本刊試題研究組

一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分

1．某人射擊1次，命中7～10環(huán)的概率如下表所示：

則該人射擊一次，至少命中9環(huán)的概率為 ．

2．某校高一、高二、高三學生共有3200名，其中高三800名，如果通過分層抽樣的方法從全體學生中抽取一個160人的樣本，那么應(yīng)當從高三的學生抽取的人數(shù)是_____________．

3．化簡：C22+C23+C24+…+C210=_____________（可用組合數(shù)表示）．

4．（1－x3）（1+x）10的展開式中，x5的系數(shù)是 （用數(shù)字作答）．

5．已知某人5次上班途中所花的時間（單位：分鐘）分別為x，8，9，10，11，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，則其方差為_____________．

6．某班級共有學生54人，現(xiàn)根據(jù)學生的學號，用系統(tǒng)抽樣的方法，抽取一個容量為4的樣本．已知2號，28號，41號同學在樣本中，那么還有一個同學的學號是_____________．

7．閱讀下面的偽代碼：

S←0

i←1

While i<100

i←i＋1

S←S＋i

End while

Print S

上述偽代碼的輸出值為_____________．

8．箱中有號碼分別為1，2，3，4，5的五張卡片，從中一次隨機抽取兩張，則兩張?zhí)柎a之和為3的倍數(shù)的概率為_____________．

9．已知AB是圓O的一條直徑，在AB上任取一點H，過H作弦CD與AB垂直，則弦CD的長度大于半徑的概率是_____________．

10．一射手對同一目標獨立地進行4次射擊，已知至少命中一次的概率為8081，則此射手的命中率是_____________．

11．市內(nèi)某公共汽車站有10個候車位（成一排），現(xiàn)有4名乘客隨便坐在某個座位上候車，則恰好有5個連續(xù)空座位的候車方式共有_____________種．（用數(shù)字作答）

12．某城市的交通道路如圖，從城市的東南角A到城市的西北角B，不經(jīng)過十字道路維修處C，最近的走法種數(shù)有_____________（用數(shù)字作答）．

13．設(shè)一輛汽車在前進途中要經(jīng)過4個路口，汽車在每個路口遇到綠燈（允許通行）的概率為34，遇到紅燈（禁止通行）的概率為14．假定汽車只在遇到紅燈或到達目的地才停止前進，隨機變量ξ表示第一次停車時已經(jīng)通過的路口數(shù)，則P（ξ=3）=_____________．

14．已知C1006n=C1007n，（2x－3）n=a0+a1（x－1）+a2（x－1）2+…+an（x－1）n，x∈R，則a12+a222+a323+…+an2n的值為_____________．

二、解答題：本大題共6小題，共計90分

15．（本題滿分14分）

從標號為A、B、C、D四個相同的小球中任取兩個分別放到甲、乙兩個盒子中，若每個小球被取到是等可能的，求：

（1）共有多少種放法？

（2）D球恰好放在甲盒中的概率是多少？

（3）A、B兩球同時被放到兩個盒中的概率是多少？

16． （本題滿分14分）

在參加世界杯足球賽的三十二支球隊中，隨機抽取20名隊員，調(diào)查其年齡分別為：25，21，23，25，27，29，25，28，30，29，26，24，25，27，26，22，24，25，26，28．

①完成下面的頻率布表；

②畫出頻率分布直方圖；

③據(jù)此估計全體隊員在哪個年齡段的人數(shù)最多，占總數(shù)的百分之幾？

17．（本題滿分15分）

甲、乙、丙三個同學一起參加某高校組織的自主招生考試，考試分筆試和面試兩部分，筆試和面試均合格者將成為該高校的預錄取生（可在高考中加分錄?。?，兩次考試過程相互獨立．根據(jù)甲、乙、丙三個同學的平時成績分析，甲、乙、丙三個同學能通過筆試的概率分別是0．6，0．5，0．4，能通過面試的概率分別是0．5，0．6，0．75．

（1）求甲、乙、丙三個同學中恰有一人通過筆試的概率；

（2）設(shè)經(jīng)過兩次考試后，能被該高校預錄取的人數(shù)為ξ，求隨機變量ξ的期望E（ξ）．

18．（本題滿分15分）

現(xiàn)有5名男生、2名女生站成一排照相，

（1）兩女生要在兩端，有多少種不同的站法？

（2）兩名女生不相鄰，有多少種不同的站法？

（3）女生甲要在女生乙的右方（可以不相鄰），有多少種不同的站法？

（4）女生甲不在左端，女生乙不在右端，有多少種不同的站法？

19．（本題滿分16分）

某公園準備建一個摩天輪，摩天輪的外圍是一個周長為k米的圓．在這個圓上安裝座位，且每個座位和圓心處的支點都有一根直的鋼管相連．經(jīng)預算，摩天輪上的每個座位與支點相連的鋼管的費用為8k元/根，且當兩相鄰的座位之間的圓弧長為x米時，相鄰兩座位之間的鋼管和其中一個座位的總費用為［（1024x+20）x100+2］k元．假設(shè)座位等距離分布，且至少有兩個座位，所有座位都視為點，且不考慮其他因素，記摩天輪的總造價為y元．

