章少川

隨機(jī)事件的概率

（★★★★）必做1 袋子中放有大小和形狀相同的小球若干，其中標(biāo)號(hào)為0的小球1個(gè)，標(biāo)號(hào)為1的小球1個(gè)，標(biāo)號(hào)為2的小球n個(gè)，已知從袋子隨機(jī)抽取1個(gè)小球，取到標(biāo)號(hào)為2的小球的概率是.

（1）求n的值；

（2）從袋子中不放回地隨機(jī)抽取2個(gè)球，記第一次取出的小球標(biāo)號(hào)為a，第二次取出的小球標(biāo)號(hào)為b.

①記“a+b=2”為事件A，求事件A的概率；

②在區(qū)間[0，2]內(nèi)任取2個(gè)實(shí)數(shù)x，y，求事件“x2+y2>（a-b）2恒成立”的概率.

[牛刀小試]

破解思路 第（1）問n值可通過“等概率性”直接求解. 第（2）問第①小題基本事件數(shù)為有限個(gè)，屬于古典概型問題，可分為第一次取0號(hào)球，第二次取2號(hào)球；第一次取2號(hào)球，第二次取0號(hào)球兩種情況來求概率. 第②小題中x，y兩個(gè)數(shù)都在連續(xù)的區(qū)間內(nèi)取，基本事件數(shù)為無限個(gè)，屬于“測(cè)度”為面積的幾何概型問題.

精妙解法 （1）由題意可得==，解得n=2.

（2）①由于是不放回抽取，事件A只有兩種情況：第一次取0號(hào)球，第二次取2號(hào)球；第一次取2號(hào)球，第二次取0號(hào)球. 所以P（A）===.

②記“x2+y2>（a-b）2恒成立”為事件B，則事件B等價(jià)于“x2+y2>4恒成立.

（x，y）可以看成平面中的點(diǎn)，則全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)棣?{（x，y）

0≤x≤2，0≤y≤2，x，y∈R}，

而事件B構(gòu)成的區(qū)域B={（x，y）

x2+y2>4，（x，y）∈Ω}，所以P（B）==1-.

誤點(diǎn)警示 古典概型中的基本事件數(shù)一般通過分類求解，要注意“有放回與無放回”的區(qū)別，也要注意“有序與無序”的區(qū)別；利用幾何概型求概率時(shí)，要注意尋找試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域，更要注意準(zhǔn)確判定“測(cè)度”是面積型還是長(zhǎng)度型.

（★★★★）必做2 某人居住在城鎮(zhèn)的A處，準(zhǔn)備開車到單位上班，若該地各路段發(fā)生堵車事件都是相互獨(dú)立的，且在同一路段發(fā)生堵車事件最多只有一次，發(fā)生堵車時(shí)間的概率如圖1（例如A→C→D算兩個(gè)路段：路段AC發(fā)生堵車事件的概率為，路段CD發(fā)生堵車事件的概率為）.請(qǐng)你為其選擇一條由A至B的線路，使途中發(fā)生堵車的概率最小.

[E][F][B][A][C][D][][][][][][][]

圖1

[牛刀小試]

精妙解法 由A至B的線路有三種選擇：A→C→D→B，A→C→F→B，A→E→F→B. 按線路A→C→D→B來走，發(fā)生堵車的可能包括：三個(gè)路段中恰有一個(gè)發(fā)生堵車，或恰有兩個(gè)發(fā)生堵車，或三個(gè)均發(fā)生堵車，其反面為三個(gè)路段均不發(fā)生堵車事件. 故途中發(fā)生堵車的概率為：1-

1-·1-

1-

=. 同理，按線路A→C→F→B來走，途中發(fā)生堵車的概率為：1-

1-1-

1-

=；按線路A→E→F→B來走，途中發(fā)生堵車的概率為：1-1-

1-

·1-

=. 由于>>，故選擇A→C→F→B的線路，途中發(fā)生堵車的概率最小.

（★★★★★）必做3 從裝有2只紅球，2只白球和1只黑球的袋中逐一取球，已知每只球被抽取的可能性相同.

（1）若抽取后又放回，抽3次，分別求恰2次為紅球的概率及抽全三種顏色球的概率；

（2）若抽取后不放回，求抽完紅球所需次數(shù)不少于4次的概率.

