陳建志 文慧 楊淡漪 陳璐 凌語(yǔ)蓉

摘要：由于傳統(tǒng)時(shí)域分析的狹隘性，能從時(shí)域和頻域兩個(gè)角度同時(shí)充分描繪信號(hào)物理特性的小波分析方法引起了眾多學(xué)者的關(guān)注，小波分析應(yīng)用于金融時(shí)間序列分析逐漸成為趨勢(shì)。小波方法由于具有良好的去噪性與多分辨分析能力，能夠出色地完成對(duì)非平穩(wěn)序列的擬合、奇異點(diǎn)的定位等工作，被普遍應(yīng)用于單個(gè)市場(chǎng)、多個(gè)市場(chǎng)的金融時(shí)間序列分析以及金融時(shí)間序列中非市場(chǎng)因素的探究等方向。本文基于小波方法在金融時(shí)間序列分析中的“應(yīng)用”視角，對(duì)該領(lǐng)域的部分文獻(xiàn)進(jìn)行了評(píng)述與總結(jié)，并對(duì)其未來(lái)研究提出了展望。

關(guān)鍵詞：小波分析；金融時(shí)間序列；時(shí)頻方法；相關(guān)度

1.引言

金融時(shí)間序列是指將金融統(tǒng)計(jì)量（收益率、價(jià)格、波動(dòng)等）在不同時(shí)間維度上的各個(gè)數(shù)值，按時(shí)間先后順序排列而成的序列。金融時(shí)間序列是一種特殊的時(shí)間序列，該領(lǐng)域的研究在經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)、宏觀調(diào)控、資產(chǎn)定價(jià)領(lǐng)域都具有重要意義，正是由于這種特殊性使得金融時(shí)間序列分析成為學(xué)術(shù)界研究的焦點(diǎn)。

傳統(tǒng)的時(shí)間序列分析模型有AR、MA、ARMA、ARIMA等模型。這類(lèi)模型運(yùn)用在平穩(wěn)時(shí)間序列分析中有較好的效果，但金融時(shí)間序列卻具有特殊的統(tǒng)計(jì)特性，如非平穩(wěn)性、長(zhǎng)記憶性、異方差性等，在利用上述模型時(shí)，需要對(duì)金融時(shí)間序列進(jìn)行去噪處理。傳統(tǒng)去噪分析方法（卡爾曼濾波方法、維納濾波方法和傳統(tǒng)濾波方法等）是基于信號(hào)光滑、噪聲不光滑的假設(shè)，通過(guò)對(duì)噪聲進(jìn)行平滑處理來(lái)達(dá)到去噪目的，金融時(shí)間序列的特殊統(tǒng)計(jì)特性造成了去噪的同時(shí)部分有價(jià)值信息的失真，“失真”情況會(huì)對(duì)相關(guān)研究帶來(lái)誤差。小波方法的出現(xiàn)彌補(bǔ)了缺陷，它具有良好的“自適應(yīng)”和“變焦”特性，能夠?qū)⑿盘?hào)分解到不同頻率通道上，再進(jìn)行平滑處理后，獲得失真度極低的近似平穩(wěn)信號(hào)。同時(shí)，金融時(shí)間序列中的數(shù)據(jù)基本為高頻數(shù)據(jù)，小波方法能更加準(zhǔn)確地刻畫(huà)和分析高頻數(shù)據(jù)，對(duì)后續(xù)使用傳統(tǒng)時(shí)間序列模型進(jìn)一步分析有巨大幫助。小波分析的優(yōu)勢(shì)使它成為眾多研究者進(jìn)行金融時(shí)間序列分析的重要工具，小波方法和時(shí)間序列分析相結(jié)合的時(shí)頻分析方法也成為近年來(lái)的研究趨勢(shì)。隨著研究的深入，小波的其他特性也逐漸被應(yīng)用于更加復(fù)雜的金融市場(chǎng)研究中。

