數(shù)列是高考考查的一個(gè)重要內(nèi)容，考查的知識(shí)多為數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和，等差與等比數(shù)列的通項(xiàng)、前n項(xiàng)和及性質(zhì)，遞推數(shù)列等.近幾年來高考考查的重點(diǎn)是等差與等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)、求和及其性質(zhì)的綜合應(yīng)用等，常常是1～2道小題和一道解答題，小題多用來考查等差與等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)、求和及其性質(zhì)的簡單應(yīng)用等，解答題多為等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，常與不等式、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、解析幾何等知識(shí)綜合交匯，既考查了分類、化歸、遞推等數(shù)學(xué)思想方法，又考查綜合運(yùn)用知識(shí)進(jìn)行運(yùn)算、推理論證及解決問題的能力.本文通過典型例題的剖析，給大家以參考.

熱點(diǎn)一：數(shù)列的基本問題

有關(guān)數(shù)列的基本問題，這類題圍繞等差、等比數(shù)列的基本知識(shí)、基本公式、基本性質(zhì)命題，難度不大，考生應(yīng)注意基本方法的訓(xùn)練，靈活運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)解題.

例1若等差數(shù)列{an}滿足a2+S3=4，a3+S5=12，則a4+S7的值是.

分析：由本題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，容易聯(lián)想到等差數(shù)列的一個(gè)性質(zhì)：若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，則am+an=ap+aq，以此性質(zhì)遞推，不難得到答案.

解：在等差數(shù)列{an}中，若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，則am+an=ap+aq，所以a1+a3=2a2.又由a2+S3=4，可得4a2=4，所以a2=1.

同理，由a3+S5=12，可得a3=2，則a4=3.

又S7=7a4，則a4+S7=8a4=24.

說明：本題結(jié)構(gòu)形式簡潔，且較好地考查了等差數(shù)列的相關(guān)性質(zhì).這種命題方式恰好是高考命題者設(shè)計(jì)數(shù)列知識(shí)點(diǎn)考題的一種風(fēng)格，即挖掘數(shù)列知識(shí)的內(nèi)在性質(zhì)，簡化數(shù)列試題的外在形式.解題的基本功在于對(duì)等差、等比數(shù)列性質(zhì)的準(zhǔn)確理解和靈活運(yùn)用.

例2已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=1，Sn=2an+1，則Sn=.

分析：本題是已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn與an的遞推關(guān)系式，求an的通項(xiàng)公式的一種常見題型，求解時(shí)，注意由n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1求得通項(xiàng)公式之后，還要討論n=1時(shí)，a1=S1的情形是否滿足通項(xiàng)公式.

解：由Sn=2an+1可知，當(dāng)n=1時(shí)得a2=12S1=12，當(dāng)n≥2時(shí)，有Sn=2an+1①Sn-1=2an②

①-②可得an=2an+1-2an，即an+1=32an，

故該數(shù)列是從第二項(xiàng)起以12為首項(xiàng)，以32為公比的等比數(shù)列，故數(shù)列通項(xiàng)公式為

an=1（n=1）12（32）n-2（n≥2），

故當(dāng)n≥2時(shí)，Sn=1+12（1-（32）n-1）1-32=（32）n-1，

當(dāng)n=1時(shí)，S1=1=（32）1-1，故Sn=（32）n-1.

說明：本試題主要考查了數(shù)列中由遞推公式求通項(xiàng)公式和數(shù)列求和的綜合運(yùn)用.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn與an的遞推關(guān)系式，求an的通項(xiàng)公式或研究數(shù)列{an}的性質(zhì)，以此設(shè)置命題意在考查考生對(duì)Sn與an的內(nèi)在聯(lián)系的認(rèn)識(shí)，即Sn=Sn-1+an（n≥2，n∈N*）.

