一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，計(jì)70分）

1.集合M={x|lgx>0}，N={x|x2≤4}，則M∩N=.

2.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a1+a7+a13=-π，則sina7=.

3.若z1=a+2i，z2=3-4i，且z1z2為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a=.

4.程序如右圖：該程序輸出的結(jié)果是.

5.已知m，n是兩條不同的直線，α是一個(gè)平面，有下列四個(gè)命題：

①若m∥α，n∥α，則m∥n；

②若m⊥α，n⊥α，則m∥n；

③若m∥α，n⊥α，則m⊥n；

④若m⊥α，m⊥n，則n∥α.

其中真命題的序號(hào)有.（請(qǐng)將真命題的序號(hào)都填上）

6.已知直線l1：ax+3y+1=0，l2：2x+（a+1）y+1=0，若l1∥l2，則實(shí)數(shù)a的值是.

7.若點(diǎn)P0（x0，y0）在橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）外，過(guò)點(diǎn)P0作該橢圓的兩條切線的切點(diǎn)分別為P1，P2，則切點(diǎn)弦P1P2所在直線的方程為x0xa2+y0yb2=1.那么對(duì)于雙曲線，類似地，可以得到一個(gè)正確的命題為.

8.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)直線l：kx-y+1=0與圓C：x2+y2=4相交于A、B兩點(diǎn)，以O(shè)A、OB為鄰邊作平行四邊形OAMB，若點(diǎn)M在圓C上，則實(shí)數(shù)k=.

9.若橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，線段F1F2被拋物線y2=2bx的焦點(diǎn)分成5∶3兩段，則此橢圓的離心率為.

10.在△ABC中，已知內(nèi)角A=π3，邊BC=23，則△ABC的面積S的最大值為.

11.函數(shù)f（x）=x2+2x-3，x≤0-2+lnx，x>0的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.

12.當(dāng)0≤x≤12時(shí)，|ax-2x3|≤12恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

13.在△ABC中，∠A=90°，AB=1，AC=2，設(shè)點(diǎn)P，Q滿足AP=λAB，AQ=（1-λ）AC，λ∈R，若BQ·CP=-2，則λ=.

14.已知實(shí)數(shù)x，y滿足：x3+2xy-1=0（-1≤x≤2，x≠0），這個(gè)方程確定的函數(shù)為y=f（x），則z=3x+2f（x）的極大值是.

二、解答題（本大題共6小題，計(jì)90分）

15.（本小題滿分14分）

已知關(guān)于x的一元二次函數(shù)f（x）=ax2-4bx+1.

（1）設(shè)集合P={1，2，3}和Q={-1，1，2，3，4}，分別從集合P和Q中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作為a和b，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)的概率；

（2）設(shè)點(diǎn)（a，b）是區(qū)域x+y-8≤0x>0y>0內(nèi)的隨機(jī)點(diǎn)，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)的概率.

16.（本小題滿分14分）

如圖邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD所在平面與正△PAD所在平面互相垂直，M，Q分別為PC，AD的中點(diǎn).

（1）求四棱錐PABCD的體積；

（2）求證：PA∥平面MBD；

（3）試問(wèn)：在線段AB上是否存在一點(diǎn)N，使得平面PCN⊥平面PQB？若存在，試指出點(diǎn)N的位置，并證明你的結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

17.（本小題滿分15分）

如圖，半圓O的直徑為2，A為直徑延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，OA=2，B為半圓上一點(diǎn)，

以AB為一邊向△OAB的外側(cè)作等邊△ABC.

（1）問(wèn)點(diǎn)B在什么位置時(shí)，四邊形OACB的面積最大？

（2）當(dāng)OC平分∠AOB時(shí).

（?。┣笞C：∠OAC+∠OBC=π；

（ⅱ）求OC的長(zhǎng)度.

18.（本小題滿分15分）

省環(huán)保研究所對(duì)市中心每天環(huán)境放射性污染情況進(jìn)行調(diào)查研究后，發(fā)現(xiàn)一天中環(huán)境綜合放射性污染指數(shù)f（x）與時(shí)刻x（時(shí)）的關(guān)系為f（x）=|xx2+1-a|+2a+23，x∈[0，24]，其中a是與氣象有關(guān)的參數(shù)，且a∈[0，12]，若用每天f（x）的最大值為當(dāng)天的綜合放射性污染指數(shù)，并記作M（a）.

