劉宏業(yè)

摘 要：聯(lián)想是客觀事物的內(nèi)部規(guī)律和相互間關系在人們頭腦中的反映，是“由此及彼”的思維活動，是將知識有機地聯(lián)系在一起思考的思維過程. 在數(shù)學教學中，引導學生通過分析問題的條件、結(jié)論的結(jié)構(gòu)特征，引發(fā)學生聯(lián)想，讓學生在不同的知識模塊之間適時、靈活地轉(zhuǎn)換，讓學生的思維層層遞進的同時深刻體味數(shù)學知識廣泛與普遍的聯(lián)系、和諧與辯證的統(tǒng)一，從而提高學生靈活運用數(shù)學知識解決問題的能力和數(shù)學思維能力.

關鍵詞：數(shù)學教學；有效聯(lián)想；策略

在日常教學中，我們常常發(fā)現(xiàn)一些學生在碰到稍難一些的數(shù)學問題時會覺得“無從著手”，找不到解決問題的途徑，其中一個比較突出的問題就是不善于“聯(lián)想”. 愛因斯坦曾經(jīng)說過：“想象力比知識更重要”. 聯(lián)想是客觀事物的內(nèi)部規(guī)律和相互間關系在人們頭腦中的反映，是“由此及彼”的思維活動，是將知識有機地聯(lián)系在一起思考的思維過程. 數(shù)學學科本身就是一個有機聯(lián)系的整體，這種聯(lián)系不但體現(xiàn)在數(shù)學內(nèi)部知識點間的聯(lián)系上，還體現(xiàn)在數(shù)學思想方法和思維方式上. 因此，在數(shù)學教學中，若能引導學生有效變換視角、發(fā)散思維，調(diào)動大腦中的存儲信息，聯(lián)想與新知識相關的其他知識（問題、數(shù)學思想和方法），建立起它們之間的聯(lián)系，架構(gòu)從生疏到熟悉、從未知到已知的橋梁，必能在有效建構(gòu)所學知識，將其納入到知識網(wǎng)絡的同時有效拓展學生的數(shù)學思維，進一步提升學生思維的靈活性和開闊度，學生的數(shù)學理解和解題能力將會得到有效的發(fā)展. 那么，在教學實踐中，如何有效引發(fā)學生的聯(lián)想呢？筆者以例行文，談談自己的做法，與同行探討.

借助數(shù)學內(nèi)部聯(lián)系，引發(fā)學生聯(lián)想

數(shù)學本是一個有機聯(lián)系的整體.數(shù)學內(nèi)部的邏輯聯(lián)系，包括數(shù)學知識間的橫向、縱向聯(lián)系，數(shù)學問題的條件與結(jié)論之間的必然聯(lián)系，數(shù)學思想方法層面的必然聯(lián)系，為學生展開數(shù)學聯(lián)想提供了可能. 在數(shù)學課堂教學中，特別是新知識、新方法的引入過程中，通過加強新舊知識間的聯(lián)系，凸顯數(shù)學思想方法的聯(lián)系中開展教學，引發(fā)學生聯(lián)想，揭示新舊知識間、數(shù)學思想方法間的共同因素與差異所在，是實現(xiàn)知識與數(shù)學思想方法遷移的有效策略.

案例1 借助幾何模型探求數(shù)學問題案例

例1：（1）探求+的最小值；

（2）若a，b，c為實常數(shù)，實數(shù)x，y滿足ay-bx=c≠0，探求a，b，c之間滿足的關系式是什么？

對于題（1），引導學生回顧平面上兩點間的距離公式（考慮逆用公式），學生馬上聯(lián)想到式子表示A（x，y），B（a，b）兩點間的距離，從而該題即求點P（x，y）到點A（0，1）與點B（4，4）的距離之和. 對于題（2），引導學生回顧表示點A（x，y）到直線l：ay-bx=0的距離，點B（a，b）在直線l上，直線l外一點A（x，y）到直線l的距離不大于點A（x，y）到直線l上一點B（a，b）的距離，從而有=·≤，即≤1，得a2+b2≥c2.

“熟讀唐詩三百首，不會做詩也會吟.” 在平時的教學中，要指導學生加強積累. 積累多了，遇到類似的問題就容易遷移聯(lián)想到相應的思路與方法. 當然，積累不是填鴨式，不但要讓學生“知其然”，更要“知其所以然”，讓學生在潛移默化中通過同化或順應的方法將其內(nèi)化，形成知識網(wǎng)絡.

