等差、等比數(shù)列的綜合，數(shù)列求和

（★★★★）必做1 在等比數(shù)列{a}中，公比q≠1，等差數(shù)列滿足b=a=3，b=a，b=a.

（1）求數(shù)列{a}與的通項(xiàng)公式；

（2）記c=（-1）nbn+a，求數(shù)列{c}的前n項(xiàng)和S.

[牛刀小試]

破解思路 第（1）問求兩個(gè)基本數(shù)列的通項(xiàng)，“基本數(shù)列（等差、等比數(shù)列）、基本量（（a，d）和（a，q））、基本公式（通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式）、基本思想（方程思想）”是解決這些問題的經(jīng)典方法. （2）求數(shù)列前n項(xiàng)和，{a}是等比數(shù)列，數(shù)列{c}不是基本數(shù)列，可以先分組.觀察數(shù)列（-1）nbn，發(fā)現(xiàn)前后兩項(xiàng)合并可以產(chǎn)生常數(shù)數(shù)列，但最后項(xiàng)數(shù)的奇、偶不確定，所以要分類討論；或者分奇、偶項(xiàng)按符號(hào)分別求和.

精妙解法 （1）設(shè)等比數(shù)列{a}的公比為q，等差數(shù)列的公差為d.

由已知得：a=3q，a=3q2，b=3+3d，b=3+12d，

3q=3+3d，

3q2=3+12d ?q=1+d，

q2=1+4d?q=3或q=1（舍去），所以d=2.

所以a=3n，b=2n+1.

（2）由題意得c=（-1）nbn+a=（-1）·（2n+1）+3，

所以S=c+c+…+c=（-3+5）+（-7+9）+…+（-1）n-1（2n-1）+（-1）（2n+1）+3+32+…+3n.

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，得S=n+=+n-；

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，得S=n-1-（2n+1）+=-n-.

（★★★★）必做2 數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和為S，若a=3，S和S滿足等式S=S+n+1.

（1）求S的值；

（2）求證：數(shù)列

是等差數(shù)列；

（3）若數(shù)列滿足b=a·2，求數(shù)列的前n項(xiàng)和T；

（4）設(shè)c=，求證：c+c+···+c>.

破解思路 第（1）問一般難度不大，主要是引導(dǎo)進(jìn)一步理解題意，同時(shí)為后面的求解做一些準(zhǔn)備.這里問題中{S}是由S構(gòu)成的數(shù)列，S是數(shù)列的項(xiàng)，破除S總是通常意義上的前n項(xiàng)和的定式. 第（2）問是近兩年高考數(shù)列問題的常見模式，直接給出“腳手架”，只要根據(jù)條件，代入證明，不用考慮構(gòu)造等技巧，通過代數(shù)式變形即可. 第（3）問的題型模式非常明顯，一般就是“錯(cuò)位相減”的特征，這種方法主要用于求{a·b}型數(shù)列的前n項(xiàng)和，其中{a}，分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.前面完成以后，最后一問就水到渠成了.

精妙解法 （1）由已知：S=2S+2=2a+2=8.

（2）因?yàn)镾=S+n+1，兩邊同除以n+1，則有-=1. 又=3，所以

是以3為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.

（3）由（2）可知，=3+（n-1）=n+2，所以S=n2+2n（n∈N?）.

當(dāng)n=1時(shí)，a=3；當(dāng)n≥2時(shí)，a=S-S=2n+1.

檢驗(yàn)：當(dāng)n=1時(shí)，亦滿足上式，所以a=2n+1（n∈N?）.

所以b=a·2，所以b=（2n+1）22n+1，T=b+b+…+b+b.

所以T=3·23+5·25+…+（2n-1）·22n-1+（2n+1）·22n+1 ①，

22T=3·25+5·27+…+（2n-1）·22n+1+（2n+1）·22n+3 ②，

由①-②得：

-3Tn=3·23+2（25+…+22n-1+22n+1）-（2n+1）·22n+3=3·23+2·-（2n+1）·22n+3=+，

所以T=

n+·22n+3-.

