董瑩莉

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)方法 高中物理 物理規(guī)律 解題能力

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2013）07B-0045-04

物理學(xué)是應(yīng)用數(shù)學(xué)方法最充分、最成功的一門學(xué)科，數(shù)學(xué)思想方法是解決物理問題的重要工具，在高中物理中時(shí)常存在數(shù)學(xué)方法的影子。學(xué)生在解題的過程中，除面對(duì)物理知識(shí)的考查和理解外，可能也面臨著數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)知識(shí)的考驗(yàn)，而有時(shí)數(shù)學(xué)方法的使用對(duì)問題的解決起到關(guān)鍵的作用。本文就高中物理解題中用到的典型的數(shù)學(xué)方法進(jìn)行歸納。

一、正余弦函數(shù)在高中物理中的應(yīng)用

（2012安徽理綜）圖1是交流發(fā)電機(jī)模型示意圖。在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，有一矩形線圈abcd可繞線圈平面內(nèi)垂直于磁感線的軸OO′轉(zhuǎn)動(dòng)，由線圈引出的導(dǎo)線ae和df分別與兩個(gè)跟線圈一起繞OO′轉(zhuǎn)動(dòng)的金屬環(huán)相連接，金屬環(huán)又分別與兩個(gè)固定的電刷保持滑動(dòng)接觸，這樣矩形線圈在轉(zhuǎn)動(dòng)中就可以保持和外電路電阻R形成閉合電路。圖2是線圈的主視圖，導(dǎo)線ab和cd分別用他們的橫截面積來表示。已知ab長(zhǎng)度為L(zhǎng)1，bc長(zhǎng)度為L(zhǎng)2，線圈以恒定角速度ω逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。（只考慮單匝線圈）

1.線圈平面處于中性面位置時(shí)開始計(jì)時(shí)，試推導(dǎo)t時(shí)刻整個(gè)線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)e1的表達(dá)式；

2.線圈平面處于與中性面成φ0夾角位置開始計(jì)時(shí)，如圖3所示，試寫出t時(shí)刻整個(gè)線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)e2的表達(dá)式；

3.若線圈電阻為r，求線圈每轉(zhuǎn)動(dòng)一周電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱。（其他電阻均不計(jì)）

【分析與解答】

1.（如圖4）線圈abcd轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，只有ab和cd切割磁感線，設(shè)ab、cd的轉(zhuǎn)動(dòng)速度為v，則v=ω。在t時(shí)刻，導(dǎo)線ab和cd因?yàn)榍懈畲鸥芯€產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)方向相同，大小均為E1=BL1v2。由圖象可知，v⊥=vsinωt。整個(gè)線圈在t時(shí)刻產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：e1=2E1=BL1L2ωsinωt。

2.當(dāng)線圈由圖2位置開始轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，在t時(shí)刻線圈的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為e2=BL1L2ω

sin（ωt+φ0）。

3.由閉合電路的歐姆定律，得I=。E為線圈中產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的有效值，E==。線圈轉(zhuǎn)動(dòng)一周在R上產(chǎn)生的焦耳熱Q=I2RT，其中T=，所以Q=πRω（）2。

【說明】本題考查了交流電流的產(chǎn)生和變化規(guī)律以及交流電路中熱能的計(jì)算，主要運(yùn)用到了數(shù)學(xué)里的正弦函數(shù)來處理物理問題。不僅正弦交流電的電動(dòng)勢(shì)和電流瞬時(shí)值，機(jī)械振動(dòng)的位移時(shí)間關(guān)系、機(jī)械波波動(dòng)圖象等，這些周期性的復(fù)雜的過程用正余弦函數(shù)表示卻會(huì)變得非常簡(jiǎn)單明了。

二、不等式法在高中物理中的應(yīng)用

例1：（2010高考理綜）在一次國際城市運(yùn)動(dòng)會(huì)中，要求運(yùn)動(dòng)員從高為H的平臺(tái)上A點(diǎn)由靜止出發(fā)。沿著動(dòng)摩擦因數(shù)為μ的滑道向下運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)后水平滑出，最后落在水池中。設(shè)滑道的水平距離為L(zhǎng)，B點(diǎn)的高度h可由運(yùn)動(dòng)員自由調(diào)節(jié)（取g=10 m/s2）。求：

（1）運(yùn)動(dòng)員到達(dá)B點(diǎn)的速度與高度h的關(guān)系；

（2）運(yùn)動(dòng)員要達(dá)到最大水平運(yùn)動(dòng)距離，B點(diǎn)的高度h應(yīng)調(diào)為多大？對(duì)應(yīng)的最大水平距離SBH為多少？

（3）若H=4m，L=5m，動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2，則水平運(yùn)動(dòng)距離要達(dá)到7m，h值應(yīng)為多少？

【分析與解答】

.

