王正元

（中國石油天然氣股份有限公司，北京100007）

文獻(xiàn)[1]中發(fā)表了一種構(gòu)造完全幻方的方法——廣義馬步法，在該法中完全幻方的構(gòu)造僅取決于馬步向量、偏移向量和基礎(chǔ)數(shù)組的組合，因此具有很好的可計(jì)數(shù)性.本文研究利用廣義馬步法可構(gòu)造的素?cái)?shù)階完全幻方的個數(shù).

任意一個完全幻方，可以通過在周期延拓的平面中進(jìn)行平移操作衍生成n2個完全幻方（包括它自身，下同），而每一個這樣的完全幻方又可以通過旋轉(zhuǎn)、反射操作得到8個完全幻方，它們在本質(zhì)上都是同構(gòu)的，我們把這8n2個完全幻方組成的集合稱為一個同構(gòu)集.需注意的是，一般文獻(xiàn)所稱的完全幻方個數(shù)（或稱基本型），通常包含了平移操作衍生的幻方數(shù)，而不包括旋轉(zhuǎn)、反射操作衍生出的幻方數(shù)，如一般認(rèn)為4階完全幻方有48個[2]，而按照同構(gòu)集的概念，它們只屬于3個同構(gòu)集.本文著重研究的即是完全幻方的同構(gòu)集個數(shù).

1 馬步向量的計(jì)數(shù)

采用文獻(xiàn)[1]中的坐標(biāo)體系，首數(shù)1置于幻方的左上角（坐標(biāo)[1，n]），馬步向量記為（x，y）.由于n為素?cái)?shù)，易知文獻(xiàn)[1]定理三中不滿足α2、β2與n互素的馬步向量為（0，y）（其中y∈[-1,-(n-1)]）以及（x，0）（其中x∈[0,n-1]）等.直觀地講，因?yàn)檫@將導(dǎo)致基礎(chǔ)數(shù)組的n個數(shù)被排到同一行或同一列，而它們的和顯然不等于幻和.這樣的馬步向量共2n-1個.不滿足γ2和δ1與n互素的馬步向量為（x，-x），（x，-（n-x））等，其中x∈[1,n-1].因?yàn)檫@將使得基礎(chǔ)數(shù)組的n個數(shù)被排到同一條對角線或折對角線.這樣的馬步向量共有2（n-1）個，除此以外均可滿足定理三的條件.于是，可能取到的馬步向量數(shù)為：

2 偏移向量的計(jì)數(shù)

偏移向量的選擇受到更多的限制.不僅馬步向量不能取到的值偏移向量也不能取到，而且，任何導(dǎo)致生成數(shù)與基礎(chǔ)數(shù)重疊的偏移向量也不能取到.下面證明，這樣的需排除的向量還有n-1個.

N階數(shù)字方陣中，基礎(chǔ)數(shù)共有n個，首數(shù)1的位置已在排除之列，要證明的結(jié)論即等同于其他基礎(chǔ)數(shù)的位置不會出現(xiàn)在1所在的行、列及主對角線、折對角線.

若第m+1個基礎(chǔ)數(shù)出現(xiàn)在1所在的行，意味著其坐標(biāo)為（i，n），而這個數(shù)的位置是由首數(shù)1經(jīng)m次馬步操作而來，則有坐標(biāo)關(guān)系式：

其中1≤m≤n-1.注意到n為素?cái)?shù)，0≤y≤n-1，則必有y=0，而這樣的馬步向量已被排除.

若第m+1個基礎(chǔ)數(shù)出現(xiàn)在1所在的列，如上可推出x=0，這樣的馬步向量也已被排除.

若第m+1個基礎(chǔ)數(shù)出現(xiàn)在1所在的主對角線上，則其坐標(biāo)為（i，n+1-i），有坐標(biāo)關(guān)系式：

考慮到x，y的取值范圍以及等效位的特點(diǎn)，易得y=-x，或y=-（n-x），對應(yīng)的馬步向量為（x，-x）或（x，-（n-x）），而這樣的馬步向量也已被排除.

若第m+1個基礎(chǔ)數(shù)出現(xiàn)在1所在的折對角線上，同樣可推出對應(yīng)的馬步向量為（x，-x）或（x，-（n-x）），而這樣的馬步向量也已被排除.

綜上所述，若馬步向量滿足構(gòu)成完全幻方的條件，則除首數(shù)1之外的基礎(chǔ)數(shù)的位置必不會出現(xiàn)在1所在的行、列及主對角線、折對角線，而是要占據(jù)n-1個行、列互異的位置.這就意味著，偏移向量的取值數(shù)將再減少n-1個.于是，可能取到的偏移向量數(shù)目：

偏移向量的取值還受到另外的限制，即必須滿足|uy-vx|與n互素.下面將證明，除了以上已排除的偏移向量，其他任何偏移向量均滿足|uy-vx|與n互素.

設(shè)|uy-vx|與n不互素，則有：

顯然，對任意（x，y），（u，v）=（kx+pn，ky+qn）為滿足上式的解，其中k，p，q均為整數(shù).而注意到這個解集正是導(dǎo)致生成數(shù)與基礎(chǔ)數(shù)重疊的那些偏移向量所構(gòu)成，其數(shù)量為n-1個，并且對任一固定的u或者v，各只有一個解.

