劉峰

摘 要：圓錐曲線是高中數學的難點與重點，本文從課本例題出發(fā)，逐步提出問題，探究解決問題，得到一組優(yōu)美的有關動直線過定點的結論，再結合結論探討相關高考題，貼近高考，攻克高考.

關鍵詞：圓錐曲線；動直線；定點

蘇教版數學選修2-1第47頁第8題：直線y=x-2與拋物線y2=2x相交于A，B兩點，求證：OA⊥OB.

證明：設A（x1，y1），B（x2，y2），將y=x-2代入y2=2x中，得x2-6x+4=0，則x1+x2=6，x1x2=4，從而·=x1x2+y1y2=x1x2+（x1-2）·（x2-2）=2x1x2-2（x1+x2）+4=8-2×6+4=0，即OA⊥OB.

此題變式在歷年高考中多次涉及，例如：（2011湖南）如圖1，橢圓C1：+=1（a>b>0）的離心率為，x軸被曲線C2：y=x2-b截得的線段長等于C1的長半軸長.

（Ⅰ）求C1，C2的方程；

（Ⅱ）設C2與y軸的交點為M，過坐標原點O的直線l與C2相交于點A，B，直線MA，MB分別與C1相交于D，E.

（?。┳C明：MD⊥ME；（ⅱ）略.

易見該題的（Ⅱ）中第1小問與上文習題是同一題目. 做完習題，下面我們將已知條件改為OA⊥OB，看可以得到什么？經過幾何畫板的探索，可以得到：過拋物線y2=2x的頂點O作兩條互相垂直的直線，分別交拋物線于A，B兩點，則直線AB過定點（2，0）. 此時考慮對任意拋物線是否有類似性質，經探索，我們得到：

結論1：過拋物線y2=2px的頂點O作兩條互相垂直的直線，分別交拋物線于A，B兩點，則直線AB過定點（2p，0）.

證明：設A（x1，y1），B（x2，y2），設直線AB方程為x=my+b，代入y2=2px，得y2-2pmy-2pb=0，則有y1+y2=2pm，y1y2= -2pb，所以x1x2=（my1+b）（my2+b）= -2pbm2+2pbm2+b2=b2. 又因為·=x1x2+y1y2=-2pb+b2=0，所以b=0（舍）或b=2p，從而有直線AB過定點（2p，0）.

繼續(xù)思考，若直角頂點不在原點O處，變?yōu)閽佄锞€上任意一點，是否還有類似的結論成立？經探索，可以得到：

結論2：過拋物線y2=2px上的一點P（x0，y0）作兩條互相垂直的直線，分別交拋物線于A，B兩點，則直線AB過定點（x0+2p，-y0）.

證明：設A（x1，y1），B（x2，y2），設直線AB方程為x=my+b，代入y2=2px，得y2-2pmy-2pb=0，則有y1+y2=2pm，y1y2= -2pb，所以x1x2=（my1+b）（my2+b）= -2pbm2+2pbm2+b2=b2. 又因為·=（x1-x0）（x2-x0）+（y1-y0）（y2-y0）=x1x2-x0·（x1+x2）+x+y1y2-y0（y1+y2）+y=b2-x0·（2pm2+2b）+x-2pb-2pmy0+y=b2-2pm2x0-2bx0+x-2pb-2pmy0+y=b2-m2y-2bx0+x-2pb-2pmy0+2px0=（b-x0-2p-my0）（b-x0+my0）=0，所以b=x0+2p+my0或b=x0-my0.

（1）若b=x0-my0，則x=my+x0-my0，此時點P在直線AB上，矛盾；

（2）若b=x0+2p+my0，則x=my+x0+2p+my0，所以直線AB過定點（x0+2p，-y0）.

綜上，直線AB過定點（x0+2p，-y0）.

由結論2不難聯想到過圓上一點P作兩條互相垂直的直線，分別交圓于A，B兩點，則直線AB過圓的圓心. 這表明類似結論在圓與拋物線這兩類二次曲線中均成立，我們不禁要問在橢圓或雙曲線中是否有類似結論？用幾何畫板探索可得：

結論3：過橢圓+=1（a>b>0）上的一點P（x，y）作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓于A，B兩點，則直線AB過定點

，

結論4：過雙曲線-=1上的一點P（x0，y0） 作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓于A，B兩點，則直線AB過定點

在掌握上述幾個結論之后再來看如下習題： （2011江蘇）如圖6，在平面直角坐標系xOy中，M，N分別是橢圓+=1的頂點，過坐標原點的直線交橢圓于P，A兩點，其中點P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連結AC，并延長交橢圓于點B，設直線PA的斜率為k.

（1）若直線PA平分線段MN，求k的值；

（2）當k=2時，求點P到直線AB的距離d；

（3）對任意k>0，求證：PA⊥PB.

做第3小問時，從結論3出發(fā)，你是否找到新的證明方法了呢？