[牛刀小試]

破解思路 本題是典型的古典概型摸球問題.基本事件數(shù)的求解一定要注意“有放回與無放回”的區(qū)別，也要注意“有序與無序”的區(qū)別. 第（1）問是3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生2次的概率問題；而“三種顏色抽全”的有序排列共有A=6種，要防止誤錯(cuò)為組合數(shù)來求解. 第（2）問是含“不少于”“至多”“至少”型題目，要理清各種可能的結(jié)果再求解，有時(shí)用間接法處理更為簡(jiǎn)潔.

精妙解法 （1）抽1次得到紅球的概率為，得白球的概率為，得黑球的概率為.

所以恰2次為紅色球的概率為P=C

2·=，抽全三種顏色的概率P=

×

×·A=.

（2）抽完紅球所需的次數(shù)不少于4次有以下兩種情況：

第一種，抽完紅球所需的次數(shù)為4次時(shí)，P=·=.

第二種，抽完紅球所需的次數(shù)為5次時(shí)，P==.

所以抽完紅球所需的次數(shù)不少于4次的概率為：P=P+P=+=.

離散型隨機(jī)變量的分布列、期望與方差

（★★★★★）必做4 市職教中心組織廚師技能大賽，大賽依次設(shè)基本功（初賽）、面點(diǎn)制作（復(fù)賽）、熱菜烹制（決賽）三個(gè)輪次的比賽，已知某選手通過初賽、復(fù)賽、決賽的概率分別是，，，且各輪次通過與否相互獨(dú)立.

（1）設(shè)該選手參賽的輪次為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（2）對(duì)于（1）中的ξ，設(shè)“函數(shù)f（x）=3sinπ（x∈R）是偶函數(shù)”為事件D，求事件D發(fā)生的概率.

[牛刀小試]

破解思路 本例以實(shí)際問題為背景，考查離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.第（1）問較基礎(chǔ)，隨機(jī)數(shù)分類較好把握，概率求解考查獨(dú)立事件的概率.可用恰當(dāng)字母表示題中有關(guān)事件，將需要計(jì)算概率的事件表示為所設(shè)事件的乘積或若干個(gè)乘積之和，再利用乘法公式計(jì)算概率. 第（2）問聯(lián)系三角函數(shù)的性質(zhì)，有一定的綜合性，但實(shí)際不難，屬于古典概型問題.

精妙解法 （1）ξ可能取值為1，2，3.

記“該選手通過初賽”為事件A，“該選手通過復(fù)賽”為事件B.

P（ξ=1）=P（）=1-=；

P（ξ=2）=P（A）=P（A）P（）=×

1-=；

P（ξ=3）=P（AB）=P（A）P（B）=×=.

所以ξ的分布列為：

[ξ＼&1＼&2＼&3＼&P＼&＼&＼&＼&]

ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=1×+2×+3×=.

（2）當(dāng)ξ=1時(shí)， f（x）=3sinπ=3sin

x+=3cosx， f（x）為偶函數(shù)；

當(dāng)ξ=2時(shí)， f（x）=3sinπ=3·sin

x+π=-3sinx， f（x）為奇函數(shù)；

當(dāng)ξ=3時(shí)， f（x）=3sinπ=3·sin

x+π=-3cosx， f（x）為偶函數(shù). 所以事件D發(fā)生的概率是.

極速突擊 求離散型隨機(jī)變量ξ的分布列、均值和方差的一般步驟：①理解ξ的意義，寫出ξ可能取值的全部值；②求出ξ取每個(gè)值的概率；③寫出ξ的分布列；④由均值的定義求出Eξ；⑤由方差的定義求Dξ.

（★★★★★）必做5 形狀如圖2所示的三個(gè)游戲盤中（圖①是正方形，M，N分別是所在邊中點(diǎn)，圖②是半徑分別為2和4的兩個(gè)同心圓，O為圓心；圖③是正六邊形，點(diǎn)P為其中心）各有一個(gè)玻璃小球，依次搖動(dòng)三個(gè)游戲盤后，將它們水平放置，就完成了一局游戲.

[M][N][O][P][①][②][③][圖2]

（1）一局游戲后，這三個(gè)盤中的小球都停在陰影部分的概率是多少？

（2）用隨機(jī)變量ξ表示一局游戲后，小球停在陰影部分的事件數(shù)與小球沒有停在陰影部分的事件數(shù)之差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望.

[牛刀小試]

破解思路 解決本題的關(guān)鍵首先要理解好題意，將其歸結(jié)為“測(cè)度”為面積的幾何概型；另外一定要認(rèn)真審題.

