孫明未

摘要：葡萄酒的質(zhì)量與釀酒葡萄的理化指標(biāo)、葡萄酒的理化指標(biāo)等緊密相關(guān)。本文以釀酒葡萄和葡萄酒為研究對象，利用多種統(tǒng)計方法研究葡萄酒指標(biāo)和葡萄酒質(zhì)量之間的定性和定量關(guān)系。找出評酒員對酒的評價之間存在的顯著性差異，并對釀酒葡萄進(jìn)行了分級，具有一定的應(yīng)用價值。

關(guān)鍵詞：葡萄酒評價 多元配對比較檢驗(yàn) 聚類分析 復(fù)相關(guān)回歸分析 逐步回歸分析

1、引言

在我們?nèi)粘５纳钪校瑢ζ咸丫频姆治鲆话闶峭ㄟ^聘請一批有資質(zhì)的評酒員進(jìn)行品評，從而確定葡萄酒的質(zhì)量。根據(jù)每位評酒員品嘗葡萄酒后對其分類指標(biāo)的打分，求其總和作為該類酒的總分，以此來確定不同葡萄酒樣本的質(zhì)量。釀酒葡萄的好壞一般與所釀葡萄酒的質(zhì)量有直接的關(guān)聯(lián)，葡萄酒的理化指標(biāo)和釀酒葡萄檢測的理化指標(biāo)均會在一定程度上反映出葡萄酒的優(yōu)劣和葡萄的質(zhì)量。2012年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽A題中給出了一批評酒員對某一年份多種葡萄酒的評價結(jié)果，該年份這些葡萄酒的理化指標(biāo)和釀酒葡萄的成分?jǐn)?shù)據(jù)，以及釀酒葡萄和葡萄酒中含有的芳香物質(zhì)數(shù)據(jù)，本文以此為基礎(chǔ)，利用多元統(tǒng)計分析方法解決下列問題：

（1）分析兩組評酒員的評價結(jié)果有無顯著性差異；

（2）根據(jù)釀酒葡萄的理化指標(biāo)和葡萄酒的質(zhì)量對這些釀酒葡萄進(jìn)行分級；

（3）分析釀酒葡萄與葡萄酒的理化指標(biāo)之間的聯(lián)系；

（4）分析釀酒葡萄和葡萄酒的理化指標(biāo)對葡萄酒質(zhì)量的影響，并論證能否用葡萄和葡萄酒的理化指標(biāo)來評價葡萄酒的質(zhì)量。

2、基本假設(shè)

（1）建模僅依據(jù)賽題提供數(shù)據(jù)，不考慮其他信息；

（2）不考慮葡萄酒釀酒工藝的差異，即可認(rèn)為選取的葡萄酒樣本產(chǎn)自相同水平葡萄酒加工工藝的廠商；

（3）評酒員對選取的各葡萄酒樣本的打分相互獨(dú)立，不受他人影響及外界因素的干擾。

3、數(shù)據(jù)的預(yù)處理

（1）第一組紅葡萄酒中的數(shù)據(jù)F76缺失，我們采用其他剩余九名評酒員評分的平均值代替該缺失數(shù)據(jù)；

（2）第一組白葡萄酒中數(shù)據(jù)J233的異常值為77（因該類評分最高分為8分），我們認(rèn)為其為輸入錯誤，所以把該數(shù)據(jù)定為7；

（3）釀酒葡萄工作表中的數(shù)據(jù)DD34，考察其它兩組樣本數(shù)據(jù)，我們認(rèn)為其為輸入錯誤，因此可將其定為226.1；

（4）因?yàn)閱栴}2-4都涉及到理化指標(biāo)數(shù)據(jù)的運(yùn)用，又因?yàn)楦鞣N指標(biāo)的量綱不同，所以必須先對附件2、3中的數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，標(biāo)準(zhǔn)化處理的公式為：

