劉希棟

摘 要：集合語言是現代數學的基本語言，集合思想已成為現代數學的理論基礎. 學習語言最好的方法是“使用”，在教學中要創(chuàng)設使學生運用集合語言進行表達和交流的情境與機會. 本文通過具體案例談集合思想在簡易邏輯中的應用.

關鍵詞：集合思想；簡易邏輯；應用

問題提出

集合論是德國數學家康托在19世紀末創(chuàng)立的，集合是現代數學中的一個重要概念，集合語言是現代數學的基本語言. 集合思想已成為現代數學的理論基礎，與高中數學的許多內容有著廣泛的聯系，中學數學所研究的各種對象都可以看做集合或集合中的元素，使用集合語言可以簡潔、準確地表達數學的一些內容或進行數學推理. 高中數學課程將集合作為一種語言來學習，學生將學會用基本的集合語言表示有關的數學對象，發(fā)展運用數學語言進行交流的能力. 學習語言最好的方法是“使用”，在教學中要創(chuàng)設使學生運用集合語言進行表達和交流的情境與機會，以便學生在實際使用中逐漸熟悉自然語言、集合語言、圖形語言各自的特點，進行相互轉換并掌握集合語言.

“常用邏輯用語”進入高中數學課程以來，特別是在“命題及其關系”、“簡單的邏輯聯結詞”教學過程中，時不時出現一些不同的聲音. 如：命題“方程x2=1的根是x=1或x=-1”是復雜命題還是簡單命題？“全等三角形一定是相似三角形”的否定是什么？用集合思想解決這些“爭議”簡潔而準確.

例析集合思想在簡易邏輯中的應用

（一）集合思想在研究簡單命題與復合命題判斷中的應用

對下面兩個命題：

A. 魯迅的著作不是一天能讀完的；

B. 《祝福》是魯迅的著作.

《關于簡易邏輯中的兩處錯誤辨析》（中學數學教學參考（上旬），2009，7）一文指出，準確地認識、把握詞項，是準確把握傳統(tǒng)邏輯的首要前提.判斷一個詞項是否是集合詞項，就是看它是否指稱一個集合體，語境不同，詞項的指稱就有所不同. 筆者完全贊同作者觀點，本文就是受此啟發(fā). 但該文中“A中的‘魯迅的著作是一個集合詞項，B中的‘魯迅的著作是一個非集合詞項”. 筆者認為此觀點很牽強，也會帶來混亂，不敢茍同. 筆者的疑問是命題C“《復活》是魯迅的著作”中“魯迅的著作”又是否為集合詞項. 筆者認為B中的“魯迅的著作”同樣是一個集合詞項，它是一種自然語言，用集合語言敘述B就是：《祝?！贰蕒魯迅的著作}或{《祝?！穧?{魯迅的著作}，這樣命題C就是：《復活》∈{魯迅的著作}或{《復活》}?{魯迅的著作}，命題C顯然是假命題.

以上6個命題都是簡單命題.

（二）集合思想在研究命題否定中的應用

看下面命題：⑦全等三角形一定是相似三角形；⑧全等三角形是相似三角形；⑨相似三角形一定是全等三角形；⑩相似三角形是全等三角形.

《關于簡易邏輯中的兩處錯誤辨析》一文認為命題⑦與⑧的表述顯然是不同的. 筆者不同意這種觀點，兩者形式有差異，但本質相同，用集合語言表示都是{與△L全等的三角形}?{與△L相似的三角形}（兩個集合中△L是任意的同一三角形）是真命題，它的否定就是{與△L全等的三角形}?{與△L相似的三角形}，自然語言表達就是“對任一△L，存在三角形與△L全等，但與△L不相似”，這是一個是假命題，同樣命題⑨和⑩用集合語言表示都是{與△L相似的三角形}?{與△L全等的三角形}.

（三）解一個常見的小題

問題：寫出命題“若x>y，則x2>y2”的否定形式.

這是一次單元測試中的一道題，全年級一千多學生，絕大多數人學生的答案是“若x>y，則x2≤y2”，有幾個學生的答案是“存在x>y，使得x2≤y2”. 這表明這個看似簡單的問題，要讓學生真正搞明白，有一定難度.

若采用集合語言，容易解決此問題.原命題就是{（x，y）