（1）令t=xx2+1，x∈[0，24]，求t的取值范圍；

（2）省政府規(guī)定，每天的綜合放射性污染指數(shù)不得超過(guò)2，試問(wèn)目前市中心的綜合放射性污染指數(shù)是否超標(biāo)？

19.（本小題滿分16分）

橢圓T：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的上頂點(diǎn)為A，過(guò)A的一條直線l1交橢圓于另一點(diǎn)B.

（1）若直線l1的方程為：x+3y-3=0，且AB=10，求橢圓T的方程；

（2）過(guò)A的另一條直線l2交橢圓于C，且AB=AC，求證：點(diǎn)B、C關(guān)于y軸對(duì)稱；

（3）設(shè)直線m是線段AB的垂直平分線，試問(wèn)：橢圓T上是否存在另外兩點(diǎn)P，Q關(guān)于直線m對(duì)稱？若存在，請(qǐng)給出直線AB的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

20.（本小題滿分16分）

已知數(shù)列an=2n-n2，n=1，2，3，…，

（1）求出數(shù)列{an}中所有成等差數(shù)列的連續(xù)三項(xiàng)；

（2）求證：數(shù)列{an}中不存在連續(xù)三項(xiàng)成等比數(shù)列；

附加題

21.【選做題】在A，B，C，D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計(jì)20分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

B.選修4-2：矩陣與變換

已知矩陣A=1a-1b，A的一個(gè)特征值λ=2，其對(duì)應(yīng)的特征向量是α1=21.設(shè)向量β=74，試計(jì)算A5β的值.

C.選修4-4：參數(shù)方程與極坐標(biāo)

已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=acosθ（a>0）.以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸

為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程為x=1+22ty=22t（t為參數(shù)），若直線l與曲線C相切，求a的值.

【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計(jì)20分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

22.在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)F、T、M、P滿足OF=（1，0），OT=（-1，t），

FM=MT，PM⊥FT，PT∥OF.

（1）當(dāng)t變化時(shí)，求點(diǎn)P的軌跡C的方程；

（2）若過(guò)點(diǎn)F的直線交曲線C于A，B兩點(diǎn)，求證：直線TA，TF，TB的斜率依次成等差數(shù)列.

23.學(xué)校文娛隊(duì)的每位隊(duì)員唱歌、跳舞至少會(huì)一項(xiàng)，已知會(huì)唱歌的有2人，會(huì)跳舞的有5人，現(xiàn)從中選2人.設(shè)ξ為選出的人中既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的人數(shù)，且P（ξ>0）=710.

（1）求文娛隊(duì)的隊(duì)員人數(shù)；

（2）寫出ξ的概率分布列并計(jì)算E（ξ）.

參考答案

一、填空題

1. （1，2]2. -323. a=834. 1205. ②③6. -3

7. 若點(diǎn)P0（x0，y0）在雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）外，過(guò)點(diǎn)P0作該雙曲線的兩條切線的切點(diǎn)分別為P1，P2，則切點(diǎn)弦P1P2所在直線的方程為x0xa2-y0yb2=1