精妙解法 （1）“一局游戲后，這三個(gè)盤中的小球停在陰影部分”分別記為事件A1，A2，A3 .

由題意知，A1，A2，A3互相獨(dú)立，且P（A1）=，P（A2）=，P（A3）=，

所以“一局游戲后，這三個(gè)盤中的小球都停在陰影部分”的概率為P（A1A2A3）=P（A1）P（A2）P（A3）=××=.

（2）一局游戲后，這三個(gè)盤中的小球停在陰影部分的事件數(shù)可能是0，1，2，3，相應(yīng)的小球沒有停在陰影部分的事件數(shù)可能取值為3，2，1，0，所以ξ可能的取值為1，3.

由分析可得P（ξ=3）=P（A1A2A3）+P（）=P（A1）P（A2）P（A3）+P（）P（）P（）=××+ ××=；

P（ξ=1）=1-=.

所以ξ的分布列為：

[ξ＼&1＼&2＼&P＼&＼&＼&]

數(shù)學(xué)期望Eξ=1×+3×=.

（★★★★★）必做6 甲有一個(gè)裝有x個(gè)紅球、y個(gè)黑球的箱子，乙有一個(gè)裝有a個(gè)紅球、b個(gè)黑球的箱子，兩人各自從自己的箱子里任取一球，并約定：所取兩球同色時(shí)甲勝，異色時(shí)乙勝（a，b，x，y∈N?）.

（1）當(dāng)x=y=3，a=3，b=2時(shí)，求甲獲勝的概率；

（2）當(dāng)x+y=6，a=b=3時(shí)，規(guī)定：甲取紅球獲勝得3分；取黑球獲勝得1分；甲負(fù)得0分，求甲得分的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大時(shí)的x，y值；

（3）當(dāng)x=a，y=b時(shí)，這個(gè)游戲規(guī)則公平嗎？請(qǐng)說明理由.

[牛刀小試]

破解思路 本題由課本例題改造.第（1）問是常規(guī)的古典概型的求解，甲獲勝的基本事件是甲、乙同紅或同黑. 第（2）問聯(lián)系最值問題，列出關(guān)系后，注意到x，y的整數(shù)條件，不可用均值不等式求解，應(yīng)通過消元轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)求解.第（3）問如何理解“游戲規(guī)則公平”性并轉(zhuǎn)化為概率大小問題求解是難點(diǎn)，可用作差法比較，本題還涉及分類討論的思想.

精妙解法 （1）由題意可得，甲、乙都取紅球的概率P1=×=，甲、乙都取黑球的概率P2=×=.

所以甲獲勝的概率P=P1+P2=+=.

（2）令ξ表示甲所得的分?jǐn)?shù)，則ξ的取值為0，1，3.

P（ξ=1）==；

P（ξ=3）==；

P（ξ=0）=1-P（ξ=1）-P（ξ=3）=1-=.

得ξ的分布列如下：

[ξ＼&0＼&1＼&3＼&P＼&＼&＼&＼&]

于是Eξ=0×+1×+3×=.

又x，y∈N?且x+y=6，所以1≤x≤5，且Eξ=，

故當(dāng)x=5，y=1時(shí)，Eξ的最大值為.

（3）法1：由題意，兩人各自從自己的箱子里任取一球比顏色共有C·C=（x+y）2種不同情形，每種情形都是等可能的，記甲獲勝為事件A，乙獲勝為事件B，則

P（A）==，P（B）==，

所以P（A）-P（B）=-=.

當(dāng)x=y時(shí)，P（A）=P（B），甲、乙獲勝的概率相等，這個(gè)游戲規(guī)則是公平的；

當(dāng)x≠y時(shí)，P（A）>P（B），甲獲勝的概率大于乙獲勝的概率，這個(gè)游戲規(guī)則不公平.

法2：由題意，兩人各自從自己的箱子里任取一球比顏色共有C·C=（x+y）2種不同情形，每種情形都是等可能的，記甲獲勝為事件A，則

P（A）==， 所以P（A）-=-=.

當(dāng)x=y時(shí)，P（A）=，甲獲勝的概率恰為，這個(gè)游戲規(guī)則是公平的；

當(dāng)x≠y時(shí)，P（A）>，甲獲勝的概率超過，這個(gè)游戲規(guī)則不公平.