再運(yùn)用SPSS按以上公式對數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理。

4、模型的建立與求解

4.1 問題1的模型建立與求解

Ⅰ、多元配對分析的基本理論

配對樣本是指同一樣本進(jìn)行測試所獲得的兩組數(shù)據(jù)，或?qū)蓚€完全相同的樣本在不同條件下進(jìn)行測試所得的兩組數(shù)據(jù)，分為自身配對和同源配對[1]。自身配對指同一試驗(yàn)單位在二個不同時間上分別接受前后兩次處理，用其前后兩次的觀測值進(jìn)行自身對照比較；或同一試驗(yàn)單位的不同部位的觀測值或不同方法的觀測值進(jìn)行自身對照比較。同源配對指將來源相同、性質(zhì)相同的兩個個體配成一對，然后對配對的兩個個體隨機(jī)地實(shí)施不同處理，顯然本題為同源配對問題。兩配對樣本t檢驗(yàn)就是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)對兩個配對樣本來自的兩配對總體的均值是否有顯著差異進(jìn)行推斷。

（1）兩配對樣本t檢驗(yàn)的前提條件：

1、兩配對應(yīng)該是配對的。（兩樣本的觀測值數(shù)目相同，兩樣本的觀測值的順序不能隨意更改）

2、樣本來自的兩個總體應(yīng)該服從正態(tài)分布。

（2）兩配對樣本t檢驗(yàn)的基本實(shí)現(xiàn)思路：

設(shè)X1服從正態(tài)分布其中，

這樣，檢驗(yàn)的問題就轉(zhuǎn)化為單樣本t檢驗(yàn)問題，即轉(zhuǎn)化為檢驗(yàn)Y的均值是否與0有顯著差異。

第二步，建立零假設(shè)

第三步：構(gòu)造t統(tǒng)計量

第四步，利用SPSS自動計算出t值和對應(yīng)的P值

第五步，作出判斷：

若P值小于顯著性水平α，則拒絕零假設(shè)，即認(rèn)為總體存在顯著差異

若P值大于顯著性水平α，則接受原假設(shè)，即認(rèn)為兩總體不存在顯著差異。

先對兩組白葡萄酒評分進(jìn)行樣本檢驗(yàn)， 得配對變量的相關(guān)系數(shù)為r=0.245，對應(yīng)答概率P值為0.28>0.05，可以認(rèn)為兩配對變量無相關(guān)關(guān)系。兩配對樣本的配對差的均值為-2.48929，T統(tǒng)計量的值為-2.602，對應(yīng)的概率P值為P=0.015<0.05，故拒絕原假設(shè)，認(rèn)為兩組評酒員對白葡萄酒的評價結(jié)果有差異性。白葡萄酒兩組評分配對樣本T檢驗(yàn)結(jié)果如下表4-1

表4-1白葡萄酒兩組評分配對樣本檢驗(yàn)結(jié)果

同理，對兩隊(duì)紅葡萄酒評分也進(jìn)行二元配對分析，可以得到如表4-1所示的成對樣本分析數(shù)據(jù)，分析可知：兩組間的相關(guān)系數(shù)，即配對變量的相關(guān)系數(shù)為，對應(yīng)答概率值為，可以認(rèn)為兩配對變量有相關(guān)關(guān)系。兩配對樣本的配對差的均值為，統(tǒng)計量的值為，對應(yīng)的概率值為，故拒絕原假設(shè)，認(rèn)為兩組評酒員對紅葡萄酒的評價結(jié)果有差異性。 由此可以得出對于紅白兩種葡萄酒，兩組評酒員的評價結(jié)果都有顯著性差異的結(jié)論。然后再分別對兩類葡萄酒分別做組內(nèi)方差，可得如下結(jié)果：

表 4-2各組葡萄酒得分方差

則有，說明第二組評分員所得評分?jǐn)?shù)據(jù)波動性更小，數(shù)據(jù)更穩(wěn)定，即第二組結(jié)果更可信。

Ⅱ、單因素方差分析

根據(jù)附件一中各個評酒員分別對各種葡萄酒樣品各種指標(biāo)的分析評價打分，通過求和可以分別得到各類葡萄酒組內(nèi)各名評酒員對各種葡萄酒樣品的整體評分。