8. 09. e=ca=25510. 3311. 212. -12≤a≤3213. 2314. -154

二、解答題

15.解：（1）∵函數(shù)f（x）=ax2-4bx+1的圖象的對(duì)稱軸為x=2ba，

要使f（x）=ax2-4bx+1在區(qū)間[1，+∞）上為增函數(shù)，

當(dāng)且僅當(dāng)a>0且2ba≤1，即2b≤a3分

若a=1則b=-1，

若a=2則b=-1，1

若a=3則b=-1，1；5分

∴事件包含基本事件的個(gè)數(shù)是1+2+2=5

∴所求事件的概率為515=137分

（2）由（Ⅰ）知當(dāng)且僅當(dāng)2b≤a且a>0時(shí)，

函數(shù)f（x）=ax2-4bx+1在區(qū)間[1，+∞）上為增函數(shù)，

依條件可知試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)椋╝，b）a+b-8≤0a>0b>0

構(gòu)成所求事件的區(qū)域?yàn)槿切尾糠?9分

由a+b-8=0b=a2得交點(diǎn)坐標(biāo)為（163，83），11分

∴所求事件的概率為P=12×8×8312×8×8=1314分

16.解析：在正三角形PAD中，Q為AD的中點(diǎn)，

∴PQ⊥AD

因?yàn)檎叫蜛BCD所在平面與正△PAD所在平面互相垂直，面ABCD∩面PAD=AD

∴PQ⊥面ABCD（3分）

VPABCD=13S·PQ=3233（5分）

（2）證明：連AC交BD于O，連MO

則ABCD為正方形，所以O(shè)為AC中點(diǎn)，M為PC中點(diǎn)，所以MO∥AP，（7分）

又AP平面MBD，MO平面MBD，則AP∥平面MBD.（10分）

（3）N為AB中點(diǎn)時(shí)，平面PCN⊥平面PQB.（11分）

證明如下：由（1）證明知PQ⊥平面ABCD，又CN平面ABCD，則PQ⊥CN（12分）

又因?yàn)檎叫蜛BCD中Q，N分別為AD，AB中點(diǎn)，則CN⊥BQ（13分）

∴CN⊥平面PQB又∵CN平面PCN，所以平面PCN⊥平面PQB.（14分）

17.解：（1）設(shè)∠AOB=α，在△AOB中，由余弦定理

得：AB2=12+22-2×1×2cosα=5-4cosα.（2分）

四邊形OACB的面積S=S△OAB+S△ABC=12OA·OBsinα+34AB2

=12×2×1×sinα+34（5-4cosα）=sinα-3cosα+534=2sin（α-π3）+534.∵0<α<π，∴-π3<α-π3<2π3，當(dāng)α-π3=π2即α=5π6時(shí)，四邊形OACB的面積取最大值.（7分）

（2）（ⅰ）在△OAC中，ACsinα2=OCsin∠OAC，在△OBC中，BCsinα2=OCsin∠OBC，

∵AC=BC，比較以上兩式可知：sin∠OAC=sin∠OBC.

若∠OAC=∠OBC，又∠AOC=∠BOC，OC=OC△OAC△OBC，

∴OA=OB，這與已知矛盾.∴∠OAC≠∠OBC，從而∠OAC=180°-∠OBC.

即∠OAC+∠OBC=π.（11分）

（ⅱ）由（?。┑谩螦OB+∠ACB=π，∴∠AOB+π3=π，∠AOB=2π3.

又OC為∠AOB的平分線，∠AOC=π3，在△AOB中，AB2=OA2+OC2-2OA·OC·cos2π3=22+12-2×2×1×（-12）=7，

在△AOC中，AC2=OC2+OA2-2OC·OAcosπ3，

∴7=OC2+22-2·OC×2×12OC=3.（15分）

18.解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，t=0；

當(dāng)0

∴t=xx2+1=1x+1x∈（0，12]，

即t的取值范圍是[0，12].（6分）

（2）當(dāng)a∈[0，12]時(shí)，記g（t）=|t-a|+2a+23

則g（t）=-t+3a+23，0≤t≤at+a+23，a

∵g（t）在[0，a]上單調(diào)遞減，在（a，12]上單調(diào)遞增，

且g（0）=3a+23，g（12）=a+76，g（0）-g（12）=2（a-14）.

故M（a）=g（12），0≤a≤14g（0），14

∴當(dāng)且僅當(dāng)a≤49時(shí)，M（a）≤2.

故當(dāng)0≤a≤49時(shí)不超標(biāo)，當(dāng)49

19.（1）x29+y2=1（5分）

（2）略（10分）

（3）可由點(diǎn)差法得b=a，與已知矛盾.（16分）

20.解：（1）2an=an+1+an-12（2n-n2）=[2n+1-（n+1）2]+[2n-1-（n-1）2]，

2n+1-2n2=2n+1-（n2+2n+1）+2n-1-（n2-2n+1）

2n-1=2，∴n=2.

