n！k?。╪-k）！=n?。╧-1）?。╪-k）！，

右邊＝n·（n-1）！（k-1）?。╪-k）！=n！（k-1）?。╪-k）！，

所以kCkn=nCk-1n-1；5分

（2）k2Ckn=k·kCkn=k·nCk-1n-1，而kCk-1n-1=（k-1）Ck-1n-1=（n-1）Ck-2n-2+Ck-1n-1，

∴k2Ckn=n（n-1）Ck-2n-2+nCk-1n-1.9分

∴∑nk=1k2Ckn=n（n-1）∑nk=2Ck-2n-2+n∑nk=1Ck-1n-1=n（n-1）·2n-2=n（n+1）·2n-2；11分

另法：k2Ckn=k·kCkn=k·nCk-1n-1，

要證：∑nk=1k2Ckn=n（n+1）·2n-2，只需證∑nk=1k·Ck-1n-1=（n+1）·2n-2.

設(shè)f（x）=x（1+x）n-1，則

由x（1+x）n-1=x（C0n-1+xC1n-1+x2C2n-1+…+xn-1Cn-1n-1）

=xC0n-1+x2C1n-1+x3C2n-1+…+xnCn-1n-1，9分

兩邊同時求導(dǎo)，得（1+x）n-1+（n-1）x（1+x）n-2=C0n-1+2xC1n-1+3x2C2n-1+…+nxn-1Cn-1n-1，

令x=1，得C0n-1+2C1n-1+3C2n-1+…+nCn-1n-1=（n+1）·2n-2，即∑nk=1k·Ck-1n-1=（n+1）·2n-2得證.

∴原命題成立；11分

（3）由條件，設(shè)等差數(shù)列a0，a1，a2，a3，…公差為d，d≠0，

則p（x）=a0C0n（1-x）n+a1C1nx（1-x）n-1+a2C2nx2（1-x）n-2+…+anCnnxn

=a0C0n（1-x）n+（a0+d）C1nx（1-x）n-1+…+（a0+nd）Cnnxn

=a0［C0n（1-x）n+C1nx（1-x）n-1+…+Cnnxn］+d［C1nx（1-x）n-1+2C2nx2（1-x）n-2+…+nCnnxn］

=a0［（1-x）+x］n+dnx［C0n-1（1-x）n-1+C1n-1x（1-x）n-2+…+Cn-1n-1xn-1］14分

=a0+dnx［x+（1-x）］n-1

=a0+dnx

∵d≠0，所以對任意的正整數(shù)n，p（x）是關(guān)于x的一次式.16分