張茂柱

摘 要：本文從采用啟發(fā)式教學(xué)方法、結(jié)合實際應(yīng)用背景、與同類課程比較聯(lián)系三個方面闡述了如何提高成教學(xué)生學(xué)習(xí)實變函數(shù)的積極性。

關(guān)鍵詞：實變函數(shù)；啟發(fā)式教學(xué)；微積分

在現(xiàn)代社會中，成人基于其認知興趣、職業(yè)發(fā)展、社會服務(wù)等學(xué)習(xí)動機，通過各種正規(guī)、非正規(guī)的途徑獲取新的知識和技能，從而使知識結(jié)構(gòu)發(fā)生變化。在高等院校成人教育數(shù)學(xué)專業(yè)中，實變函數(shù)是一門重要的專業(yè)基礎(chǔ)課程，對于掌握近代抽象分析的基本思想、提高抽象思維能力和數(shù)學(xué)表達能力、加深對數(shù)學(xué)分析知識的理解、深化對中學(xué)數(shù)學(xué)有關(guān)內(nèi)容的認識有著深遠的影響。

然而，實變函數(shù)理論的抽象性和困難性，使得學(xué)生學(xué)習(xí)難度很大。另外，基于成人教育學(xué)生的現(xiàn)狀，學(xué)生不可能對這種高度抽象的理論感興趣。因此，有必要改變傳統(tǒng)的教學(xué)方法，以提高學(xué)生學(xué)習(xí)實變函數(shù)的積極性。

一、采用啟發(fā)式教學(xué)方法，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣

實變函數(shù)研究的主要對象是勒貝格積分理論，此積分理論的建立經(jīng)歷了很長的奠基過程，包括集合理論、測度理論、可測函數(shù)理論等，從而進一步建立了新的積分理論。但只是籠統(tǒng)地這樣解釋對學(xué)生而言過于抽象，我們可以通過提出問題，一步步地引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)相關(guān)理論。如在數(shù)學(xué)分析中見過的Dirichlet函數(shù)，它不是連續(xù)函數(shù)也不是可積函數(shù)，但是我們發(fā)現(xiàn)函數(shù)值為1的點集為有理點集，函數(shù)值為0的點集為無理點集。這兩個集合很不規(guī)則，那么這些集合是否可測量？如果可測量的話，如何度量這些不規(guī)則的集合的“長度”呢？這就是集合的可測性問題。接下來，我們利用可測集研究函數(shù)的性質(zhì)，得到了一類較廣泛的函數(shù)類——可測函數(shù)。這一函數(shù)不是Riemann可積的，能否建立新的積分理論來研究此類函數(shù)的可積性？通過這一系列的講解，讓學(xué)生明白實變函數(shù)是數(shù)學(xué)分析的推廣和繼續(xù)，是近代分析數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)理論，具有重要的理論價值。

在課堂教學(xué)中穿插一些數(shù)學(xué)典故、名人故事和一些定理證明來龍去脈的講授，能大大提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。比如我們在講授實變函數(shù)的產(chǎn)生的時候，就從如下的數(shù)學(xué)問題開始討論“連續(xù)函數(shù)除個別點以外是可微的”是否正確？維爾斯特拉斯就構(gòu)造了一個函數(shù)并且證明了這個函數(shù)在任何一點都不可導(dǎo)，這個結(jié)論促使人們研究函數(shù)的更多性質(zhì)，哪些函數(shù)是連續(xù)的，哪些函數(shù)是可導(dǎo)的，哪些函數(shù)是可以積分的，是否要修改積分的定義等等，這就促使了實變函數(shù)的誕生。也可以在講授積分內(nèi)容的時候引入勒貝格和黎曼的一些經(jīng)典典故來提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

二、結(jié)合實際講解相關(guān)理論，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性

實變函數(shù)的概念多而雜，學(xué)生學(xué)習(xí)起來感覺枯燥無味。如果能在教學(xué)中加入一些恰當?shù)膽?yīng)用實例，讓成人學(xué)生感覺到復(fù)雜定義背后深刻的應(yīng)用背景，這樣容易激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動性，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的效果。如在講到有限函數(shù)與非有限函數(shù)時，學(xué)生容易對在某點取值為無窮的函數(shù)感到困惑，認為不可能存在這樣的函數(shù)，并且這在中小學(xué)是不可能的一件事。事實上，這樣的函數(shù)確實存在，如在量子力學(xué)中的無限深方勢阱函數(shù)v（x）=0，0

在教學(xué)中，還可酌情增加部分內(nèi)容讓學(xué)生體會所學(xué)內(nèi)容與生活聯(lián)系。比如在講授康托集的時候，可以提問我國的海岸線有多長、雪花的周長等于多少等系列問題，進一步引出維數(shù)是否都是整數(shù)；通過提問如何描述測量時的尺度等引出法國數(shù)學(xué)家芒德勃羅所開創(chuàng)的現(xiàn)代非常流行的現(xiàn)代分形幾何學(xué)；在描述測度和積分的時候，可以引入隨機測度和伊藤積分等內(nèi)容，隨機微分方程是現(xiàn)代金融數(shù)學(xué)的一個十分重要的工具，利用它可以建立期貨、股票、債卷等金融衍生工具的研發(fā)模型，預(yù)測一些重要的經(jīng)濟形勢和走向；在討論空間理論時，可以引出索伯列夫空間理論，通過構(gòu)造合適的空間并建立相應(yīng)的完備化理論，簡單介紹山路引理等現(xiàn)代變分理論在研究哈密頓系統(tǒng)周期解方面取得的進展。

三、與數(shù)學(xué)分析、點集拓撲學(xué)等課程類比聯(lián)系，加深學(xué)生對概念理論的理解

實變函數(shù)是數(shù)學(xué)分析的深化和擴展，是在更廣闊的背景下討論微積分的課題。因此，在學(xué)習(xí)類似概念的時候要注意它們之間的聯(lián)系與區(qū)別。例如：幾乎處處成立、基本成立，可測函數(shù)列的幾種收斂以及積分的極限定理等，特別是一致收斂、依測度收斂的概念等數(shù)學(xué)分析當中已有部分例子，理解好上述例子后，實變函數(shù)課程當中的定義證明就變得相當明了和直觀。同時，建議學(xué)生通過比較學(xué)習(xí)Lebesgue積分的定義、性質(zhì)，最后歸納出與Riemann積分的異同以及二者之間的關(guān)系。學(xué)生會發(fā)現(xiàn)實變函數(shù)里也有重積分、累次積分、變上限積分求導(dǎo)以及微積分基本公式等內(nèi)容，理解起來就相對容易。

參考文獻：

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[2]江澤堅.實變函數(shù)論[M].北京：高等教育出版社，1961.

[3]曹廣福，等.實變函數(shù)論與泛函分析[M].北京：高等教育出版社，2004.