∴a1=1，a2=0，a3=-1.

即只有前三項(xiàng)是連續(xù)的成等差數(shù)列的三項(xiàng).（7分）

（2）設(shè)a2n=an-1·an+1，

（2n-n2）2=[2n-1-（n-1）2][2n+1-（n+1）2]

22n-2n2·2n+n4=22n-（n-1）2·2n+1-（n+1）2·2n-1+（n2-1）2

2n-1（n2-6n+5）+2n2=1（）.

當(dāng)n=1時(shí)，（）左=2，（）右=1，所以此時(shí)（）式不成立；

當(dāng)n≥2時(shí)，（）左是偶數(shù)，而（）右是奇數(shù)1，所以此時(shí)（）也不成立.從而數(shù)列{an}中不存在連續(xù)三項(xiàng)成等比數(shù)列.（16分）

21.B.選修4-2：矩陣與變換

解析：由題設(shè)條件可得：1a-1b21=221，即2+a=4-2+b=2，解得a=2b=4，得矩陣A=12-14.（2分）

矩陣A的特征多項(xiàng)式為f（λ）=λ-1-21λ-4=λ2-5λ+6=0，解得λ1=2，λ2=3.（4分）

當(dāng)λ1=2時(shí)，得α1=21；當(dāng)λ2=3時(shí)，得α2=11，（6分）

由β=mα1+nα2，得2m+n=7m+n=4，得m=3，n=1，（8分）

∴A5β=A5（3α1+α2）=3（A5α1）+A5α2=3（λ51α1）+λ52α2

=3×2521+3511=435339.（10分）

C.選修4-4：參數(shù)方程與極坐標(biāo)

解析：曲線C化為直角坐標(biāo)方程為x2+y2-ax=0，即（x-a2）2+y2=（a2）2，（3分）

直線l的參數(shù)方程化為普通方程為x-y-1=0.（6分）

由題設(shè)條件，有：|a2-1|2=a2，∴|a2-1|=22a，（8分）

∴a2=1+22a（舍去）或a2=1-22a，∴a=2（2-1）.（10分）

22.解析：（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），由FM=MT，得點(diǎn)M是線段FT的中點(diǎn)，則M（0，t2），PM=（-x，t2-y），F(xiàn)T=OT-OF=（-2，t），PT=（-1-x，t-y），（2分）

由PM⊥FT，得2x+t（t2-y）=0，……①（3分）

由PT∥OF，得（-1-x）×0+（t-y）×1=0，

∴t=y……②（4分）

由①②消去t，得y2=4x即為所求點(diǎn)P的軌跡C的方程.（5分）

（2）設(shè)直線TA，TF，TB的斜率依次為k1，k，k2，并記A（x1，y1），B（x2，y2），則有k=-t2.（6分）

設(shè)直線AB方程為x=my+1，由y2=4xx=my+1，得y2-4my-4=0，∴y1+y2=4my1·y2=-4，（8分）

∴y21+y22=（y1+y2）2-2y1y2=16m2+8，

∴k1+k2=y1-tx1+1+y2-tx2+1=（y1-t）（y224+1）+（y2-t）（y214+1）（y214+1）（y224+1）

=4y1y2（y1+y2）-4t（y21+y22）+16（y1+y2）-32ty21y22+4（y21+y22）+16=-t=2k，∴k1，k，k2成等差數(shù)列.（10分）

23.解析：設(shè)既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的有x人，則文娛隊(duì)中共有（7-x）人，只會(huì)一項(xiàng)的人數(shù)是（7-2x）人.（2分）

（1）∵P（ξ>0）=P（ξ≥1）=1-P（ξ=0）=710，∴P（ξ=0）=310，即C27-2xC27-x=310.

∴（7-2x）（6-2x）（7-x）（6-x）=310.解得x=2.（4分）

故文娛隊(duì)共有5人.（5分）

（2）P（ξ=1）=C12·C13C25=35，P（ξ=2）=C22C25=110，（7分）

ξ的概率分布列為

ξ012

P31035110

∴E（ξ）=0×310+1×35+2×110=0.8.（10分）