【說明】很明顯，在第二問中就用到了不等式求極值的方法，而第二步的結(jié)論又直接影響到了第三問的解答，所以數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用是本題的一個(gè)難點(diǎn)，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)方法的重要性。

例2：（2012廣東理綜，36）圖5所示的裝置中，小物塊A、B質(zhì)量均為m，水平面上PQ段長(zhǎng)為l，與物塊間的動(dòng)摩擦因素為u，其余段光滑。初始時(shí)，擋板上的輕質(zhì)彈簧處于原長(zhǎng)；長(zhǎng)為r的連桿位于圖中虛線位置；A緊靠滑桿（A、B間距大于2r）。隨后，連桿以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，帶動(dòng)滑桿做水平運(yùn)動(dòng)，滑桿的速度—時(shí)間圖象如圖6所示。A在滑桿推動(dòng)下運(yùn)動(dòng)，并在脫離滑桿后與靜止的B發(fā)生完全非彈性碰撞。

（1）求A脫離滑桿時(shí)的速度v0及A和B碰撞過程的機(jī)械能損失ΔE。

（2）如果AB不能與彈簧相碰，設(shè)AB從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到停止所用的時(shí)間為t1，求ω的取值范圍，及t1與ω的關(guān)系式。

（3）如果AB能與彈簧相碰，但不能返回到P點(diǎn)左側(cè)，設(shè)每次壓縮彈簧過程中彈簧的最大彈性勢(shì)能為Ep，求ω的取值范圍，及Ep與ω的關(guān)系式（彈簧始終在彈性限度內(nèi)）。

【分析解答】

【說明】本題是一道很典型物理問題與不等式結(jié)合的題目，主要在臨界情況應(yīng)用不等式極值。不等式不僅在運(yùn)動(dòng)學(xué)題目中應(yīng)用廣泛，在電學(xué)題目中也占有很大的比重。有時(shí)不等式不僅用于求解物理量的范圍，還在分析物理的動(dòng)力學(xué)過程中起著重要作用。

例3：在豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題分析。

物體在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)是一種典型的變速曲線運(yùn)動(dòng)，該類運(yùn)動(dòng)常有臨界問題，并伴有“最大”“最小”“剛好”等詞語，常分析兩種模型——輕繩模型和輕桿模型，分析如下表所示：

【說明】由以上例子可見不等式不僅在求解范圍極限這樣的題型中用到，在一些臨界情況的分析中不等式法更有得天獨(dú)厚的優(yōu)勢(shì)，可見不等式與物理的結(jié)合能力也是學(xué)生分析問題時(shí)必不可少的。

三、極值法在高中物理中的應(yīng)用

例1：一輛汽車在十字路口等候綠燈，當(dāng)綠燈亮?xí)r汽車以3m/s2的加速度開始行駛。恰在這時(shí)一輛自行車以6m/s的速度勻速駛來，從后邊趕過汽車。汽車從路口開動(dòng)后，在追上自行車之前過多長(zhǎng)時(shí)間兩車相距最遠(yuǎn)？此時(shí)距離是多少？

【分析與解答】

經(jīng)過時(shí)間t后，自行車做勻速運(yùn)動(dòng)，其位移為s1=vt①

汽車做勻加速運(yùn)動(dòng)，其位移為s2=at2②

兩車相距為：Δs=s1-s2=vt-at2=6t-t2③

因?yàn)樯鲜绞且粋€(gè)關(guān)于t的二次函數(shù)，因二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)值，故Δs有最大值。

當(dāng)t=-==2s時(shí)④

Δs有最大值。

例2：如圖7所示，底邊恒定為b，當(dāng)斜面與底邊所成夾角為多大時(shí)，物體沿此光滑斜面由靜止從頂端滑到底端所用時(shí)間最短？

【分析與解答】設(shè)斜面傾角為θ時(shí)，斜面長(zhǎng)為S，物理受力如圖8所示，由圖知

【說明】以上兩例分別是利用二次函數(shù)公式求極值、利用三角函數(shù)的有界性求極值。物理知識(shí)和數(shù)學(xué)知識(shí)靈活地結(jié)合，為解決物理學(xué)中的極值問題提供了方便，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)方法在處理物理問題上的優(yōu)越性。

四、幾何知識(shí)在高中物理中的應(yīng)用

例1：如圖9所示，在懸點(diǎn)O處用長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)繩拉著質(zhì)量為m的小球，小球在半徑為R的光滑半球面靜止，已知懸點(diǎn)離半球面的豎直高度為h，試求半球?qū)π∏虻闹С至屠K對(duì)小球的拉力。

【分析與解答】小球的受力如圖五所示，三個(gè)力中任意兩個(gè)力都不垂直，且三個(gè)力構(gòu)成的三角形中各角都是未知的，但是三角形的的各邊長(zhǎng)度已知。