（1）試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；

（2）當k=100米時，試確定座位的個數(shù)，使得總造價最低．

20．（本題滿分16分）

規(guī)定Cmx＝xx-1…x-m+1m！，其中x∈R，m是正整數(shù)，且C0x＝1，

這是組合數(shù)Cmn（n，m是正整數(shù)，且m≤n）的一種推廣．

（1）求C5-15的值；

（2）組合數(shù)的兩個性質(zhì)：①Cmn＝Cn-mn；②Cmn＋Cm+1n＝Cmn+1是否都能推廣到Cmx（x∈R），

m是正整數(shù)的情形？若能推廣，則寫出推廣的形式并給出證明；若不能，則說明理由；

（3）已知組合數(shù)Cmn是正整數(shù)，證明：當x∈Z，m是正整數(shù)時，Cmx∈Z．

參考答案

一、填空題：

1． 0．3； 2． 40； 3． C311（165） 4． 207； 5． 2； 6． 15； 7． 5049； 8． 25； 9． 32； 10． 23 11． 480； 12． 66； 13． 27256； 14． 1

二、解答題：

15．（1）共有12種．

（2）D球放到甲盒中包含3個基本事件，概率為3/12=1/4

（3）A、B兩球放到盒中包含2個基本事件，概率為2/12=1/6

16．（1）

（3）在（24．5，26．5）內(nèi)人數(shù)最多，占總數(shù)40％．

17．解：（1）分別記甲、乙、丙三個同學筆試合格為事件A1、A2、A3；

E表示事件“恰有一人通過筆試”

則P（E）=P（A1A2A3）+P（A1A2A3）+P（A1A2A3）

=0.6×0.5×0.6+0.4×0.5×0.6+0.4×0.5×0.4

=0.38

（2）解法一：因為甲、乙、丙三個同學經(jīng)過兩次考試后合格的概率均為p=0.3，

所以ξ～B（3，0.3），故E（ξ）=np=3×0.3=0.9．

解法二：分別記甲、乙、丙三個同學經(jīng)過兩次考試后合格為事件A，B，C，

則P（A）=P（B）=P（C）=0.3

所以P（ξ=1）=3×（1－0.3）2×0.3=0.441，

P（ξ=2）=3×0.32×0.7=0.189，P（ξ=3）=0.33=0.027．

于是，E（ξ）=1×0.441+2×0.189+3×0.027=0.9．

18．解：（1）兩端的兩個位置，女生任意排，中間的五個位置男生任意排，

A22·A55=240（種）；

（2）把男生任意全排列，然后在六個空中（包括兩端）有順序地插入兩名女生；

A55·A26=3600（種）；

（3）七個位置中任選五個排男生問題就已解決，因為留下兩個位置女生排法是既定的；

A57=2520（種）；

（4）采用去雜法，在七個人的全排列中，去掉女生甲在左端的A66個，再去掉女生乙在右端的A66個，但女生甲在左端同時女生乙在右端的A55種排除了兩次，要找回來一次．

A77－2A66+A55=3720（種）．

19．（1）設(shè)摩天輪上總共有n個座位，則x=kn，即n=kx，

y=8kkx+kx［（1024x+20）x100+2］k=k2（10x+1024x+20100），

定義域{x|0

（2）當k=100時，令y=100（1000x+1024x+20），

f（x）=1000x+1024x，

則f′（x）=－1000x2+5121x ∴x32=12564x=（12564）23=2516，當x∈（0，2516）時，f′（x）<0，即f（x）在x∈（0，2516）上單調(diào)減，

當x∈（2516，50）時，f′（x）>0，即f（x）在x∈（2516，50）上單調(diào)增，

ymin在x=2516時取到，此時座位個數(shù)為1002516=64個．

20．解：（1）C5-15＝-15-6…-195?。剑瑿519＝－11628．

（2）性質(zhì)①不能推廣，例如當x=2時，C12有意義，但C2-12無意義：性質(zhì)②能推廣，它的推廣形式是Cmx+Cm-1x=Cmx+1，

有C1x＋C0x＝x＋1＝C1x＋1；當m≥2時，

Cmx＋Cm－1x＝xx-1…x-m+1m！＋xx-1…x-m+2m-1！

＝xx-1…x-m+2m-1?。▁-m+1m+1）

＝xx-1…x-m+2x+1m！

＝Cmx+1．

（3）當x≥m時，組合數(shù)Cmx∈Z；當0≤x＜m時，Cmx＝0∈Z；

當x＜0時，－x＋m－1＞0，所以

Cmx＝xx-1…x-m+1m！

＝-1m-x+m-1…-x-1-xm！

＝（－1）mCm-x+m-1∈Z．

綜上所述，當x∈Z，m是正整數(shù)時，Cmx∈Z．