設(shè)（ui，v0）為上述解集中的一個解，則有：

令ui不變，考察vj=v0+1，……，v0+n-1的情形，顯然，對任意vj=v0+m（其中m=1，2，……，n-1），有：

所以，在所有的n-1個ui中，僅有n-1個（u，v）使得|uy-vx|與n不互素，其余的（u，v）均滿足互素條件，而這n-1個（u，v）已在上面的論證中被計(jì)入排除之列.于是，可能取得的偏移向量的數(shù)目為：

3 馬步向量—偏移向量組合的對稱性

每一個幻方都可通過旋轉(zhuǎn)、反射操作衍生為8個同構(gòu)的幻方，反映到廣義馬步法構(gòu)造的完全幻方上，意味著馬步向量和偏移向量的組合可能具有某些對稱性.顯而易見，對同一個基礎(chǔ)數(shù)組，馬步向量為（x0，y0），偏移向量為（u0，v0）的構(gòu)造與馬步向量為（y0，x0），偏移向量為（v0，u0）的構(gòu)造是對稱的，構(gòu)造出的完全幻方屬于同一個同構(gòu)集.易證對任意的馬步向量（x0，y0），偏移向量（u0，v0）的組合，以下組合構(gòu)成同一個同構(gòu)集：

馬步向量（x0，y0），偏移向量（u0，v0）；馬步向量（x0，n-y0），偏移向量（u0，n-v0）

馬步向量（n-x0，y0），偏移向量（n-u0，v0）；馬步向量（n-x0，n-y0），偏移向量（n-u0，n-v0）

馬步向量（y0，x0），偏移向量（v0，u0）；馬步向量（y0，n-x0），偏移向量（v0，n-u0）

馬步向量（n-y0，x0），偏移向量（n-v0，u0）；馬步向量（n-y0，n-x0），偏移向量（n-v0，n-u0）

其中，n-x0，n-y0，n-u0，n-v0等若大于n，按照等效位的概念做以n為模的同余處理.因此，在幻方同構(gòu)集的計(jì)數(shù)中，應(yīng)計(jì)入的馬步向量—偏移向量組合數(shù)需乘以1/8的因子.

4 廣義馬步法完全幻方計(jì)數(shù)

廣義馬步法中，對任意n階，在特定的馬步向量和偏移向量組合下，一個基礎(chǔ)數(shù)組對應(yīng)一個完全幻方.根據(jù)文獻(xiàn)[1]的結(jié)果，對n≥5的素?cái)?shù)階，其基礎(chǔ)數(shù)組可有（n-1）!個.然而，對馬步向量（x0，y0），偏移向量（u0，v0），基礎(chǔ)數(shù)組{a[1]，a[2]，a[3]，…，a[n]}構(gòu)造的幻方，可視其為馬步向量（px0，py0），偏移向量（pu0，pv0），基礎(chǔ)數(shù)組{a[1]，a[p+1]，a[2p+1]，…}的幻方.這意味著同一個幻方實(shí)際上對應(yīng)著n-1個馬步向量-偏移向量-基礎(chǔ)數(shù)組組合.因此，計(jì)數(shù)時還應(yīng)除以（n-1）.相當(dāng)于基礎(chǔ)數(shù)組共有（n-2）!個.

綜上所述，對任意n≥5的素?cái)?shù)階，廣義馬步法所能構(gòu)成的完全幻方的同構(gòu)集數(shù)目為：

眾所周知，5階完全幻方的同構(gòu)集為144個[3]，而上面的公式給出廣義馬步法所能構(gòu)成的為24個.產(chǎn)生差異的根源在于文獻(xiàn)[1]中出于方便而指定基礎(chǔ)數(shù)組首數(shù)a[1]=1及生成數(shù)的表達(dá)式a[i]+n*（a[p]-1）.筆者曾指出，指定a[1]=1并非是必須的，只是當(dāng)a[1]≠1時生成數(shù)的表達(dá)式需進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兓?此時，可取Lp={[n2+a[i]+n*（a[p]-a[1]）]mod（n2）|i=1，2，…，n}，且當(dāng)[n2+a[i]+n*（a[p]-a[1]）]mod（n2）=0時，令該生成數(shù)為n2.讀者可以自行驗(yàn)證，當(dāng)采用這樣的表達(dá)式時，甚至基礎(chǔ)數(shù)組都不必由1～n的數(shù)構(gòu)成，而可以是1～n，（n+1）～2n，…，（n2-n+1）～n2中的任何一組數(shù).這樣的表達(dá)式給予了生成數(shù)組Lp在平面排列順序的自由度，使得可構(gòu)成的完全幻方同構(gòu)集大大增加，但其對稱性尚待進(jìn)一步研究.筆者猜測，最廣義的表達(dá)式可能給出所有規(guī)則的完全幻方.

[1] 王正元.一種構(gòu)造完全幻方的新方法—廣義馬步法[J].海南師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2012,25(2):151-157.

[2] 吳鶴齡.幻方及其他——娛樂數(shù)學(xué)經(jīng)典名題[M].2版.北京:科學(xué)出版社,2004:83.

[3] 高治源.完美幻方的結(jié)構(gòu)[J].延安教育學(xué)院學(xué)報(bào),1999(1):28-30.