劉自強(qiáng)

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）不僅把獲得數(shù)學(xué)的“基本思想”“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”（以下簡(jiǎn)稱“新增兩基”）列為數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)，而且明確指出了達(dá)成這些目標(biāo)的途徑，如“通過(guò)獨(dú)立思考或者合作交流感悟數(shù)學(xué)的基本思想”，“在參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的過(guò)程中積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”，等等。在此，筆者以人教版教材為例，談?wù)剬?duì)具體落實(shí)這方面目標(biāo)的幾點(diǎn)思考。

一、著眼數(shù)學(xué)素養(yǎng)，挖掘數(shù)學(xué)內(nèi)涵

1.依托教材，挖掘教學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)內(nèi)涵與教育價(jià)值

數(shù)學(xué)思想無(wú)形地隱含于數(shù)學(xué)知識(shí)體系里，因此，數(shù)學(xué)思想的滲透需要依附于有“形”的數(shù)學(xué)知識(shí)技能的教學(xué)。數(shù)學(xué)活動(dòng)也同樣離不開(kāi)知識(shí)技能這個(gè)載體，學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)需要在積極參與學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)技能的過(guò)程中，經(jīng)過(guò)獨(dú)立思考、探索實(shí)踐和合作交流而積累形成。

基于以上觀點(diǎn)，我們數(shù)學(xué)教師不僅要深入學(xué)習(xí)和領(lǐng)會(huì)新課標(biāo)精神，從培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的高度，充分認(rèn)識(shí)在教學(xué)中關(guān)注數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的重要性，增強(qiáng)“滲透”的自覺(jué)意識(shí)，還要努力提升自身的數(shù)學(xué)專業(yè)素養(yǎng)，善于挖掘并準(zhǔn)確把握教學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)內(nèi)涵與教育價(jià)值。要堅(jiān)持依托教材，基于正常的教學(xué)秩序，把具體的知識(shí)技能教學(xué)放在“培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)”這樣更高的目標(biāo)和更廣泛的視角下進(jìn)行，避免“另起爐灶”和“兩張皮”現(xiàn)象。這是落實(shí)“新增兩基”的重要前提。

2.深入分析，準(zhǔn)確把握教學(xué)內(nèi)容所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)基本思想包括數(shù)學(xué)抽象的思想、數(shù)學(xué)推理的思想和數(shù)學(xué)建模的思想，它們?cè)跀?shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程幾乎無(wú)所不在。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中具體接觸到的有以上基本思想演變、派生、發(fā)展而來(lái)的分類思想、數(shù)形結(jié)合思想、符號(hào)化思想、集合思想、對(duì)應(yīng)思想、歸納思想、轉(zhuǎn)換化歸思想、類比思想以及簡(jiǎn)化思想、量化思想、函數(shù)思想、優(yōu)化思想、方程思想、統(tǒng)計(jì)思想等。

數(shù)學(xué)思想不像數(shù)學(xué)概念、法則、性質(zhì)等知識(shí)那樣明顯地寫(xiě)在教材中，但是教材編者通過(guò)情境設(shè)置、內(nèi)容呈現(xiàn)順序和圖中人物的語(yǔ)言等，把數(shù)學(xué)思想無(wú)形地體現(xiàn)于其中。通常，在概念的教學(xué)中滲透著分類思想、歸納思想；在性質(zhì)、規(guī)律、法則、公式的教學(xué)中滲透著類比思想、歸納思想；在解決問(wèn)題的教學(xué)中滲透著數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)換化歸思想、方程思想等。而各冊(cè)教材中的“數(shù)學(xué)廣角”和數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，更是相對(duì)系統(tǒng)地引導(dǎo)學(xué)生獲得數(shù)學(xué)思想的好素材，也是積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的重要載體。教師要通過(guò)深入分析教材去領(lǐng)悟這方面的編寫(xiě)意圖，在教學(xué)中準(zhǔn)確把握并恰當(dāng)滲透。