（4）由（3）知c==+-·

n，

所以c+c+…+c=·+·n-·

=-+

n>-≥-=.

極速突擊 解綜合題要總攬全局，尤其要注意上一問的結(jié)論可作為下面論證的已知條件.

等差與等比數(shù)列是兩類重要的數(shù)列模型，它們的綜合運(yùn)用仍然是高考的最大熱點(diǎn)所在，高考命題專家既要依據(jù)兩類數(shù)列模型的基本知識(shí)和性質(zhì)命題，又要站在兩類數(shù)列模型所提煉出的數(shù)學(xué)思想方法上進(jìn)行拓展，做到“源于等差、等比數(shù)列，多角度考查非等差、等比數(shù)列”. 在數(shù)列求和問題中，除了公式法是常用的方法外，高考還會(huì)重點(diǎn)考查“折項(xiàng)分組法”“錯(cuò)位相減法”“倒序相加法”“裂項(xiàng)相消法”.

（1）公式法

如果一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列，就可采用對(duì)應(yīng)的公式，當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的公比是字母時(shí)，要注意分類討論.

（2）拆項(xiàng)分組法

有些數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將數(shù)列通項(xiàng)拆開或變形，可轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列或常見的數(shù)列，則先分別求和，然后合并. 要熟記公式12+22+…+n2=n·（n+1）（2n+1）.

（3）錯(cuò)位相減法

這是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和，其中{an}，{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.

（4）倒序相加法

這是在推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，也就是將一個(gè)數(shù)列倒過來排列（反序），當(dāng)它與原數(shù)列相加時(shí)若有公式可提，并且剩余項(xiàng)的和易于求得，則這樣的數(shù)列可用倒序相加法求和.

（5）裂項(xiàng)相消法

利用通項(xiàng)變形，將通項(xiàng)分裂成兩項(xiàng)的差，通過相加過程中的相互抵消，最后只剩下有限項(xiàng)的和.

數(shù)列與不等式

（★★★★）必做3 已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a}滿足a=2a+anan+1，且a+a=2a+4，其中n∈N?.

（1）求數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)數(shù)列滿足b=，是否存在正整數(shù)m，n（1

（3）令c=，記數(shù)列{c}的前n項(xiàng)和為S，其中n∈N?，證明：≤S<.

[牛刀小試]

破解思路 （1）用方程思想找出a，a更明確的關(guān)系. （2）因b，b，b成等比數(shù)列，則必有b=bb，再根據(jù)自然數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行推理，此問對(duì)思維能力要求較高. （3）數(shù)列問題中的不等式證明的核心仍在數(shù)列知識(shí)，主要是通過數(shù)列求和然后適度放縮達(dá)到證明的要求.

精妙解法 （1）因?yàn)閍=2a+anan+1，即（a+a）（2a-a）=0.

又a>0，所以有2a-a=0，即2a=a.

所以數(shù)列{a}是公比為2的等比數(shù)列.

由a+a=2a+4得2a+8a=8a+4，解得a=2 .

從而，數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式為a=2n（n∈N?）.

（2）b==，若b，b，b成等比數(shù)列，則

2=·，

即=，可得=.

所以-2m2+4m+1>0，解不等式得1-

又m∈N?，且m>1，所以m=2，此時(shí)n=12 .

故當(dāng)且僅當(dāng)m=2，n=12時(shí)，可使得b，b，b成等比數(shù)列.

（3）由已知可得c==·

=·

+

=·

+

+

，

所以S=·

+…+

+·

-

+

-

+ …+

-

=·

+·

-

=·1-

·.

又由于

n+1·=

n+1·

1+遞減，所以0<

n+1·≤

1+1·=.

所以≤·1-

·<，即≤S<.