依托本原問題，引發(fā)學生聯(lián)想

教學中，我們在指導學生分析和解決問題的時候，不僅要關注問題本身，還應關注問題的背景、問題的基礎和依據(jù)，回歸問題的本原，領悟內(nèi)在的本質(zhì)問題，發(fā)掘知識的內(nèi)在關系以及基本性質(zhì)和功能，從本原問題的角度考查基本知識在知識系統(tǒng)中的地位和作用. 依托本原問題，在數(shù)學教學中要針對特定的數(shù)學問題，思考其“核心要素”或“基本構(gòu)成”，作為解決問題的首選方法，其實質(zhì)是考慮什么是該數(shù)學問題最為根本的、本質(zhì)的，從而聯(lián)想到基本的實為更為“通用”的解題方法.

案例2 一個基本不等式問題的解法聯(lián)想

例2：正數(shù)a，b滿足ab+a+b=3，求a+b的最小值.

本題在教學時，很多教師認為只需讓學生聯(lián)想a≥0，b≥0時，≥，即ab≤

，從而得3=ab+a+b≤

+（a+b），然后解關于a+b的二次不等式即可. 雖然這樣做能夠解決該題，但學生只是機械地運用均值不等式，遇到靈活一點的問題，如將“求a+b的最小值”改為“求a+2b的最小值”，許多學生就束手無策了. 因此，我們在教學時，要側(cè)重引導學生分析：問題要求a+b的最小值，而題設中給出了a+b與ab的關系式. 要求a+b，是否可以消去ab？從而聯(lián)想到均值不等式. 解題完畢后，還應引導學生進一步思考：本題中有兩個元a，b，能否利用條件消去一個元？由條件，b=>0，可得ab=a

1+

=a-1++5（其中a-1>0），再利用均值不等式即可. 此解法的本質(zhì)實為通過減元轉(zhuǎn)化為關于a的函數(shù)的最值問題，其適用性更為廣泛.

“橫看成嶺側(cè)成峰，遠近高低各不同.” 通過聯(lián)想解題，要指導學生從不同的側(cè)面分析，把握本質(zhì)，深入挖掘本原問題的內(nèi)涵要義. 只有抓住本原問題，知曉問題的核心所在，找準關鍵節(jié)點，方能如庖丁解牛，一刀下去，切中要害，從而讓學生的解題活動揮灑自如.

變換審題視角，引發(fā)學生聯(lián)想

不能不重視的是，某些數(shù)學教師過于強調(diào)數(shù)學解題的“熟能生巧”，布置大量的題目讓學生反反復復地訓練. 特別是“導學案”實施以來，教師不注重知識的生成過程的剖析，不注重例題的分析與引導的現(xiàn)象比比皆是，數(shù)學課堂儼然成了學生題目的“訓練場”. 其實，數(shù)學題目千變?nèi)f化，浩如煙海，不可能窮盡，而大量的訓練反而導致許多學生在解題時趕進度，往往習慣于從單一角度去思考問題. 如果教師不及時加以糾正，長此以往，學生發(fā)散的思維將會受到束縛，造成解題思路單一，刻板僵化，不利于學生思維能力的培養(yǎng). 因此，在課堂教學中，我們要發(fā)揮例題承載的思維訓練的示范與引領功能，通過創(chuàng)設多元化的思維環(huán)境，引導學生在細致觀察題目的基礎上，變換審題的視角，從不同的角度思考問題，并通過深入的思考展開豐富的聯(lián)想，讓學生在“橫看成嶺側(cè)成峰，遠近高低各不同”的美妙境界中領悟數(shù)學問題的精髓和實質(zhì).

案例3 變換審題視角引發(fā)聯(lián)想案例

例3 （2012年全國數(shù)學聯(lián)賽一試第2題）設△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊為a，b，c，且滿足式子acosB-bcosA=c，則的值是多少？

觀察題目條件，所給等式中有角有邊，引導學生發(fā)現(xiàn)，可化歸為邊或化歸為角的問題，從而得下面的思路1.

思路1：（利用余弦定理）由條件，a·-b·=c，即a2-b2=c2，

從而=====4.

