李艷午，施呂蓉，儲(chǔ)茂權(quán)

（1.蕪湖職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部，安徽蕪湖241003；2.安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，安徽蕪湖241000）

1 引言

設(shè)R是一個(gè)有單位元的環(huán)，元素α∈R稱為一個(gè)clean元，如果a能表示為一個(gè)冪等元和一個(gè)單位元的和；進(jìn)一步地，稱a為一個(gè)強(qiáng)clean元，如果a=e+u，其中e2=e∈R,ue=eu,u是R的一個(gè)單位.相應(yīng)地，環(huán)R稱為一個(gè)（強(qiáng)）clean環(huán)，如果R的每個(gè)元素都是（強(qiáng)）clean元.因?yàn)閏lean環(huán)與正則環(huán)、局部環(huán)、置換環(huán)等重要環(huán)類的密切關(guān)系而使其成為近年來(lái)環(huán)論研究的一個(gè)熱點(diǎn)[1-6].眾所周知，環(huán)上的矩陣的性質(zhì)往往反映了一個(gè)環(huán)自身的性質(zhì)，例如R是clean環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)Tn（R）是clean環(huán).但是，R是強(qiáng)clean環(huán)時(shí)，Tn（R）未必是強(qiáng)clean環(huán).因此，構(gòu)造一個(gè)環(huán)使這個(gè)環(huán)上的三角矩陣環(huán)成為強(qiáng)clean是一件有意義的工作.

在交換代數(shù)里，一個(gè)局部環(huán)往往定義為一個(gè)有唯一極大理想的非零環(huán).局部環(huán)在交換環(huán)里是一個(gè)很普及的概念，因?yàn)槿魏我粋€(gè)交換環(huán)對(duì)它的素理想都可以局部化，所以是研究交換環(huán)的一個(gè)有力的代數(shù)工具.局部環(huán)理論不僅在代數(shù)幾何中有重要的應(yīng)用，即使在環(huán)論本身也是一個(gè)重要的研究對(duì)象和工具，例如文[7]就是用局部環(huán)的總體維數(shù)來(lái)表達(dá)一個(gè)可交換的ACC環(huán)的總體維數(shù).

鑒于局部環(huán)都是強(qiáng)clean環(huán)[3]，所以通過局部環(huán)的構(gòu)造，完成三角矩陣環(huán)為強(qiáng)clean環(huán)的環(huán)構(gòu)造成為一種可能.文章通過整數(shù)環(huán)構(gòu)造了三個(gè)具有局部化性質(zhì)的環(huán)，證明了所構(gòu)造的環(huán)上的三角矩陣環(huán)均為強(qiáng)clean環(huán).

本文中的環(huán)都是有單位元的可換環(huán).其中，Tn（R）表示環(huán)R上的三角矩陣環(huán)；J（R）表示環(huán)R的Ja?cobson根；α∈U()R表示環(huán)R的所有單位元之集合；RM表示環(huán)R上的所有模之集合；其余記號(hào)參照文[8].

2 主要結(jié)果及證明

因?yàn)檎麛?shù)環(huán)Z是最常見的主理想整環(huán)，并且其每個(gè)主理想形如nZ，不難驗(yàn)證Z/nZ為域當(dāng)且僅當(dāng)n為素?cái)?shù).所以，考慮從整數(shù)環(huán)出發(fā)構(gòu)造具有局部化性質(zhì)的環(huán).

引理1設(shè)Z為整數(shù)環(huán)，m為正整數(shù)，Z/mZ則為局部環(huán)?m=ps，其中p為素?cái)?shù)，s正整數(shù).

定理1設(shè)Z為整數(shù)環(huán)，令R=Z/mZ，其中m為某個(gè)素?cái)?shù)的冪.則對(duì)任意正整數(shù)n≥1，T（nR）是強(qiáng)clean環(huán).

證明由引理1知，所構(gòu)造的R是局部環(huán).下面對(duì)n進(jìn)行歸納證明.