說明：由于三個(gè)力構(gòu)成的三角形各角都是未知的，所以三角形邊角關(guān)系法、正交分解法均不適用于此題，但是，ΔO′OA中各邊長(zhǎng)度已知，所以運(yùn)用相似三角形法可將問題解決。

例2：房?jī)?nèi)高處有白熾燈S（點(diǎn)光源），如果在S所在位置沿著垂直墻壁BC的方向扔出一個(gè)小球A，如圖11所示，請(qǐng)描述A在BC上的影子沿著BC的運(yùn)動(dòng)情況。

由于影子的高度H′與時(shí)間的一次方成正比，所以影子做勻速直線運(yùn)動(dòng)。

【說明】本題解題的關(guān)鍵是畫出光路圖，在幾何關(guān)系中找準(zhǔn)關(guān)系，然后應(yīng)用物理規(guī)律解決，光學(xué)中的絕大多數(shù)題目都不可避免地要應(yīng)用幾何知識(shí)，本題就是一個(gè)典型的例子。

五、數(shù)列知識(shí)、比例法在高中物理中的應(yīng)用

例1：（2011重慶理綜，25）某儀器用電場(chǎng)和磁場(chǎng)來控制電子材料表面上方的運(yùn)動(dòng)，如圖所示，材料表面上方矩形區(qū)域PP′N′N充滿豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)，寬度為d；矩形區(qū)域NN′M′M充滿垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)強(qiáng)度為B，廠為3s，寬為s；NN′為磁場(chǎng)和電場(chǎng)之前的薄隔離層。一個(gè)電荷量為e、質(zhì)量為m、初速度為零的電子，從P點(diǎn)開始被電場(chǎng)加速經(jīng)隔離層垂直進(jìn)入磁場(chǎng)，電子每次穿越隔離層，運(yùn)動(dòng)方向不變，其動(dòng)能損失是每次穿越前動(dòng)能的10%，最后電子僅能從磁場(chǎng)邊界M′N′飛出。不計(jì)電子所受重力。

（1）求電子第二次與第一次圓周運(yùn)動(dòng)半徑之比；

（2）求電場(chǎng)強(qiáng)度的取值范圍；

（3）A是M′N′的中點(diǎn)，若要使電子在A、M′間垂直于AM′飛出，求電子在磁場(chǎng)區(qū)域中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間。

【分析與解答】

（1）設(shè)圓周運(yùn)動(dòng)的半徑分別為R1、R2、……、Rn、Rn+1…，第一和第二次圓周運(yùn)動(dòng)速率分別為v1和v2，動(dòng)能分別為Ek1和Ek2。

【說明】該題主要考查帶電粒子在分離的電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，輔助考查在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界問題。本題的解答運(yùn)用到了數(shù)列知識(shí)和不等式的知識(shí)。在習(xí)題教學(xué)中運(yùn)用數(shù)列法解題時(shí)，必須根據(jù)物理原理，先確定其中某幾項(xiàng)（前幾項(xiàng)或后幾項(xiàng)），然后用遞推的方法找出其通用公式，確定物理規(guī)律。涉及數(shù)列知識(shí)的題目多數(shù)在直線運(yùn)動(dòng)中出現(xiàn)，復(fù)雜的但有規(guī)律的運(yùn)動(dòng)或者動(dòng)量中多次碰撞的情況也涉及數(shù)列知識(shí)。

例2：列車從車站出發(fā)做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，一位旅客站在站臺(tái)上列車的最前端，測(cè)得第一節(jié)車廂經(jīng)過他身旁的時(shí)間是3秒，假設(shè)各節(jié)車廂長(zhǎng)度相同且不計(jì)車廂連接處的長(zhǎng)度，則第9節(jié)車廂經(jīng)過他身旁需要多少時(shí)間？

【說明】本題按照常規(guī)的解法計(jì)算會(huì)相當(dāng)麻煩，但是利用比例的方法就能很簡(jiǎn)單地解決，這就要求學(xué)生具有對(duì)數(shù)學(xué)表達(dá)的深刻觀察力和善于利用比例的能力。

教學(xué)實(shí)踐證明，數(shù)學(xué)方法在高中物理中的應(yīng)用無論是過去、現(xiàn)在還是將來都扮演著十分重要的角色。在處理物理問題時(shí)，若能充分借助數(shù)學(xué)工具的作用，則對(duì)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和創(chuàng)新能力，提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力起到積極的作用?？傊?，在物理教學(xué)中有效地利用數(shù)學(xué)，數(shù)理結(jié)合，能提升高中物理教學(xué)的有效性。因此，我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)實(shí)踐中，應(yīng)從分析物理現(xiàn)象著手，把物理、數(shù)學(xué)知識(shí)有機(jī)結(jié)合起來，融會(huì)貫通，培養(yǎng)學(xué)生的綜合應(yīng)用能力。

（責(zé)編 林 劍）