圓錐曲線的基本性質(zhì)

（★★★★）必做1 給定橢圓C：+=1（a>b>0），稱(chēng)圓心在原點(diǎn)O，半徑為的圓是橢圓C的“準(zhǔn)圓”. 若橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為F（，0），其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到F的距離為.

（1）求橢圓C的方程和其“準(zhǔn)圓”方程；

（2）點(diǎn)P是橢圓C的“準(zhǔn)圓”上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線l1，l2，使得l1，l2與橢圓C都只有一個(gè)交點(diǎn)，且l1，l2分別交其“準(zhǔn)圓”于點(diǎn)M，N.

①當(dāng)P為“準(zhǔn)圓”與y軸正半軸的交點(diǎn)時(shí)，求l1，l2的方程；

②求證：

MN

為定值.

[牛刀小試]

精妙解法 （1）因?yàn)閏=，a=，所以b=1， 所以橢圓的方程為+y2=1，準(zhǔn)圓的方程為x2+y2=4 .

（2）①因?yàn)闇?zhǔn)圓x2+y2=4與y軸正半軸的交點(diǎn)為P（0，2）， 設(shè)過(guò)點(diǎn)P（0，2），且與橢圓有一個(gè)公共點(diǎn)的直線為y=kx+2，

所以y=kx+2，

+y2=1，消去y 得到（1+3k2）x2+12kx+9=0.

因?yàn)闄E圓與y=kx+2只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以Δ=144k2-4×9（1+3k2）=0，解得k=±1.

所以l1，l2的方程為y=x+2，y=-x+2.

②a. 當(dāng)l1，l2中有一條無(wú)斜率時(shí)，不妨設(shè)l1無(wú)斜率，

因?yàn)閘1與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，則其方程為x=或x=-，

當(dāng)l1的方程為x=時(shí)，此時(shí)l1與準(zhǔn)圓交于點(diǎn)（，1），（，-1），

此時(shí)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（，1）（或（，-1））且與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是y=1（或y=-1），即l2為y=1（或y=-1），顯然直線l1，l2垂直；同理可證l1的方程為x=-時(shí)，直線l1，l2垂直.

b. 當(dāng)l1，l2都有斜率時(shí)，設(shè)點(diǎn)P（x0，y0），其中x+y=4，

設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（x0，y0）與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線為y=t（x-x0）+y0，

則y=tx+（y0-tx0），

+y2=1，消去y得到x2+3（tx+（y0-tx0））2-3=0，

即（1+3t2）x2+6t（y0-tx0）x+3（y0-tx0）2 -3=0，

Δ=[6t（y0-tx0）]2-4·（1+3t2）[3（y0-tx0）2-3]=0，

化簡(jiǎn)得（3-x）t2+2x0y0t+1-y=0.

因?yàn)閤+y=4，所以有（3-x）t2+2x0y0t+（x-3）=0，

設(shè)l1，l2的斜率分別為t1，t2，因?yàn)閘1，l2與橢圓都只有一個(gè)公共點(diǎn)，

所以t1，t2滿足上述方程（3-x）t2+2x0y0t+（x-3）=0，

所以t1·t2=-1，即l1，l2垂直.

綜上知：因?yàn)閘1，l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（x0，y0），又分別交其準(zhǔn)圓于點(diǎn)M，N，且l1，l2垂直.

所以線段MN為準(zhǔn)圓x2+y2=4的直徑，所以

MN

=4.