當(dāng)n=1時(shí)，由于局部環(huán)的強(qiáng)clean性，顯然對(duì)每個(gè)a∈R，都有強(qiáng)clean表示a=e+u，并且當(dāng)α∈U(R)時(shí)，可以選擇e=0，從而結(jié)論得證.

假設(shè)n＞1，并且對(duì)每個(gè)A=(aij)∈Tn-1(R)，都有強(qiáng)clean表示：(aij)=(eij)+(uij)，使得對(duì)每個(gè)1≤i≤n-1，當(dāng)αii∈U(R)時(shí)，eii=0.現(xiàn)在，假設(shè)

為利用歸納假設(shè)的結(jié)論，再令

其中

由歸納假設(shè)，A1有強(qiáng)clean表示：A1=E+U，其中E=（ei）j，u=（ui）j對(duì)每個(gè)1≤i≤n-1，當(dāng)αii∈U(R)時(shí)，eii=0.

最后，根據(jù)文[6]的定理3.1，存在

使得

并且，對(duì)每個(gè)1≤i≤n，當(dāng)αii∈U(R)時(shí)，eii=0.

推論1設(shè)Ri=Z/miZ，其中mi=,pi均為素?cái)?shù)，R=∏Ri是Ri的直積，則對(duì)任意正整數(shù)n≥1，T（nR）是強(qiáng)clean環(huán).

證明根據(jù)定理1，每個(gè)T（nR）i是強(qiáng)clean環(huán)，而Tn(R)=∏Tn(Ri)，從而定理得證.

推論2設(shè)p∈Z,p為素?cái)?shù)，令Z(p)={a/b∈Q|b?Zp}，則對(duì)任意正整數(shù)n≥1，Tn（Z（p）），是強(qiáng)clean環(huán).

證明由文[8]知，Z（p）是一個(gè)以pZ（p）為極大理想的局部環(huán).于是，根據(jù)定理1，對(duì)任意正整數(shù)n≥1，T（nZ（p））是強(qiáng)clean環(huán).

定理2設(shè)環(huán)R=Z/mZ（其含義如引理1所定義），σ是R的一個(gè)自同態(tài)，其中σ(J(R))?J(R).那么，對(duì)任意正整數(shù)n≥1，T（nR，σ）是強(qiáng)clean環(huán).

證明設(shè)σ是R的一個(gè)自同態(tài)，令

不難驗(yàn)證，Tn(R,σ)也是一個(gè)環(huán)，稱之為環(huán)R上的一個(gè)斜三角矩陣環(huán).顯然，Tn(R,1R)=Tn(R)和T2(R,σ)與形式三角矩陣環(huán)是一致的，這里RM=RR其中xr=xσ(r),x∈M,r∈R.由于σ是一個(gè)自同態(tài)，所以

故由定理1，結(jié)論成立.

定理3設(shè)環(huán)R是一個(gè)可換環(huán)，如果R的理想的格是一個(gè)鏈，那么對(duì)任意正整數(shù)，n≥1，T（nR）是強(qiáng)clean環(huán).

證明由文[8]知，如果環(huán)R是一個(gè)可換環(huán)，并且R的理想的格是一個(gè)鏈，那么R是一個(gè)局部環(huán).于是，由定理1，結(jié)論得證.

眾所周知，自由模都是投射模,但投射模未必是自由模，因此研究一個(gè)環(huán)在什么情況下，其上的投射模都是自由模式有意義的.根據(jù)文[8]的有關(guān)推論，局部環(huán)上的投射模都是自由的，所以結(jié)合前面的定理，有如下兩條推論.

推論3設(shè)Z為整數(shù)環(huán)，令R=Z/mZ，其中m為某個(gè)素?cái)?shù)的冪.則對(duì)任意投射模M∈RM,M是自由模.

推論4設(shè)環(huán)R是一個(gè)可換環(huán)，如果R的理想的格是一個(gè)鏈，那么任意投射模M∈RM,M是自由模.

[1] Nicholson W K.Strongly clean rings and fitting s lemma[J].Comm.Algebra,1999(27):3583-3592.

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