注意到題目條件中的acosB，可將a視作直角三角形的斜邊，從而acosB即為該直角三角形的一條直角邊，借助直角三角形，利用數(shù)形結(jié)合解決問題，得思路2.

思路2：如圖1所示，過點C作CD⊥AB，垂足為D，則acosB=DB，bcosA=AD，從而由條件可得DB-AD=c，又DB+AD=c，聯(lián)立上述兩個方程，得AD=c，DB=c，===4.

[D][A][B][C]

思路3：在思路2的基礎上，我們發(fā)現(xiàn)，直角三角形的射影定理acosB+bcosA=c，與條件acosB-bcosA=c聯(lián)立，即得acosB=c，bcosA=c，從而===4.

善于從問題的條件和結(jié)論出發(fā)，或從數(shù)和形的特征等方面去捕捉信息，通過變換審題的視角，從多方面、多角度去思考問題，有助于開拓學生的解題思路，有效培養(yǎng)學生的思維能力.

通過問題發(fā)散，引發(fā)學生聯(lián)想

問題發(fā)散即從不同方向、角度考慮解決問題的多種可能性，尋求解決問題的各種可能途徑. 因此，通過問題發(fā)散引發(fā)學生聯(lián)想，能夠開闊學生的思路，讓學生在解決問題的過程中善于分解組合和延伸拓展，這在引導學生通過遷移的方式解決復雜問題時不可或缺，也是實現(xiàn)化歸的重要思維方式，不僅有助于學生習得變通解決問題的方法，更有利于學生思維能力的進一步提升.

案例4 正余弦函數(shù)圖象的作法教學片斷

先請學生回顧三角函數(shù)的定義：設角α的終邊與單位圓交于點P（x，y），則sinα=y，cosβ=x. 將其倒過來寫，即y=sinα，x=cosα. 由α→角α的終邊→P（x，y）知y=sinα，x=cosα（α∈R）滿足函數(shù)定義，按習慣定義其為正弦函數(shù)、余弦函數(shù).至此，我們得到了正余弦函數(shù)的解析式.現(xiàn)在的問題是，通過解析式，你能畫出它的圖象嗎？提醒學生不要受課本的約束，自己獨立思考.

以y=sinα，α∈[0，2π]為例：

聯(lián)想在已知函數(shù)式的情況下，如何作圖？學生很容易想到思路1——描點作圖：取α=0，，，，，，，，π，...，2π. 列表，描點，平滑曲線連結(jié)（說明作圖的本質(zhì)：特殊點法，得到大致圖象）.

教師再引導學生回顧三角函數(shù)線定義，sinα=MP，聯(lián)想到思路2——通過測量角的大?。磫挝粓A中角α對應的弧長）和MP的長，結(jié)合初中知識利用尺規(guī)作圖（可仿照教材把單位圓進行分割，找角及對應的正弦線）. 引導學生思考：此作法與思路1本質(zhì)相同，仍為特殊點法. 那么，能否給出一個更精確的方法呢？從而聯(lián)想到思路3——借助幾何畫板作圖得精確圖象，如圖2. 在學生欣賞的同時，讓學生注意觀察，掌握圖象（曲線）的大致走向，給出問題：平時我們利用圖象解題，在圖象大致把握標準的前提下，需要提高效率，該如何操作？學生觀察發(fā)現(xiàn)其中五個點非常關鍵：波峰、波谷和平衡位置的三個點，從而聯(lián)想到思路4——五點法作圖.

上述案例中，教師在教學時注意數(shù)學方法的遷移，不但有助于數(shù)學問題的解決，更有助于方法的深化與發(fā)展. 潛移默化之中，學生的思維方式將會得到有效的鍛煉.

在數(shù)學教學中，引導學生通過分析問題的條件、結(jié)論的結(jié)構(gòu)特征，引發(fā)學生聯(lián)想，讓學生在不同的知識模塊之間、不同思想方法層面適時、靈活地轉(zhuǎn)換，讓學生的思維層層遞進的同時深刻體味數(shù)學知識廣泛與普遍的聯(lián)系、和諧與辯證的統(tǒng)一，從而提高學生靈活運用數(shù)學知識解決問題的能力和數(shù)學思維能力，進而有效提升學生的數(shù)學學科素養(yǎng).