例如，五年級(jí)上冊(cè)《簡(jiǎn)易方程》的教學(xué)意義在于引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從“算術(shù)”到“代數(shù)”的過(guò)渡，這是學(xué)生認(rèn)識(shí)上的一個(gè)飛躍，其數(shù)學(xué)內(nèi)涵更突出地體現(xiàn)于符號(hào)化思想、函數(shù)思想、方程思想的滲透，以及抽象概括能力、解決問(wèn)題能力的培養(yǎng)上。因此，其中《用字母表示數(shù)》和《方程的意義》的教學(xué)就不能只滿足于外在形式上“會(huì)用字母表示”“會(huì)判斷是不是方程”，而更要關(guān)注讓學(xué)生經(jīng)歷從具體實(shí)例到一般意義的抽象概括過(guò)程，感受用字母表示數(shù)的優(yōu)越性、變量間的對(duì)應(yīng)依存關(guān)系和數(shù)量間的等量關(guān)系等，領(lǐng)悟相關(guān)的數(shù)學(xué)思想，為學(xué)生在后續(xù)學(xué)習(xí)中擺脫算術(shù)思維的局限性打下良好的基礎(chǔ)。

二、根據(jù)內(nèi)容特點(diǎn)，設(shè)計(jì)有效活動(dòng)

“新增兩基”的獲得都離不開(kāi)數(shù)學(xué)活動(dòng)。不僅數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)需要學(xué)生在“做”的過(guò)程和“思考”的過(guò)程中積淀，數(shù)學(xué)思想也需要學(xué)生在探索推演的活動(dòng)過(guò)程去領(lǐng)悟，并在數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累上形成。因此，準(zhǔn)確把握教學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，根據(jù)不同內(nèi)容特點(diǎn)設(shè)計(jì)有效的教學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生真正經(jīng)歷、參與到活動(dòng)過(guò)程中，是落實(shí)“新增兩基”的基本途徑。

1.準(zhǔn)確把握“活動(dòng)”的數(shù)學(xué)價(jià)值

首先不能將數(shù)學(xué)活動(dòng)狹隘地理解為就是“動(dòng)手實(shí)踐”“合作討論”等這些有形的“動(dòng)”。數(shù)學(xué)活動(dòng)的根本價(jià)值在于引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)思考，即運(yùn)用數(shù)學(xué)的理性思維進(jìn)行思考，培養(yǎng)學(xué)生以數(shù)學(xué)的眼光看世界、從數(shù)學(xué)的角度去分析問(wèn)題的素養(yǎng)。因此，重要的是活動(dòng)必須有明確的數(shù)學(xué)內(nèi)涵和數(shù)學(xué)目的，必須體現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)且最終落實(shí)到思維的“動(dòng)”，而不是形式化的“為活動(dòng)而活動(dòng)”。從這個(gè)意義上說(shuō)，師生在課堂上的講授、學(xué)習(xí)（當(dāng)然這種講授和學(xué)習(xí)應(yīng)該是啟發(fā)式、探究式、互動(dòng)式的）與數(shù)學(xué)探究、合作交流等一樣，都是很好的數(shù)學(xué)活動(dòng)。數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)也不僅僅是實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)、解題的經(jīng)驗(yàn)，更重要的是數(shù)學(xué)活動(dòng)中思考的經(jīng)驗(yàn)、思維的經(jīng)驗(yàn)。

例如，二年級(jí)下冊(cè)《千以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)》的教學(xué)中，A教師單純地讓學(xué)生估計(jì)“一千張紙有多厚”“一千粒豆子有多少”，不僅太難（成人也未必能較準(zhǔn)確估出），最后呈現(xiàn)實(shí)物也只能“灌”給學(xué)生一千張紙、一千粒豆子具體是多少的感覺(jué)。B教師則先讓學(xué)生小組合作，各自數(shù)出一百粒豆子，然后問(wèn)：“如果把豆子倒入這個(gè)瓶子，估一估500粒豆子會(huì)到瓶子的什么位置？”一百一百地倒進(jìn)400粒后，再問(wèn)：“現(xiàn)在要不要調(diào)整你的估計(jì)呢？再估一估，一千粒會(huì)到哪里呢？這樣的活動(dòng)過(guò)程不僅讓學(xué)生很好地培養(yǎng)了數(shù)感，積累了用不同單位數(shù)數(shù)的經(jīng)驗(yàn)（一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)出十，一十一十地湊成百，一百一百地匯成千），還引導(dǎo)學(xué)生形成了估測(cè)的意識(shí)和經(jīng)驗(yàn)（先找一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)）。

2.以恰當(dāng)?shù)姆绞阶寣W(xué)生親歷數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程

