李乃洋

摘 要：不等式恒成立問題是高考試題中常見的一類題型，其中關(guān)于絕對值的不等式在處理方法上一直是學(xué)生的難點和易錯點. 本文結(jié)合教學(xué)中的一個案例，從學(xué)生的視角出發(fā)，到師生共同找到此類問題的一般解題原理，化解解題誤區(qū)，達(dá)到了理想教與學(xué)的效果.

關(guān)鍵詞：絕對值不等式；恒成立；解題誤區(qū)；猜想

題目 若不等式ax2-lnx≥1對任意x∈（0，1]都成立，求實數(shù)a的取值范圍.

在平時教學(xué)中，求解含參不等式恒成立問題學(xué)生掌握的方法主要有兩種：一是分離參數(shù)法，即通過不等式同解變形將參數(shù)分離出來，然后構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題求解；二是把不等式同解轉(zhuǎn)化為形如h（x）≥0（≤0）的不等式，直接構(gòu)造含參數(shù)的函數(shù)，利用函數(shù)的圖象或性質(zhì)求解參數(shù)的取值范圍.這兩種方法各有特點，但選擇分離參數(shù)法較為常見，這時發(fā)現(xiàn)原問題中含有絕對值，這是一個障礙點.慣性思維指示學(xué)生給出了如下解法：

學(xué)生：原不等式可化為ax3-lnx≤-1或ax3-lnx≥1在（0，1]上恒成立，即a≤或a≥在（0，1]上恒成立.

（?。┊?dāng)a≤在（0，1]上恒成立時，令f（x）=，x∈（0，1]，所以f′（x）==，且x∈（0，1]，所以lnx≤0，f′（x）>0，則f（x）在（0，1]上遞增，所以f（x）min=f（x）→-∞（此處借助極限知識可得），所以a此時不存在；

（ⅱ）當(dāng)a≥在（0，1]上恒成立時，令g（x）=，x∈（0，1]，則g′（x）==. 令g′（x）=0，則x=e-∈（0，1]，所以g（x）在（0，e-）遞增，在（e-，1]遞減，故g（x）max=g（e-）=，所以a≥.

綜上，a≥.

上述解題過程在教學(xué)交流評價時，我們看到結(jié)果是正確的，大的解題框架也沒問題，但是此法分離參數(shù)后有一個難點：求的值在高中階段還是略顯困難.正因為此處的糾紛，部分學(xué)生也對解法產(chǎn)生了懷疑，這種解法是否不妥或是此類題有其他考查要點？后來筆者請班上數(shù)學(xué)成績比較好的兩位學(xué)生試試直接從函數(shù)最值角度處理恒成立問題，下面簡單說明兩位學(xué)生的思考分析過程.

學(xué)生甲：左邊函數(shù)y=ax3-lnx其單調(diào)性與a相關(guān)，直接分類討論將相對復(fù)雜，該如何思考，簡化運(yùn)算？

教師：在前面學(xué)習(xí)充分必要條件時，提到過在涉及含參數(shù)計算問題上，我們可以利用題中隱含的必要條件去尋找充要條件，這里的a是否有其必要的限制條件呢？

學(xué)生：我們可以利用不等式ax2-lnx≥1對任意x∈（0，1]都成立中的x=1這個點，先確定a的大致取值范圍，再研究函數(shù)性質(zhì).

教師：你們嘗試給出該方法的解題過程，再交流與之前我們同學(xué)給出的做法有什么區(qū)別？

學(xué)生乙：解法2技巧在于利用已知結(jié)論的一個必要條件，找到了a的分類方向（標(biāo)準(zhǔn)），為研究f（x），f（x）提供方便，從而轉(zhuǎn)化為考慮f（x）的最小值及其圖象問題. 原方法易于理解，但在處理含絕對值問題上對我們要求較高，不是解題的上策.

對于學(xué)生的可能分析，筆者事先已經(jīng)做過初步研究，所以并沒有直接評價，而是提出了一個新的問題.