法3：由題意，兩人各自從自己的箱子里任取一球比顏色共有C·C=（x+y）2種不同情形，每種情形都是等可能的，記乙獲勝為事件B，則

P（B）==，所以P（B）-=-=-.

當(dāng)x=y時(shí)，P（B）=，乙獲勝的概率恰為，這個(gè)游戲規(guī)則是公平的；

當(dāng)x≠y時(shí)，P（B）<，乙獲勝的概率小于，這個(gè)游戲規(guī)則不公平.

本考點(diǎn)主要考查離散型隨機(jī)變量及其分布列，考查離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望 ）與方差，但抽樣方法、樣本數(shù)字特征、頻率直方圖、計(jì)數(shù)原理等都可融入這類試題中，因此試題的綜合性較強(qiáng).試題一般以實(shí)際問題為背景，讀懂題目，理解實(shí)際問題中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)意義是解題的關(guān)鍵，準(zhǔn)確規(guī)范表達(dá)也是十分重要的.

抽樣方法與總體分布的估計(jì)

（★★★★★）必做7 某中學(xué)高三年級(jí)從甲、乙兩個(gè)班級(jí)各選出7名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，他們?nèi)〉玫某煽?jī)（滿分100分）的莖葉圖如圖3所示，其中甲班學(xué)生的平均分是85，乙班學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)是83.

（1）求x和y的值；

（2）計(jì)算甲班7位學(xué)生成績(jī)的方差s2；

（3）從成績(jī)?cè)?0分以上的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生，求甲班至少有一名學(xué)生的概率.

參考公式： 方差s2=[（x1-） 2+（x2-）2+…+（xn-）2]，其中=.

[甲][乙][5 x 0 8 1 1 y][ 8 9 7 6][ 6 2 9 1 1 6] [圖3]

[牛刀小試]

破解思路 第（1）問結(jié)合莖葉圖利用平均數(shù)和中位數(shù)這兩個(gè)概念可求出x和y的值. 第（2）問考查方差的計(jì)算公式. 對(duì)于第（3）問，先求得兩個(gè)班中90分以上的學(xué)生數(shù)，注意“至少”條件的要求，概率求解可用“列舉法”，也可用“間接法”.

精妙解法 （1）因?yàn)榧装鄬W(xué)生的平均分是85，

所以=85，解得x=5.

因?yàn)橐野鄬W(xué)生成績(jī)的中位數(shù)是83，所以y=3.

（2）甲班7位學(xué)生成績(jī)的方差為

s2=[（-6）2+（-7）2+（-5）2+02+02+72+112]=40.

（3）甲班成績(jī)?cè)?0分以上的學(xué)生有兩名，分別記為A，B；

乙班成績(jī)?cè)?0分以上的學(xué)生有三名，分別記為C，D，E.

從這五名學(xué)生任意抽取兩名學(xué)生共有10種情況：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）.

其中甲班至少有一名學(xué)生共有7種情況：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E）.

記“從成績(jī)?cè)?0分以上的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生，甲班至少有一名學(xué)生”為事件M，則P（M）=.

所以甲班至少有一名學(xué)生的概率為.

極速突擊 求解統(tǒng)計(jì)問題要善于形（直方圖、莖葉圖等）數(shù)（平均數(shù)、方差）結(jié)合；要注意頻數(shù)、頻率、概率，眾數(shù)、中位數(shù)等概念的區(qū)分，還應(yīng)明白概率統(tǒng)計(jì)是應(yīng)用數(shù)學(xué)，常與其他數(shù)學(xué)知識(shí)相結(jié)合突出其應(yīng)用性，盡管考題不難，仍要在閱讀理解上多下文章.

（★★★★）必做8 某校在2012年的自主招生考試成績(jī)中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的筆試成績(jī)，被抽取學(xué)生的成績(jī)均不低于160分，且低于185分，圖4是按成績(jī)分組得到的頻率分布直方圖的一部分（每一組均包括左端點(diǎn)數(shù)據(jù)而不包括右端點(diǎn)數(shù)據(jù)），且第3組、第4組、第5組的頻數(shù)之比依次為3∶2∶1.

[] [O] [160][165][170][175][180][185][0.01][0.02][0.03][0.04][0.06][0.07][0.08][0.05][成績(jī)][圖4]

（1）請(qǐng)完成頻率分布直方圖；

（2）為了能選拔出最優(yōu)秀的學(xué)生，該高校決定在筆試成績(jī)較高的第3組、第4組、第5組中用分層抽樣的方法抽取6名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試，求第3、4、5組每組各抽取多少名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試；

（3）在（2）的前提下，學(xué)校決定在6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生由考官A面試，求第4組至少有一名學(xué)生被考官A面試的概率.