2.小波分析應(yīng)用于單個(gè)市場(chǎng)金融時(shí)間序列分析

在股價(jià)以及綜合指數(shù)的預(yù)測(cè)模型有AR、MA、ARMA和ARIMA模型中，較成熟的模型是ARIMA模型，ARIMA模型在平穩(wěn)時(shí)間序列分析中有較好的效果，但對(duì)于非平穩(wěn)時(shí)間序列效果不理想。Ramsey，Usikov，Zaslavsky（1995）用分解算法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行平滑處理，得出了“去噪”后的時(shí)間序列，在研究中解決了數(shù)據(jù)非平穩(wěn)的問(wèn)題，并最先借助小波的“顯微鏡”特性，運(yùn)用多尺度分析方法研究標(biāo)準(zhǔn)普爾指數(shù)觀察數(shù)據(jù)的尺度特征，發(fā)現(xiàn)從時(shí)域和頻域兩個(gè)角度同時(shí)進(jìn)行分析可以挖掘數(shù)據(jù)所包含的更復(fù)雜的特性，該結(jié)論使得學(xué)術(shù)界對(duì)股票價(jià)格指數(shù)的隨機(jī)游走假設(shè)提出了質(zhì)疑。

小波分析應(yīng)用在單個(gè)金融時(shí)間序列中的研究有了理論基礎(chǔ)，對(duì)小波分析精確度的質(zhì)疑和小波應(yīng)用效果的定量檢驗(yàn)成為研究者希望解決的一個(gè)新問(wèn)題。王哲、王春峰和顧培亮（1999）對(duì)上證和深證市場(chǎng)的股價(jià)漲跌率以墨西哥小帽狀小波為基本小波進(jìn)行了二進(jìn)小波變換，經(jīng)過(guò)多分辨分析得到結(jié)論：小波變換和多分辨分析可將數(shù)據(jù)中偶然因素排除，突出主要因素。杜建衛(wèi)和王超峰（2008）采用mallat小波分解算法，對(duì)股票收盤(pán)價(jià)這一非平穩(wěn)時(shí)間序列進(jìn)行了數(shù)據(jù)分解后平滑處理及再重構(gòu)，將整個(gè)時(shí)間序列數(shù)據(jù)分為兩部分，較長(zhǎng)區(qū)間選取作為研究相關(guān)性、溢出方向以及預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)的樣本，而剩下的區(qū)間數(shù)據(jù)作為檢驗(yàn)的樣本，以便能夠?qū)λ⒛Ｐ团c實(shí)證結(jié)果進(jìn)行比較和檢驗(yàn)，對(duì)小波方法預(yù)測(cè)結(jié)果、傳統(tǒng)預(yù)測(cè)方法預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)后，小波方法的預(yù)測(cè)結(jié)果被證實(shí)更有效。金融時(shí)間序列的“去噪”是關(guān)于平穩(wěn)性的一個(gè)重要問(wèn)題，在單個(gè)市場(chǎng)的金融時(shí)間序列研究中，單個(gè)時(shí)間序列可以擁有多個(gè)統(tǒng)計(jì)特性，對(duì)統(tǒng)計(jì)特性的研究成為了一個(gè)重要方向。徐梅和張世英（2005）分別引入了小波方差和小波協(xié)方差的分析方法研究金融波動(dòng)的長(zhǎng)記憶性。

大量應(yīng)用小波方法分析股市、匯市之后，研究者開(kāi)始拓寬小波方法的應(yīng)用范圍，將小波方法應(yīng)用在其他類(lèi)型單個(gè)市場(chǎng)的時(shí)間序列研究中。Jammazi（2011）通過(guò)應(yīng)用Harr小波分析國(guó)際原油月數(shù)據(jù)價(jià)格序列，驗(yàn)證了小波的多分辨分析能夠正確的刻畫(huà)國(guó)際原油價(jià)格時(shí)間序列的波動(dòng)特征。