先對兩組白葡萄酒的評分進(jìn)行單因素方差分析可得如表1-1所示的單因素方差分析表。從表中可以看出，第五列是統(tǒng)計量F值，計算得1.313；表中第二行、第三行給出了方差的兩個來源，即“組間”和“組內(nèi)”；第三列是檢驗(yàn)統(tǒng)計量的自由度，組間自由度為27，組內(nèi)為28；總自由度為55。

第二列表示偏差平方和，其中組間偏差平方和為547.266，組內(nèi)偏差平方和為432.375，總偏差平方和為979.641。均方為偏差平方和和自由度的商，分別為20.269和15.442，兩者之比為F分布的觀測值1.313。針對假設(shè)Ho，組間均值存在顯著性差異，計算F分布觀測值為1.313，而對應(yīng)的概率P值為0.239。在默認(rèn)顯著性水平為0.05的前提下，由于F統(tǒng)計量的觀測值對應(yīng)的概率P值大于0.05，則應(yīng)接受原假設(shè)，即認(rèn)為兩組評酒員對白葡萄酒的評價結(jié)果無顯著性差異。

再對兩組紅葡萄酒的評分進(jìn)行單因素方差分析，經(jīng)分析，在默認(rèn)顯著性水平為0.05的前提下，由于F統(tǒng)計量的觀測值對應(yīng)的概率P值0.002<0.05，則應(yīng)拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為兩組評酒員對紅葡萄酒的評價結(jié)果有顯著性差異。又因?yàn)檫M(jìn)行單因素方差分析的前提是：

1.樣本要獨(dú)立；

2.各樣本符合正態(tài)分布；

3.各個總體方差是否齊性，要先進(jìn)行方差齊性檢驗(yàn)。

然而在該種情況下，不能夠完全符合上述條件，所以在本題中進(jìn)行單因素方差分析所得到的結(jié)果不可靠，而實(shí)際上，根據(jù)以上實(shí)驗(yàn)計算，進(jìn)行單因素方差分析所得到的結(jié)果與多元配對分析的結(jié)果不太一樣，因此接受多元配對分析的結(jié)果。

4.2 問題2的模型建立與求解

聚類分析法的原理是將參與聚類的每個個體（或變量）視為一類，根據(jù)各個個體之間的距離或相似性，逐步合并，直到合并為一個大類為止。根據(jù)分層聚類分析原理，對于任何數(shù)據(jù)都沒有唯一正確的分類標(biāo)準(zhǔn)。不同的聚類方法得到的結(jié)果或多或少都有一定的差別。一般情況下，我們可以根據(jù)以下幾個原則確定分類數(shù)[2]：

1.各類重心之間的距離必須很大；

2.確定的類中，各類中包含的元素一般都不要太多；

3.類的個數(shù)必須符合實(shí)用的目的；

4.若采用幾種不同的聚類方法處理，則在各自的聚類途中應(yīng)發(fā)現(xiàn)相同的類

由前面得到的紅白葡萄理化指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)值矩陣分別對紅白葡萄進(jìn)行聚類。對于白葡萄，使用ward聯(lián)接對其聚類可得圖4-1、圖4-2所示的聚類分析圖。

圖4-2 白葡萄分層聚類分析樹形圖

圖4-2中所示的白葡萄分層聚類分析樹形圖顯示了分層聚類過程中，從每個個體為單獨(dú)的一類，逐次合并，一直到全部合并成一大類，整個過程都在樹形圖中得到體現(xiàn)。

圖4-1是一幅縱向顯示的冰掛圖。從該圖中可以很輕易地看出任何類數(shù)時的分類結(jié)果。對于白葡萄，根據(jù)分類原則，我們選取聚類類數(shù)為6時，根據(jù)圖4-1可以將葡萄樣品分為下列五類A

圖4-3中所示的紅葡萄分層聚類分析樹形圖顯示了分層聚類過程中，從每個紅葡萄個體為單獨(dú)的一類，逐次合并，一直到全部合并成一大類，整個過程都在樹形圖中得到體現(xiàn)。圖4-4是一幅縱向顯示的冰掛圖。從該圖中可以很輕易地看出任何類數(shù)時的分類結(jié)果。對于紅葡萄，根據(jù)分類原則，當(dāng)我們選取聚類類數(shù)為5時，根據(jù)圖4-4可以將葡萄樣品分為下列五類A對上述五類葡萄進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)差和均值計算，由各分類的均值大小可以對其分類級別高低有個客觀的判斷，即：E>B>C>D>A（Ⅰ>Ⅱ>Ⅲ>Ⅳ>Ⅴ），分類結(jié)果如下表4-4