極速突擊 通常情況下，放縮法常常被用于解決數(shù)列求和型不等式問題.其求解途徑一般有兩條：一是先求和再放縮，二是先放縮再求和.對(duì)于第一種途徑，需要該數(shù)列的前n項(xiàng)和能直接求出，或者通過變形后求出.求和過程中，一般需用到等差、等比求和公式或者使用分組、裂項(xiàng)、錯(cuò)位相減、倒序相加等方法.然而有的情況，數(shù)列是不能直接求和的，因此必須選擇第二條途徑，即先對(duì)數(shù)列進(jìn)行放縮處理，再做求和運(yùn)算.

（★★★★）必做4 設(shè)正項(xiàng)數(shù)列{a}的前項(xiàng)和是S，若{a}和{}都是等差數(shù)列，且公差相等.

（1）求{a}的通項(xiàng)公式；

（2）若a，a，a恰為等比數(shù)列的前三項(xiàng)，記數(shù)列c=，數(shù)列{c}的前n項(xiàng)和為T，求證：對(duì)任意n∈N?，都有T<2.

破解思路 （1）根據(jù)基本數(shù)列、通項(xiàng)公式可解；（2）由（1）的結(jié)果可得c=，數(shù)列{c}不是基本數(shù)列，一些基本方法也不能使用.數(shù)列問題中不等式的證明一般有三種情形：先求和再適當(dāng)放縮；先放縮再求和；利用函數(shù)方法等.在不能直接求和時(shí)，可考慮先放縮，<==-，然后通過裂項(xiàng)抵消求和達(dá)到證明目的.

精妙解法 設(shè){a}的公差為d，則==n，且a-=0.

又d=，d≠0（若d=0，則a==0），所以d=，a==，a=.

（2）由已知b=a=，b=a=，所以b=×3n-1.

因?yàn)閏=，可得c=.

故當(dāng)n≥2時(shí)，可得<==-，

所以當(dāng)n≥2時(shí)，T=++…+<+

-+

-+…+

-=2-<2.

又因?yàn)門=<2，所以對(duì)任意n∈N?，Tn<2.

（★★★★）必做5 已知函數(shù)f（x）=ax--2lnx， f（1）=0， f（x）的圖象在x=1處的切線的斜率為0，數(shù)列{a}滿足a= f′

-n2+1，a=4.

（1）證明：對(duì)一切整數(shù)n都有a≥2n+2；

（2）試比較+++…+與的大小，并說明你的理由.

[牛刀小試]

破解思路 （1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義列方程組求出a，b，得出函數(shù)f（x）的表達(dá)式；由已知條件寫出數(shù)列{a}的遞推關(guān)系式；用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）問中的不等式. （2）利用（1）問的結(jié)論，對(duì)遞推公式通過放縮進(jìn)行化歸分析，將a+1的倒數(shù)轉(zhuǎn)化為可求和的等比數(shù)列，利用放縮所求得的和推導(dǎo)出大小.

精妙解法 （1）因?yàn)閒（1）=a-b=0?a=b，所以f（x）=ax--2lnx，

所以f′（x）=a+-.

由題意知f′（1）=0，可得a+a-2=0，解得a=1.

所以f′（x）=

-12，于是a=f′

-n2+1=a-2na+1.

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)一切整數(shù)n都有a≥2n+2成立.

①當(dāng)n=1時(shí)，a=4≥2×1+2，不等式成立；

②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，不等式a≥2k+2成立，即a-2k≥2成立.

則當(dāng)n=k+1時(shí)，a=a（a-2k）+1≥（2k+2）×2+1=4k+5>2（k+1）+2.

所以當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立.

由①②知?n∈N?時(shí)都有a≥2n+2成立.