數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程，也是數(shù)學(xué)思想發(fā)生和凸顯的過(guò)程。圍繞這樣的過(guò)程設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生通過(guò)操作、觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、度量、驗(yàn)證、推理、交流，將書(shū)本知識(shí)（間接經(jīng)驗(yàn)）轉(zhuǎn)化為自己親歷的直接經(jīng)驗(yàn)，這樣不僅有利于學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)的深入理解和掌握，同時(shí)也有利于他們?cè)诨顒?dòng)的過(guò)程中感悟數(shù)學(xué)思想，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，掌握一定的學(xué)習(xí)方法，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，形成“會(huì)學(xué)數(shù)學(xué)”的能力和素養(yǎng)。

例如，在三年級(jí)上冊(cè)《認(rèn)識(shí)幾分之一》的教學(xué)中，通常會(huì)有鼓勵(lì)學(xué)生用數(shù)表示“平均分后的某一份物體”的環(huán)節(jié)，就是讓學(xué)生形象地感受到分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的必要性，再通過(guò)觀察、操作、比較和交流等活動(dòng)，讓學(xué)生對(duì)具體的幾分之一中的“幾”和“一”的含義有直觀的體會(huì)，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行抽象，初步理解分?jǐn)?shù)的含義，形成概念。這些活動(dòng)的意義在于，讓學(xué)生經(jīng)歷了借助圖形操作進(jìn)行思考，從具體的實(shí)物操作中抽象出分?jǐn)?shù)概念的本質(zhì)特征的過(guò)程，積累了相關(guān)的實(shí)踐活動(dòng)、思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，并感受到數(shù)形結(jié)合思想和抽象思想等。這樣的教學(xué)效果，顯然不是簡(jiǎn)單機(jī)械地“用詞語(yǔ)描述分?jǐn)?shù)含義”所能比擬的。

三、引導(dǎo)領(lǐng)悟、體驗(yàn)，促進(jìn)有效內(nèi)化

數(shù)學(xué)思想的形成是學(xué)生思維活動(dòng)的結(jié)果，是個(gè)體的一種感悟。數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)則是學(xué)生這個(gè)主體對(duì)活動(dòng)過(guò)程中的經(jīng)歷、體會(huì)進(jìn)行總結(jié)、提煉而獲得的具有個(gè)性特征的經(jīng)驗(yàn)。兩者都是學(xué)生通過(guò)自己的體驗(yàn)、感悟而逐步內(nèi)化的結(jié)果，而教師的恰當(dāng)引導(dǎo)是實(shí)現(xiàn)這種體驗(yàn)、感悟和內(nèi)化的關(guān)鍵。

1.找準(zhǔn)滲透點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生在運(yùn)用數(shù)學(xué)方法的過(guò)程中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想

應(yīng)指出的是，不能把數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法混為一談，它們有聯(lián)系，但也有區(qū)別。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心和精髓，它比“方法”更上位，屬觀念性、指導(dǎo)性的。在用數(shù)學(xué)思想解決具體問(wèn)題時(shí)，會(huì)逐漸形成程序化的操作而構(gòu)成數(shù)學(xué)方法，所以數(shù)學(xué)方法屬表象性的、操作性的，是可以講授的。但是數(shù)學(xué)方法所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想，學(xué)生則要在教師的引導(dǎo)下方能有所了解和體會(huì)。為此，教師需要把握好滲透數(shù)學(xué)思想的關(guān)鍵點(diǎn)和契機(jī)。

例如，一位教師教學(xué)《垂直與平行》時(shí)，先讓學(xué)生畫(huà)出各自心目中兩條直線的位置關(guān)系，并展示于黑板上，然后問(wèn)：“這么多，我們?cè)撛鯓尤パ芯磕?？”生：“可以分類?！睅熯M(jìn)一步追問(wèn)：“為什么想到分類？”生：“好研究??！”看似簡(jiǎn)單的對(duì)話，卻精彩地體現(xiàn)出教師引導(dǎo)學(xué)生感悟“分類思想”的用心，抓住關(guān)鍵點(diǎn)讓學(xué)生在過(guò)去積累起的分類方法、經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，豁然明確了分類思想的指導(dǎo)意義：分類是有目的的，應(yīng)根據(jù)研究的需要，從某個(gè)角度出發(fā)或按照對(duì)象的某種本質(zhì)來(lái)進(jìn)行，而不是為分類而分類。如果我們的教學(xué)只滿足于學(xué)生“會(huì)按某種標(biāo)準(zhǔn)將對(duì)象劃分為幾個(gè)不同的種類”，那就僅是停留于方法層面的引導(dǎo)，而缺少了具有方向性意義的數(shù)學(xué)思想的滲透。

2.在“做”中引導(dǎo)思考、交流，促進(jìn)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的內(nèi)化