3.小波分析應(yīng)用于多個(gè)市場(chǎng)金融時(shí)間序列分析

在研究?jī)蓚€(gè)及兩個(gè)以上市場(chǎng)的相關(guān)性以及波動(dòng)溢出效應(yīng)時(shí)，用傳統(tǒng)的計(jì)量方法如GRANGER因果檢驗(yàn)、自相關(guān)系數(shù)等，僅能得到在整個(gè)時(shí)間段內(nèi)、單一頻段中兩個(gè)市場(chǎng)間的相關(guān)性以及波動(dòng)溢出效應(yīng)。研究者利用小波多分辨分析，將金融時(shí)間序列在不同的交易周期進(jìn)行分解，分析不同交易周期下市場(chǎng)之間的相關(guān)性以及波動(dòng)溢出效應(yīng)，觀察不同頻率數(shù)據(jù)的能量，判斷主導(dǎo)這些市場(chǎng)的是短期因素還是長(zhǎng)期因素，能夠多層次探究多個(gè)市場(chǎng)間的波動(dòng)溢出效應(yīng)。研究集中在股市與股市之間，Razdan（2004）利用連續(xù)小波變換方法中的小波相關(guān)系數(shù)指出在不同的尺度下BSE指數(shù)與NSE指數(shù)相關(guān)性不同，說(shuō)明了BSE指數(shù)和NSE指數(shù)在短期、長(zhǎng)期存在不同的關(guān)聯(lián)現(xiàn)象。

在同類(lèi)別多個(gè)市場(chǎng)的應(yīng)用，小波分析被應(yīng)用在研究者對(duì)資本市場(chǎng)、外匯市場(chǎng)等更多種類(lèi)的市場(chǎng)的分析中。Hamrita和Trifi（2011）利用小波分析和格蘭杰因果檢驗(yàn)來(lái)分析美國(guó)市場(chǎng)利率、匯率和股價(jià)之間的關(guān)系，通過(guò)極大重疊離散小波變換（MODWT）對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行5層分解，實(shí)證發(fā)現(xiàn)匯市與股市之間只在低頻數(shù)據(jù)尺度上（長(zhǎng)期上）存在雙向的波動(dòng)溢出效應(yīng)。

小波分析在國(guó)外兩個(gè)市場(chǎng)主體之間關(guān)系研究中被大量應(yīng)用，在中國(guó)國(guó)內(nèi)資本市場(chǎng)、外匯市場(chǎng)的研究中，小波方法也起到了重要作用。薛超、李星野和雷蕾（2008）使用DWT中的db2小波，對(duì)滬深兩市進(jìn)行實(shí)證研究后發(fā)現(xiàn)，無(wú)論從短期還是長(zhǎng)期來(lái)看，深證指數(shù)波動(dòng)性均高于上證指數(shù)，這一結(jié)論與晏海兵（2004）使用harr小波所進(jìn)行的滬深兩市實(shí)證研究的結(jié)論相悖，后文的結(jié)論得出了滬市A股具有最強(qiáng)的波動(dòng)性。造成不同研究結(jié)論的原因可能是由于兩篇文章選取數(shù)據(jù)的區(qū)段不同，前文數(shù)據(jù)選取的是1998年9月30日至2006年10月31日的上深A(yù)B股的股指日數(shù)據(jù)，而后文選取的是1998年1月30日至2003年9月10日的上深A(yù)B股的股指日數(shù)據(jù)。其中，在2004至2005年發(fā)生的“股改”、“匯改”可能是造成研究結(jié)果差異的一個(gè)原因。另外，兩篇文章選取的小波母函數(shù)不同，前文選擇的是db2小波，而后文選擇的是harr小波，這也是造成結(jié)果差異的可能原因。