表4-4 紅葡萄聚類分級

4.3 問題3的建模與求解

對于負(fù)相關(guān)系數(shù)的求解，首先要建立葡萄酒的各項(xiàng)理化指標(biāo)分別對釀酒葡萄的所有理化指標(biāo)回歸方程，然后測定系數(shù)，再計算其復(fù)相關(guān)系數(shù)，并由此說明變量之間的相關(guān)程度的高低，當(dāng)相關(guān)系數(shù)計算出來后，還必須判斷其是否有意義和使用價值，因此必須進(jìn)行復(fù)相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)。先利用SPSS做復(fù)相關(guān)回歸分析得到復(fù)相關(guān)分析表和回歸分析表，將復(fù)相關(guān)分析表轉(zhuǎn)移至EXCEL，然后利用EXCEL相關(guān)性排序，但是因?yàn)榭紤]到有負(fù)相關(guān)的影響，因此要首先先加絕對值再由大到小進(jìn)行排序。相關(guān)性排序后發(fā)現(xiàn)Pearson相關(guān)系數(shù)與顯著性單側(cè)檢驗(yàn)有高度的一致性，所以通過EXCEL自動篩選功能，選出單側(cè)檢驗(yàn)值小于等于0.05的自變量即為與因變量相關(guān)的自變量 。由此可以得出紅、白葡萄酒的理化指標(biāo)與紅、白釀酒葡萄的理化指標(biāo)的定量關(guān)系。再通過回歸分析表即可得到模型的結(jié)果，將兩復(fù)相關(guān)分析表和回歸分析表結(jié)合可得到：

1. 紅葡萄酒的理化指標(biāo)與釀酒葡萄的理化指標(biāo)的模型為：

2. 白葡萄酒的理化指標(biāo)與釀酒葡萄的理化指標(biāo)的模型為：

由回歸方程式可以看出：

1. 對于紅釀酒葡萄的理化指標(biāo)x4（花色苷）、x6（蘋果酸）、x9（褐變度）、x10（DPPH自由基）、x12（單寧）與紅葡萄酒的理化指標(biāo)y1（花色苷）呈顯著正相關(guān)，而x7（檸檬酸）、x8（多酚氧化酶活力）、x13（葡萄總黃酮）、x25（果梗比）、x26（出汁率）與紅葡萄酒的理化指標(biāo)y1（花色苷）呈顯著負(fù)相關(guān)。

2. 對于白釀酒葡萄的理化指標(biāo)x12（單寧）、x15（黃酮醇）、x18（可溶性固形物）與白葡萄酒的理化指標(biāo)y1（單寧）呈顯著正相關(guān)，而x1（氨基酸總量）、x2（蛋白質(zhì)）、x10（DPPH自由基）、x11（總酚）、x13（葡萄總黃酮）、x16（總糖）、x25（果梗比）、x27（果皮質(zhì)量）與白葡萄酒的理化指標(biāo)y1（單寧）呈顯著負(fù)相關(guān)。

同樣的可以得到以下紅葡萄酒的理化指標(biāo)與釀酒葡萄的理化指標(biāo)的模型為：

以及白葡萄酒的理化指標(biāo)與釀酒葡萄的理化指標(biāo)的模型為：

4.4 問題的模型建立與求解

（1）逐步回歸分析

逐步回歸分析，首先要建立因變量y與自變量x之間的總回歸方程，再對總的方程及每—個自變量進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。當(dāng)總的方程不顯著時，表明該多元回歸方程線性關(guān)系不成立；而當(dāng)某—個自變量對y影響不顯著時，應(yīng)該把它剔除，重新建立不包含該因子的多元回歸方程。篩選出有顯著影響的因子作為自變量，并建立“最優(yōu)”回歸方程[4] 。