熱點(diǎn)二：數(shù)列的遞推與求和問題

研究數(shù)列的遞推公式，從而研究數(shù)列的其他性質(zhì)和求和問題，遞推公式簡單時(shí)往往較容易.但有些不易求出通項(xiàng)公式的題目，難度較大，其求解的關(guān)鍵是：讀懂題意，搞清數(shù)列遞推關(guān)系式提供的各方面信息，然后再根據(jù)所給的問題采用相應(yīng)的方法去解決.

例3已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，常數(shù)λ>0，且λa1an=S1+Sn對(duì)一切正整數(shù)n都成立.

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)a1>0，λ=100，當(dāng)n為何值時(shí)，數(shù)列{lg1an}的前n項(xiàng)和最大？

解：（1）取n=1，得λa21=2S1=2a1，a1（λa1-2）=0，

若a1=0，則S1=0，當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=0，所以an=0，

若a1≠0，則a1=2λ，當(dāng)n≥2時(shí)2an=2λ+Sn，2an-1=2λ+Sn-1，

上述兩個(gè)式子相減得：an=2an-1，所以數(shù)列{an}是等比數(shù)列.

綜上，若a1=0，則an=0.

若a1≠0則an=2nλ.

（2）當(dāng)a1>0，且λ=100時(shí)，令bn=lg1an，所以，bn=2-nlg2，

所以，{bn}單調(diào)遞減的等差數(shù)列（公差為-lg2）

則b1>b2>b3>…>b6=lg10026=lg10064>lg1=0

當(dāng)n≥7時(shí)，bn≤b7=lg10027=lg100128

故數(shù)列{lg1an}的前6項(xiàng)的和最大.

說明：本題主要從三個(gè)層面對(duì)考生進(jìn)行了考查.知識(shí)層面：考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、對(duì)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)和數(shù)列遞推關(guān)系式的問題；能力層面：考查思維、運(yùn)算、分析問題和解決問題的能力；數(shù)學(xué)思想：考查方程、分類與整合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.

熱點(diǎn)三：數(shù)列的綜合性問題

與函數(shù)、不等式、解析幾何結(jié)合的數(shù)列綜合題，對(duì)思維能力有較高要求，考查了分析問題和解決問題的能力，體現(xiàn)以能力立意的命題原則，是近來年高考的熱點(diǎn)問題，屬于中高檔難度的題目或壓軸題，解決這類問題常常要綜合利用各種數(shù)學(xué)思想與方法，特別是函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論等重要思想及其配方法、換元法、待定系數(shù)法等基本數(shù)學(xué)思想方法，這樣才能準(zhǔn)確解答這種問題.

例4已知a為正實(shí)數(shù)，n為自然數(shù)，拋物線y=-x2+an2與x軸正半軸相交于點(diǎn)A，設(shè)f（n）為該拋物線在點(diǎn)A處的切線在y軸上的截距.

（1）用a和n表示f（n）；

（2）求對(duì)所有n都有f（n）-1f（n）+1≥nn+1成立的a的最小值；

（3）當(dāng)0

解：（1）由已知得，交點(diǎn)A的坐標(biāo)為（an2，0），對(duì)y=-x2+12an求導(dǎo)得y′=-2x，

則拋物線在點(diǎn)A處的切線方程為：y=-2an（x-an2），即y=-2anx+an.則f（n）=an

（2）由（1）知f（n）=an，則f（n）-1f（n）+1≥nn+1成立的充要條件是an≥2n+1，

即知，an≥2n+1對(duì)于所有的n成立，

特別地，當(dāng)n=1時(shí)，得到a≥3，

當(dāng)a=3，n≥1時(shí)，an=3n=（1+2）n≥2n+1，

當(dāng)n=0時(shí)，an=2n+1.

故a=3時(shí)f（n）-1f（n）+1≥nn+1對(duì)所有自然數(shù)n均成立.

所以，滿足條件的a的最小值為3.