謝赤、張麗和孫柏（2012）通過(guò)db6小波從不同尺度研究外匯市場(chǎng)與股票市場(chǎng)間的波動(dòng)溢出效應(yīng)，證明人民幣匯率波動(dòng)和股票價(jià)格波動(dòng)的低頻信號(hào)具有協(xié)整關(guān)系，創(chuàng)新性地發(fā)現(xiàn)在不同交易周期上波動(dòng)溢出效應(yīng)存在非一致性，短期上表現(xiàn)為股票市場(chǎng)向外匯市場(chǎng)的單向波動(dòng)溢出，隨著尺度增大，周期變長(zhǎng)，表現(xiàn)為雙向波動(dòng)溢出。相關(guān)性研究的對(duì)象從兩個(gè)市場(chǎng)擴(kuò)充到更多市場(chǎng)，研究范圍進(jìn)一步擴(kuò)大，Rua和Nunes（2009）通過(guò)小波頻譜分析分解得到德國(guó)、日本、英國(guó)、美國(guó)股票市場(chǎng)指數(shù)等多個(gè)市場(chǎng)在三個(gè)尺度上的相關(guān)性系數(shù)，從時(shí)頻的角度說(shuō)明各國(guó)股票市場(chǎng)間的波動(dòng)溢出效應(yīng)在低頻段，即長(zhǎng)期上更為強(qiáng)烈。研究對(duì)象的種類(lèi)從股票市場(chǎng)進(jìn)一步擴(kuò)大，Loh（2008）使用小波變換方法得到債券收益率的波動(dòng)率，并以此研究其他債券市場(chǎng)對(duì)亞洲本幣債券市場(chǎng)的波動(dòng)溢出效應(yīng)，研究結(jié)果表明較于日本債券市場(chǎng)，美元債券市場(chǎng)對(duì)于亞洲債券市場(chǎng)影響更加顯著，同時(shí)亞洲債券市場(chǎng)也能同時(shí)影響更為發(fā)達(dá)的債券市場(chǎng)。

小波分析也被用于研究典型的具有多個(gè)市場(chǎng)間顯著關(guān)聯(lián)效應(yīng)的金融危機(jī)現(xiàn)象。Gallegati（2010）采用小波分析發(fā)現(xiàn)美國(guó)成熟證券市場(chǎng)和新興證券市場(chǎng)均受到美國(guó)次貸危機(jī)溢出效應(yīng)的強(qiáng)烈影響，進(jìn)一步的研究發(fā)現(xiàn)美國(guó)經(jīng)濟(jì)危機(jī)不僅對(duì)本國(guó)造成了巨大影響，還強(qiáng)烈輻射到國(guó)外其他金融市場(chǎng)。Marco Gallegati（2010）通過(guò)小波分析方法證實(shí)了美國(guó)2007年經(jīng)濟(jì)危機(jī)對(duì)世界的所有市場(chǎng)都造成了不同程度的影響。而在對(duì)亞洲等其他經(jīng)濟(jì)地區(qū)的影響的研究中，Bodart和Candelon（2009）在運(yùn)用基于因果檢驗(yàn)的頻域分析來(lái)研究亞洲金融危機(jī)傳染效應(yīng)時(shí)，發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)、短周期上各市場(chǎng)間都存在危機(jī)傳染效應(yīng)，驗(yàn)證了在亞洲危機(jī)期間市場(chǎng)間聯(lián)動(dòng)性的增強(qiáng)更加劇了危機(jī)的傳播，美國(guó)經(jīng)濟(jì)危機(jī)對(duì)世界的所有市場(chǎng)都存在著普遍影響。

4.小波分析應(yīng)用于非市場(chǎng)因素分析

市場(chǎng)因素是指由市場(chǎng)交易狀況、投資者心理、供求關(guān)系等引起的直接導(dǎo)致市場(chǎng)價(jià)格產(chǎn)生變化的因素。非市場(chǎng)因素是指除市場(chǎng)因素以外的如政策、突發(fā)事件等因素間接導(dǎo)致市場(chǎng)價(jià)格產(chǎn)生變化的因素。