（2）由（1）得a=a（a-2n+2）+1≥a[2（n-1）+2-2n+2]+1=2a+1（?n∈N?，n≥2），

于是a+1≥2（a+1）對(duì)?n∈N?，n≥2成立，

所以a+1≥2（a+1），a+1≥2（a+1），…，a+1≥2（a+1）成立.

累乘可得：a+1≥2n-1（a+1），則有≤·成立（?n∈N?，n≥2）.

所以+++…+≤

1++

+…+

=1-

<.

放縮的方法有如下兩種：

①拆分放縮，糾正偏差. 放縮量的多少直接影響我們能否達(dá)到預(yù)證目標(biāo)，那么怎么控制放縮量呢？我們可按照一定的規(guī)律和需求，調(diào)整“間距”，使放縮的量精細(xì)化，即將放大過頭的量砍去，縮小過多的量補(bǔ)上.如同做菜一樣，把握好火候很重要.不同的菜對(duì)火的大小要求不一，炒菜需要大火爆炒，燉湯則需要小火慢燉.

②限項(xiàng)放縮，糾正偏差. 若每一項(xiàng)都放大或縮小一點(diǎn)點(diǎn)，累積起來就會(huì)擴(kuò)大或縮小很多，這將導(dǎo)致放縮結(jié)果出現(xiàn)偏差.若適度減少放縮的項(xiàng)，保留更多的項(xiàng)不被放縮，則可以糾正偏差，逐步逼近預(yù)證目標(biāo).

數(shù)列與解析幾何

（★★★★）必做6 已知函數(shù)f（x）=xk+b（其中k，b∈R且k，b為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（4，2），B（16，4）. P，P，P，…，P，…是函數(shù)f（x）圖象上的點(diǎn)，Q，Q，Q，…，Q，…是x正半軸上的點(diǎn).

（1）求f（x）的解析式；

（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，△OQP，△QQP，…，△QQP，…是一系列正三角形 ，記它們的邊長是a，a，a，…，a，…，求數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式；

（3）在（2）的條件下，數(shù)列滿足b=，記的前n項(xiàng)和為S，證明：S<.

[牛刀小試] 破解思路 綜合性問題必須化整為零、分而治之. （1）利用待定系數(shù)法直接求解. （2）數(shù)列與解析幾何的綜合問題，往往是數(shù)列遞推，需要數(shù)形結(jié)合剝除幾何的外衣，回歸數(shù)列的本質(zhì). 可以先求出a，a，a，找出數(shù)列規(guī)律，重要的是在特殊項(xiàng)的求解過程中理解一般項(xiàng)關(guān)系的推導(dǎo)方法，從而確定遞推關(guān)系. （3）由通項(xiàng)形式大致可以確定解題方向是“錯(cuò)位相減”，求和后放縮證明.

精妙解法 （1）2=4k+b，

4=16k+b?b=0，k=?f（x）=.

（2）由

y=，

y=x?x=?a=.

由

y=，

y=（

x-S） ?x--S=0，于是可解得x=.

將x代入a=2（x-S）=+，由此原問題轉(zhuǎn)化為

“已知

a

-2=且a=，求a”.

又

a

-2=，兩式相減可得：

a

-2-

a

-2=a，整理得：（a+a）

a

-a

-=0.

又因?yàn)閍>0，所以a-a=，從而數(shù)列{a}是以為首項(xiàng)、為公差的等差數(shù)列，即a=.

（3）b==·=·，3S=+++…+，

所以S=+++…+，

兩式相減得：S=1++++

…+-=-=2-，

整理得S=-<.

極速突擊 數(shù)列與解析幾何的綜合，往往從探究數(shù)列遞推關(guān)系開始，探究歷程往往是“探尋遞推公式→演變成通項(xiàng)公式→①數(shù)列前n項(xiàng)和的研究；②通項(xiàng)公式的延續(xù)拓展”，所以找到突破口的關(guān)鍵是要探究點(diǎn)與點(diǎn)的關(guān)系，挖掘數(shù)列的遞推關(guān)系.