[牛刀小試]

破解思路 （1）由各組的頻數(shù)之比可求出各組相應(yīng)的頻數(shù)，進(jìn)而求出頻率，完成直方圖即可. （2）利用分層抽樣的概念解題. （3）先求基本事件總的個(gè)數(shù)，再求滿足條件的基本事件的個(gè)數(shù)，即可得到相應(yīng)概率.

精妙解法 （1）由題意知第1、2組的頻數(shù)分別為：100×0.01×5=5，100×0.07×5=35. 故第3、4、5組的頻數(shù)之和為：100-5-35=60，從而可得其頻數(shù)依次為30，20，10，其頻率依次為0.3，0.2，0.1，其頻率分布直方圖如圖5.

[O] [160][165][170][175][180][185][0.01][0.02][0.03][0.04][0.06][0.07][0.08][0.05][][成績(jī)][圖5]

（2）由第3、4、5組共60人，用分層抽樣抽取6人. 故第3、4、5組中應(yīng)抽取的學(xué)生人數(shù)依次為：第3組：×6=3人；第4組：×6=2人；第5組：×6=1人.

（3）由（2）知共有6人（記為A1，A2，A3，B1，B2，C）被抽出，其中第4組有2人（記為B1，B2）. 有題意可知：抽取兩人作為一組共有（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C），（B1，B2），（B1，C），（B2，C）共15種等可能的情況，而滿足題意的情況有（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2），（B1，C），（B2，C）共9種，因此所求事件的概率為=.

（★★★★★）必做9 為普及高中生安全逃生知識(shí)與安全防護(hù)能力，某學(xué)校高一年級(jí)舉辦了高中生安全知識(shí)與安全逃生能力競(jìng)賽.該競(jìng)賽分為預(yù)賽和決賽兩個(gè)階段，預(yù)賽為筆試，決賽為技能比賽.先將所有參賽選手參加筆試的成績(jī)（得分均為整數(shù)，滿分為100分）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，制成如下頻率分布表.

[分?jǐn)?shù)（分?jǐn)?shù)段）＼&頻數(shù)（人數(shù)）＼&頻率＼&[60，70）＼&9＼&x＼&[70，80）＼&y＼&0.38＼&[80，90）＼&16＼&0.32＼&[90，100）＼&z＼&s＼&合 計(jì)＼&p＼&1＼&]

（1）求出上表中的x，y，z，s，p的值；

（2）按規(guī)定，預(yù)賽成績(jī)不低于90分的選手參加決賽，參加決賽的選手按照抽簽方式?jīng)Q定出場(chǎng)順序. 已知高一（二）班有甲、乙兩名同學(xué)取得決賽資格.

①求決賽出場(chǎng)的順序中，甲不在第一位、乙不在最后一位的概率；

②記高一（二）班在決賽中進(jìn)入前三名的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

[牛刀小試]

破解思路 本題是一道概率與統(tǒng)計(jì)相結(jié)合的好題.第（1）小題首先要讀懂表格的意義，利用概念求頻數(shù)、頻率、概率等. 第（2）小題第①問是關(guān)鍵，它是“有序”的排列問題，應(yīng)把“甲不在第一位、乙不在最后一位”分類為“甲在最后一位與不在最后一位”兩種情況來考慮，才不會(huì)重漏.第②問進(jìn)入前三名的人數(shù)應(yīng)在頻數(shù)為[90，100）中尋求，可根據(jù)第①問的思路分類求分布列.

精妙解法 （1）由題意， p==50，x==0.18，y=50×0.38=19，z=50-9-16-19=6，s==0.12 .

（2）由（1）知，參加決賽的選手共6人.

①設(shè)“甲不在第一位、乙不在第六位”為事件A，則P（A）==另解：P（A）=1-

=

，所以甲不在第一位、乙不在第六位的概率為.

②隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2，

則P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==.

所以，隨機(jī)變量X的分布列為：

[X＼&0＼&1＼&2＼&P＼&＼&＼&＼&]

因?yàn)镋X=0×+1×+2×=1，所以隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為1.