回歸方程包含的自變量越多，回歸平方和越大，剩余的平方和越小，剩余均方也隨之較小，預(yù)測值的誤差也愈小，模擬的效果愈好。但是方程中的變量過多，預(yù)報工作量就會越大，其中有些相關(guān)性不顯著的預(yù)報因子會影響預(yù)測的效果。

以紅葡萄為例進(jìn)行逐步回歸分析，使用F的概率進(jìn)入0.10刪除0.15，當(dāng)預(yù)測變量數(shù)為7個時，R 方值大于85%，說明此時模型的擬合程度比較高，繼續(xù)對紅葡萄進(jìn)行分析，方差分析知：統(tǒng)計量為19.831，系統(tǒng)自動檢驗(yàn)的顯著性水平為0.0000（非常?。?，因此回歸方程相關(guān)非常顯著。

再對紅葡萄建立逐步回歸模型。

由 “非標(biāo)準(zhǔn)化回歸系數(shù)”可得出多元回歸模型預(yù)報方程為：

由回歸方程式可以看出，紅葡萄酒的質(zhì)量（x）與y11（總酚） 、y23（果穗質(zhì)量）、y21（固酸比）、y15（黃酮醇）呈顯著正相關(guān)，而與y6（蘋果酸）、y8（多酚氧化酶活性）、y14（白藜蘆醇） 呈顯著負(fù)相關(guān)。由此看出，總酚、果穗質(zhì)量、固酸比、黃酮醇，蘋果酸、多酚氧化酶活性、白藜蘆醇是影響紅葡萄酒質(zhì)量的主要原因。

（2）論證

Ⅰ 對（1）分析

由（1）可知：逐步回歸分析模型的R2=0.88，p=0.0000（非常?。椿貧w方程相關(guān)非常顯著，說明得到的模型是一個樂觀結(jié)論。然而，紅葡萄酒的樣本容量N1=27，白葡萄酒的樣本容量N2=28，均為小容量樣本，所以模型穩(wěn)定性較差，且參數(shù)β的標(biāo)準(zhǔn)差較大，因此，完全用釀酒葡萄和葡萄酒的理化指標(biāo)判斷葡萄酒的質(zhì)量不科學(xué)。

Ⅱ 相關(guān)分析

先利用SPSS做芳香物質(zhì)和香氣打分的相關(guān)分析得到相關(guān)分析表，將相關(guān)分析表轉(zhuǎn)移至EXCEL，然后利用EXCEL相關(guān)性排序，但是因?yàn)榭紤]到有負(fù)相關(guān)的影響，因此要首先先加絕對值再由大到小進(jìn)行排序。相關(guān)性排序后發(fā)現(xiàn)Pearson相關(guān)系數(shù)與顯著性雙側(cè)檢驗(yàn)有高度的一致性，所以通過EXCEL自動篩選功能，選出單側(cè)檢驗(yàn)值小于等于0.05的自變量即為與因變量相關(guān)的自變量，分析結(jié)果可知，香氣打分與芳香物質(zhì)x14（檸檬烯）、x31（乙酸辛酯）、x32（2-乙基-1-己醇）、x34（辛酸丙酯）、x37（3，7-二甲基-1，6-辛二烯-3-醇）、x41（3，7-二甲基-1，5，7-辛三烯-3-醇）、x45（辛酸3-甲基丁酯）、x47（丁二酸二乙酯）、x52（十二酸乙酯）、x56（2-吡咯烷酮）、x75（丙酮）、x90（á-蒎烯）、x113（1-辛醇）、x119（（Z）-3，7-二甲基-2，6-辛二烯醛）、x123（（R）-3，7-二甲基-6-辛烯醇）、x127（（E）-3，7-二甲基-2，6-辛二烯-1-醇）有顯著關(guān)系。

5、結(jié)論

本文以釀酒葡萄和葡萄酒為研究對象，建立多元統(tǒng)計模型，對評酒員對酒的評價之間存在的顯著性差異情況進(jìn)行研究，同時研究了釀酒葡萄的分級、釀酒葡萄與葡萄酒的理化指標(biāo)之間的聯(lián)系，論證了葡萄和葡萄酒的理化指標(biāo)對葡萄酒的質(zhì)量評價情況。

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