小波分析捕捉時(shí)間序列奇異點(diǎn)的重要特性，有助于研究非市場(chǎng)因素，這也是小波方法研究非市場(chǎng)影響因素的重要手段。A.N.Sekar，Iyengar（2009）使用連續(xù)小波對(duì)美元兌歐元、美元兌英鎊以及美元兌盧比的匯率數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，發(fā)現(xiàn)了波動(dòng)率具有間歇性的特征，并通過(guò)分析發(fā)現(xiàn)印度政府對(duì)股市的影響要大于市場(chǎng)本身的影響。而對(duì)于中國(guó)而言，股權(quán)分置改革是對(duì)股票市場(chǎng)具有重大影響的非市場(chǎng)因素，余宇新和楊大楷（2004）關(guān)注中國(guó)股權(quán)分置改革前后的變化，以跟香港市場(chǎng)恒生指數(shù)的聯(lián)系為參考標(biāo)準(zhǔn)，采用harr小波對(duì)收益率進(jìn)行分解，然后比較各市場(chǎng)中高頻和低頻數(shù)據(jù)所占的能量比，確定市場(chǎng)的主導(dǎo)因素，再對(duì)高頻與低頻數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸分析確定兩個(gè)市場(chǎng)的相關(guān)性，得出中國(guó)股票市場(chǎng)在股權(quán)分置改革后長(zhǎng)期因素的能量大大提高以及與香港市場(chǎng)的聯(lián)系也更緊密的結(jié)論。余宇新、余宇瑩和傅方興（2011）利用harr小波實(shí)證檢驗(yàn)了美國(guó)股市與我國(guó)股市的相關(guān)性在股改后從較小變?yōu)轱@著，關(guān)聯(lián)程度不斷加深，認(rèn)為美股走勢(shì)對(duì)我國(guó)股市心理影響遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于資金流動(dòng)配置層面的影響。研究的細(xì)化使得部分研究者將小波分析將股市與宏觀經(jīng)濟(jì)聯(lián)系起來(lái)探究問(wèn)題，董直慶、王林輝（2008）研究上證指數(shù)與通脹周期的關(guān)系，利用小波變換頻帶方法，采取1991年至2007年的上證綜合指數(shù)收益率月度數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)小波變換下證券市場(chǎng)與宏觀經(jīng)濟(jì)長(zhǎng)短周期波動(dòng)存在非一致性，如通貨膨脹周期和證券市場(chǎng)波動(dòng)周期就表現(xiàn)出非一致性，即短周期波動(dòng)相關(guān)性不穩(wěn)，中周期波動(dòng)反向共變，長(zhǎng)周期波動(dòng)高度負(fù)相關(guān)且通貨膨脹先行。

5.研究展望

經(jīng)過(guò)幾十年的發(fā)展，金融時(shí)間序列分析與研究已形成了較為成熟的方法和體系。但國(guó)內(nèi)較早的小波方法的應(yīng)用主要集中在故障診斷、圖像處理、語(yǔ)音信號(hào)處理和地球物理看勘探等方面，小波方法應(yīng)用于金融時(shí)間序列分析起步較晚，近幾年才開(kāi)始逐漸興起。金融時(shí)間序列作為市場(chǎng)狀態(tài)的具體量化表征，對(duì)它的研究離不開(kāi)市場(chǎng)，因此，小波方法在金融時(shí)間序列中的應(yīng)用可以被進(jìn)一步分為單個(gè)市場(chǎng)、多個(gè)市場(chǎng)和非市場(chǎng)因素這三個(gè)研究方向。

在單個(gè)市場(chǎng)中，小波方法較多地被應(yīng)用在單個(gè)時(shí)間序列以及單個(gè)市場(chǎng)中金融時(shí)間序列特性等“根本性”問(wèn)題，即從所研究的最簡(jiǎn)單模型出發(fā)來(lái)解決序列的非平穩(wěn)性等問(wèn)題。在解決了單個(gè)市場(chǎng)的非平穩(wěn)問(wèn)題后，研究擴(kuò)展到小波分析的精確度等應(yīng)用效果，實(shí)證檢驗(yàn)小波分析的應(yīng)用價(jià)值。最后利用小波分析挖掘更多關(guān)于金融時(shí)間序列自身的統(tǒng)計(jì)特性，從理論上給小波分析的應(yīng)用提供基礎(chǔ)支持。在對(duì)股票市場(chǎng)、外匯市場(chǎng)等常見(jiàn)市場(chǎng)進(jìn)行大量研究之后，小波分析在其他金融市場(chǎng)的應(yīng)用逐漸走入學(xué)者們的視野。