（3）由（1）知f（k）=ak

下面證明：1f（1）-f（2）+1f（2）-f（4）+…+1f（n）-f（2n）>6·f（1）-f（n+1）f（0）-f（1）

首先證明06x，

設(shè)函數(shù)g（x）=6x（x2-x）+1，0

當(dāng)00

故g（x）在區(qū)間（0，1）上的最小值g（x）min=g（23）=19>0

所以，當(dāng)00，即得1x-x2>6x

由06ak，從而

1f（1）-f（2）+1f（2）-f（4）+…+1f（n）-f（2n）

=1a-a2+1a2-a4+…+1an-a2n

>6（a+a2+…+an）=6×a-an+11-a

=6×f（1）-f（n+1）f（0）-f（1）

說明：本小題屬于高檔題，難度較大，需要考生具備扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和解決數(shù)學(xué)問題的能力.主要考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不等式、數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)；考查了思維能力、運(yùn)算能力、分析問題與解決問題的能力和創(chuàng)新意識(shí)能力，且又深層次的考查了函數(shù)、轉(zhuǎn)換與化歸、特殊與一般等數(shù)學(xué)思維方法.

熱點(diǎn)四：數(shù)列的創(chuàng)新問題

數(shù)列中的創(chuàng)新問題是近年高考試卷中出現(xiàn)的一個(gè)亮點(diǎn).這類問題要求考生在短時(shí)間內(nèi)讀懂并理解一個(gè)陌生的數(shù)列問題情境，對(duì)新穎的信息、情境和設(shè)問，選擇有效的方法和手段收集信息，然后綜合、靈活地應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法，緊扣獲取的相關(guān)信息進(jìn)行獨(dú)立的思考、加工、探索和研究，提出解決問題的思路，創(chuàng)造性地解決問題.

例5定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函數(shù)f（x），如果對(duì)于任意給定的等比數(shù)列{an}，{f（an）}仍是等比數(shù)列，則稱f（x）為“保等比數(shù)列函數(shù)”.現(xiàn)有定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如下函數(shù)：①f（x）=x2；②f（x）=2x；③f（x）=|x|；④f（x）=ln|x|.則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的f（x）的序號(hào)為 .

解：設(shè)數(shù)列{an}的公比為q.對(duì)于①，f（an+1）f（an）=a2n+1a2n=q2，是常數(shù)，故①符合條件；對(duì)于②，f（an+1）f（an）=2an+12an=2an+1-an，不是常數(shù)，故②不符合條件；對(duì)于③，f（an+1）f（an）=|an+1||an|=|an+1an|=|q|，是常數(shù)，故③符合條件；對(duì)于④，f（an+1）f（an）=ln|an+1|ln|an|，不是常數(shù)，故④不符合條件.

由“保等比數(shù)列函數(shù)”的定義知應(yīng)選①③.

說明：本題考查等比數(shù)列的新應(yīng)用，函數(shù)的概念.對(duì)于創(chuàng)新性問題，首先要讀懂題意，然后再去利用定義求解，抓住實(shí)質(zhì)是關(guān)鍵.

總之，在數(shù)列考查中，要理解數(shù)列的概念，特別注意遞推數(shù)列，熟練掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)、公式及公式的延伸，應(yīng)用性質(zhì)解題，往往可以回避求首項(xiàng)和公差或公比，使問題得到整體解決，能夠減少運(yùn)算量，應(yīng)引起考生重視.解決數(shù)列綜合問題要注意函數(shù)思想、分類論思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想等，注重?cái)?shù)列與函數(shù)、方程、不等式、解析幾何等其他知識(shí)的綜合；另外，數(shù)列與導(dǎo)數(shù)、平面向量、概率等新知識(shí)相結(jié)合也不可忽視.重視遞推數(shù)列和數(shù)列推理題的復(fù)習(xí).對(duì)于數(shù)列應(yīng)用題也要注意增長率、銀行信貸、養(yǎng)老保險(xiǎn)、環(huán)保、土地資源等背景，首先要分析題意，建立數(shù)列模型，再利用數(shù)列知識(shí)加以解決.

（作者：朱振華，江蘇省海門中學(xué)）