活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)既是個(gè)人對(duì)活動(dòng)過(guò)程中的經(jīng)歷、體會(huì)進(jìn)行總結(jié)、提煉內(nèi)化而得，那么在活動(dòng)中引導(dǎo)學(xué)生圍繞一些關(guān)鍵點(diǎn)進(jìn)行思考、交流，促進(jìn)這種內(nèi)化，就顯得非常重要。這里提倡“交流”，還因?yàn)榛顒?dòng)經(jīng)驗(yàn)未必都是自己摸索得到的，也可以是受別人啟發(fā)而獲得的。

例如，有位教師在三年級(jí)下冊(cè)《數(shù)學(xué)廣角》（等量代換）的教學(xué)中設(shè)計(jì)了引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)圖表示等量關(guān)系推理的過(guò)程。（1個(gè)菠蘿換4個(gè)桃子，1個(gè)桃子換2個(gè)橘子，1個(gè)菠蘿換幾個(gè)橘子？）在學(xué)生展示、交流“作品”的環(huán)節(jié)，教師有意識(shí)地先展示一幅比較逼真地畫(huà)出實(shí)物形象圖的“作品”和一幅畫(huà)幾何圖形代表的“作品”，追問(wèn)：“用正方形、三角形來(lái)表示行嗎？”接著展示另一幅“作品”：先形象地畫(huà)1個(gè)桃子對(duì)應(yīng)2個(gè)橘子，后面只畫(huà)○表示桃子，并在○上對(duì)應(yīng)地寫(xiě)個(gè)“2”。師追問(wèn)道：“你第一組桃子、橘子畫(huà)得這么漂亮，為什么后面不畫(huà)了？○表示什么？寫(xiě)2又是什么意思？”通過(guò)這樣的引導(dǎo)對(duì)比和交流，使全體學(xué)生都理解了畫(huà)的目的，切實(shí)體驗(yàn)到“符號(hào)的使用是數(shù)學(xué)表達(dá)和進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的重要形式”，從而較好地感悟符號(hào)所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，形成運(yùn)用符號(hào)的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

四、注意銜接，長(zhǎng)期滲透，逐步培養(yǎng)

學(xué)生數(shù)學(xué)思想的形成需要經(jīng)歷從模糊到清晰、從理解到應(yīng)用的長(zhǎng)期發(fā)展過(guò)程，數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)同樣要依靠長(zhǎng)期活動(dòng)經(jīng)歷中逐漸積累而獲得。因此，備課時(shí)不僅要考慮教材知識(shí)體系的前后銜接，還要縱向把握相關(guān)數(shù)學(xué)思想、活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)與數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容的聯(lián)系。

例如，在長(zhǎng)度、面積和角度單位等內(nèi)容的教學(xué)中，一般都可以設(shè)計(jì)“比較”的系列活動(dòng)：用肉眼觀察（長(zhǎng)短或大小差異明顯的）—通過(guò)重疊比較（肉眼難以直接判斷的）—通過(guò)割補(bǔ)或借助擺學(xué)具比較（重疊仍不能直接得出結(jié)論或無(wú)法重疊的）。圍繞“怎么比”設(shè)置一個(gè)個(gè)“障礙”引導(dǎo)學(xué)生操作、思考、交流，使他們?cè)诨顒?dòng)中不僅感受到引進(jìn)新“單位”的必要性，而且經(jīng)歷了根據(jù)問(wèn)題特點(diǎn)與條件的變化不斷尋找、調(diào)整解決問(wèn)題的策略的過(guò)程。又如，在幾何形體求積公式和解決問(wèn)題等內(nèi)容的教學(xué)中，通常都可以設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)化問(wèn)題的活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷化繁為簡(jiǎn)、化難為易、化未知為已知的過(guò)程。學(xué)生在不同年級(jí)、不同內(nèi)容的學(xué)習(xí)中多次經(jīng)歷這樣的過(guò)程，分別會(huì)逐步形成明確化、科學(xué)化、數(shù)學(xué)化的比較活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和“不斷地將問(wèn)題變形，直到把它轉(zhuǎn)化成能夠得到解決的問(wèn)題”的轉(zhuǎn)換化歸思想。日常教學(xué)中，我們倘能從縱向關(guān)注“新增兩基”，如此循環(huán)往復(fù)、持之以恒地進(jìn)行有意識(shí)地滲透、培養(yǎng)，它們的落實(shí)就有了可靠保障。