本考點(diǎn)以實(shí)際問題為背景，考查頻率分布直方圖、莖葉圖和用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征.要讀懂表格的意義，利用概念求頻數(shù)、頻率、概率等，進(jìn)而作出直方圖；要弄清莖葉圖中“莖”和“葉”分別代表什么；要熟練掌握眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算方法.

回歸分析與獨(dú)立性檢驗(yàn)

（★★★★★）必做10 現(xiàn)對(duì)某市工薪階層關(guān)于“樓市限購(gòu)令”的態(tài)度進(jìn)行調(diào)查，隨機(jī)抽調(diào)了50人，他們?cè)率杖氲念l數(shù)分布及對(duì)“樓市限購(gòu)令”贊成人數(shù)如下表.

[頻月收入

（單位百元）＼&頻數(shù)＼&贊成人數(shù)＼&[15，25）＼&5＼&4＼&[25，35）＼&10＼&8＼&[35，45）＼&15＼&12＼&[45，55）＼&10＼&5＼&[55，65）＼&5＼&2＼&[65，75）＼&5＼&1＼&]

（1）由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成下面2×2列聯(lián)表并問是否有99%的把握認(rèn)為月收入以5500為分界點(diǎn)對(duì)“樓市限購(gòu)令”的態(tài)度有差異；

[＼&月收入不低于55百元的人數(shù)＼&月收入低于55百元的人數(shù)＼&合計(jì)＼&贊成＼&a=＼&c=＼&＼&不贊成＼&b=＼&d=＼&＼&合計(jì)＼&＼&＼&＼&]

（2）若在[15，25），[25，35）被調(diào)查的人中各隨機(jī)選取兩人進(jìn)行追蹤調(diào)查，記選中的4人中不贊成“樓市限購(gòu)令”的人數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列.

附：K2=.[P（K2≥k）＼&0.15＼&0.10＼&0.05＼&0.01＼&k＼&2.072＼&2.706＼&3.841＼&6.635＼&]

[牛刀小試]

破解思路 本題背景為當(dāng)今熱點(diǎn)問題.第（1）問考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法，應(yīng)先從頻數(shù)分布表準(zhǔn)確求得兩組不同類變量值，代入公式計(jì)算K2，并與臨界表的數(shù)進(jìn)行比較判斷. 第（2）問考查離散型隨機(jī)量的分布列，難點(diǎn)在分解為若干個(gè)互相排斥或相互獨(dú)立、既不重復(fù)又不遺漏的簡(jiǎn)單事件解決，因?yàn)槌槿∈恰盁o序”的，可通過組合數(shù)的運(yùn)算完成此小題.

精妙解法 （1）2×2列聯(lián)表如下：

[＼&月收入不低于55百元的人數(shù)＼&月收入低于55百元的人數(shù)＼&合計(jì)＼&贊成＼&a=3＼&c=29＼&32＼&不贊成＼&b=7＼&d=11＼&18＼&合計(jì)＼&10＼&40＼&50＼&]

K2==6.27<6.635，所以沒有99%的把握認(rèn)為月收入以5500為分界點(diǎn)對(duì)“樓市限購(gòu)令”的態(tài)度有差異.

（2）ξ所有可能取值有0，1，2，3，

P（ξ=0）=·=×=，

P（ξ=1）=·+·=×+×=，

P（ξ=2）=·+·=×+×=，

P（ξ=3）=·=×=.

所以ξ的分布列為：

[ξ＼&0＼&1＼&2＼&3＼&P＼&＼&＼&＼&＼&]

本部分內(nèi)容是新課標(biāo)數(shù)學(xué)的新增內(nèi)容，主要考查線性回歸分析和獨(dú)立性檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)方法.

一般情況下，在尚未斷定兩個(gè)變量之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系的情況下，應(yīng)先進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn).在畫出散點(diǎn)圖并確認(rèn)其具有線性相關(guān)關(guān)系后，再求其回歸直線方程；由部分?jǐn)?shù)據(jù)得到的回歸直線，再對(duì)兩個(gè)變量間的線性相關(guān)關(guān)系進(jìn)行估計(jì).

獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想類似于反證明法.要確認(rèn)“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”這一結(jié)論成立的可信程度，首先假設(shè)該結(jié)論不成立，則在該假設(shè)下構(gòu)造的隨機(jī)變量K2應(yīng)該很小，如果由觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得到的K2觀測(cè)值k很大，則在一定程度上說明假設(shè)不合理.