教師：已知函數(shù)f（x）≥2在x∈（0，2]恒成立是否等價與f（x）≤-2在x∈（0，2]恒成立或f（x）≥2在x∈（0，2]上恒成立？

（此問題提出后，學(xué)生產(chǎn)生疑慮，如果這個問題結(jié)果是否定的，則原先的解法1是不合理的. 為了幫助學(xué)生理解，筆者指導(dǎo)前特意準(zhǔn)備了一個具體的例子）

教師：下面我給出一個反例. 如果f（x）=2，x∈（0，1]，

由上分析可知，a≥4.

這似乎合理，驗證一個結(jié)論是否成立，我們可以從一開始的例子法2來佐證.

現(xiàn)在給出另外一種解法. 當(dāng)x=2時，2a-2≥2，得a≤0或a≥2.

教師：上面兩種解法為何不同，對上面所提問題我們又能產(chǎn)生何種新的認(rèn)識？

學(xué)生：對于反例的兩種方法，其結(jié)果顯示方法2是對的，因為當(dāng)a≤0時，畫出f（x）這個分段函數(shù)草圖，f（x）是可以滿足要求的，所以已知函數(shù)f（x）≥2在x∈（0，2]恒成立是不能等價與f（x）≤ -2在x∈（0，2]上恒成立或f（x）≥2在x∈（0，2]上恒成立.

教師：的確如此，在上面反例中，當(dāng)a≤0時，f（x）≤-2僅在（1，2]上成立，而x∈（0，1]時，f（x）≥2，但此時可保證f（x）≥2依舊恒成立. 這說明遇到“形如f（x）≥k（k>0）的恒成立問題”不能簡單去絕對值，轉(zhuǎn)化為兩部分恒成立，進(jìn)而利用分離參數(shù)法求參數(shù)的取值范圍. 所以在處理恒成立問題時，重視分離參數(shù)法，但不是一成不變，還要學(xué)會新問題、新方法.

筆者原想這題到此可以圓滿結(jié)束，但給予學(xué)生機(jī)會和時間，就會出現(xiàn)新的成果.

學(xué)生：這樣原先的恒成立問題，我們開始想到的解法一看來是錯的，但為何它和方法二結(jié)果又一樣，是不是巧合？

學(xué)生經(jīng)過一番思考，提出的問題往往更有爭議性，也因此具有反思的價值.學(xué)生此時的問題，筆者并沒有立刻想到解釋的途徑，此時還是讓其他學(xué)生一同思考，而筆者也有機(jī)會發(fā)現(xiàn)新的問題.

學(xué)生：我想問題不等式ax2-lnx≥1對任意x∈（0，1]都成立的兩種解法都是對的，因為此處y=ax2-lnx在區(qū)間（0，1]是一個不間斷的函數(shù)（想表達(dá)連續(xù)性）；而反例給的函數(shù)f（x）=2，x∈（0，1]，

ax-2，x∈（1，2]是一個分段函數(shù)，有不連續(xù)的兩部分組成，所以導(dǎo)致方法不同、結(jié)果也不同.

教師：很好，這說明在處理含絕對值不等式恒成立問題上，直接構(gòu)造函數(shù)研究最值是較為普遍的方法，此處可以利用題中的一個必要條件得到參數(shù)的大致范圍，即縮小分類的途徑；同時結(jié)合剛剛同學(xué)的總結(jié)，是不是給我們一個啟示：利用分離參數(shù)法處理形如f（x）≥k（k>0）類恒成立問題，要考慮函數(shù)f（x）的連續(xù)性？我們提出如下兩種猜想：

猜想1：若f（x）是連續(xù)函數(shù)，則f（x）≥k（k>0）在區(qū)間D上恒成立，即為f（x）≤-k在D上恒成立或f（x）≥k在D上恒成立；

猜想2：若函數(shù)f（x）是不連續(xù)（分段）的，則f（x）≥k（k>0）在區(qū)間D上恒成立，即為f（x）min≥k在D上恒成立；

在討論中，我們學(xué)會擱置爭議，通過提出問題，思考辨析，走出了誤區(qū)，得到的不僅是一道數(shù)學(xué)題的解法收獲，還留下了一些題外的教學(xué)思考.