單個(gè)市場(chǎng)的研究趨于成熟，小波方法逐步推廣到對(duì)多個(gè)金融市場(chǎng)的研究。多個(gè)市場(chǎng)比單個(gè)市場(chǎng)更為復(fù)雜，但學(xué)者們的研究由簡(jiǎn)到繁的規(guī)律與單個(gè)市場(chǎng)相同，研究中變量逐漸增多、市場(chǎng)情況逐漸復(fù)雜。但多個(gè)市場(chǎng)涉及到更多數(shù)量的市場(chǎng)，甚至可能出現(xiàn)多個(gè)不同種類(lèi)市場(chǎng)的共同研究，相互關(guān)系比單個(gè)市場(chǎng)更加復(fù)雜，其中多個(gè)市場(chǎng)的小波方法應(yīng)用中還包括對(duì)經(jīng)濟(jì)、金融危機(jī)這一特殊現(xiàn)象的廣泛研究應(yīng)用。從對(duì)單個(gè)市場(chǎng)的研究與對(duì)多個(gè)市場(chǎng)的研究這兩者之間的關(guān)系來(lái)說(shuō)，前者是后者的基礎(chǔ)，后者是前者的發(fā)展。

政策、突發(fā)事件等非市場(chǎng)因素作為外部的金融時(shí)間序列影響因素，可以通過(guò)小波方法定位奇異點(diǎn)的方法來(lái)研究，有的學(xué)者在利用小波方法進(jìn)行研究的過(guò)程中還吸收了其他優(yōu)秀的金融理論來(lái)進(jìn)行分析。

利用小波方法分析金融時(shí)間序列的內(nèi)容還在不斷擴(kuò)充，正如前文所述，小波方法具有許多優(yōu)良的特性，對(duì)研究產(chǎn)生了巨大的幫助。但作為一項(xiàng)相對(duì)較新的分析技術(shù)，它也存在著不足與隱憂，這也是研究者未來(lái)需要克服和改良的方向：

（1）分解層數(shù)的選擇問(wèn)題。在確定小波分解層數(shù)時(shí)，分解的層次越高，去掉低頻的成分就越多，在無(wú)法確定是低頻還是高頻是“有用信號(hào)”時(shí)，可能會(huì)失去有用的信息。同時(shí)，分解層次越高，去噪的效果越好，但相對(duì)地更有可能造成失真。在今后的研究中，需要更加關(guān)注對(duì)于具有不同特征的金融時(shí)間序列，應(yīng)當(dāng)采用多少分解層數(shù)才不會(huì)致使丟失過(guò)多信息的研究。

（2）小波母函數(shù)的選擇問(wèn)題。小波基函數(shù)具有多樣性，包括Harr小波、Daubecheies（dbN）小波系、Symlets（symN）小波系、ReverseBior（rbio）小波系、Meyer（meyer）小波、Dmeyer（dmey）小波、Morlet（morl）小波、Complex Gaussian（cgau）小波系、Complex morlet（cmor）小波系和Lemarie（lem）小波系等。在小波基函數(shù)的選取上，不同的小波函數(shù)有不同的優(yōu)點(diǎn)，常用的小波函數(shù)不能同時(shí)滿足正交性、對(duì)稱(chēng)性、正則性、消失矩和緊支性。在理論研究和實(shí)證分析的過(guò)程中，相關(guān)研究者應(yīng)深入了解小波函數(shù)的構(gòu)造原理，針對(duì)不同金融時(shí)間序列改進(jìn)常用的小波函數(shù)，使其更加適應(yīng)研究對(duì)象的特性和實(shí)證要求。

（3）閾值的確定問(wèn)題。利用小波預(yù)測(cè)金融時(shí)間序列的一般方法是閾值去噪法，閾值的確定一般是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，從而導(dǎo)致預(yù)測(cè)結(jié)果有很大的不確定性。特別是在進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，很多研究通常是用非常少的已知樣本檢驗(yàn)預(yù)測(cè)效果，對(duì)于長(zhǎng)期的預(yù)測(cè)效果則無(wú)法檢驗(yàn)。而且這些預(yù)測(cè)都是建立在市場(chǎng)特性保持不變的情況下，所以當(dāng)市場(chǎng)改變時(shí)無(wú)法進(jìn)行精確預(yù)測(cè)。通過(guò)基于先驗(yàn)知識(shí)、模擬運(yùn)算或仿真實(shí)驗(yàn)等科學(xué)途經(jīng)找到相對(duì)更加合理的確定閾值的方法或?qū)⒊蔀檫@一領(lǐng)域的趨勢(shì)。

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基金項(xiàng)目：本文系2012年湖南大學(xué)SIT重點(diǎn)項(xiàng)目的階段性研究成果。