張雪艷，陳傳鐘，胡曉華

（海南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，海南海口571158）

海南從建省之初的“工、農(nóng)、貿(mào)、旅”并舉到后來的“一省兩地”戰(zhàn)略的提出，再到“大企業(yè)進(jìn)入，大項(xiàng)目帶動(dòng)”的實(shí)施，以及隨著《國務(wù)院關(guān)于推進(jìn)海南國際旅游島建設(shè)發(fā)展的若干意見》的發(fā)布，海南國際旅游島建設(shè)正式上升為國家戰(zhàn)略，極大拓寬了海南的發(fā)展視野.能否在這一歷史機(jī)遇面前實(shí)現(xiàn)歷史性突破，對于海南至關(guān)重要.

時(shí)間序列是按時(shí)間順序排列的一組數(shù)字序列.利用這組序列，應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法加以處理，以預(yù)測未來事物的發(fā)展.本文是以海南省過夜旅游人數(shù)作預(yù)測分析.所謂過夜旅游人數(shù)是指逗留時(shí)間至少超過一夜的旅游人數(shù).旅游人數(shù)是考核旅游業(yè)的重要指標(biāo)之一.

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 季節(jié)調(diào)整模型的建模原理

季節(jié)模型[1]是反映具有季節(jié)變動(dòng)規(guī)律的時(shí)間序列模型.為了更好的觀察數(shù)據(jù)波動(dòng)的情況一般把傳統(tǒng)時(shí)間序列的波動(dòng)歸結(jié)為四大因素：趨勢變動(dòng)（trend T），季節(jié)變動(dòng)（seasonal S），循環(huán)變動(dòng)（circle C）和不規(guī)則變動(dòng)（irregular I）.含有趨勢性的時(shí)間序列用乘法模型X=TSCI；四大因素之間相互獨(dú)立時(shí)則用加法模型X=T+S+C+I.季節(jié)因子（S）反映隨時(shí)間變化受季節(jié)因素的影響程度.季節(jié)調(diào)整模型的建立主要是對季節(jié)因子的測定，其基本步驟是：（1）測定趨勢T（采用移動(dòng)平均法）；（2）剔除趨勢部分；（3）測定季節(jié)因子.

1.2 SARIMA模型的基本原理

SARIMA模型[2]是ARIMA模型的特例，是描述一些明顯由季節(jié)變化或其他固有因素引起的周期性時(shí)間序列的模型.

SARIMA模型是建立在平穩(wěn)時(shí)間序列基礎(chǔ)上的模型，通過對原序列的不斷平穩(wěn)化最終建立模型，見式（1）：

式中B為滯后算子，Φp(B)是非季節(jié)p階自回歸算子；Ap(Bs)是季節(jié)P階自回歸算子；Θq(B)是非季節(jié)q階移動(dòng)回歸算子；HQ(Bs)是季節(jié)Q階移動(dòng)回歸算子；Δd=（1-B）d是進(jìn)行d階逐期差分算子；=(1-Bs)D是D階季節(jié)差分算子；Δdxt是原序列xt經(jīng)過d階逐期差分與D階季節(jié)差分后的平穩(wěn)序列；且

Φp(B) Δdxt表示同一周期內(nèi)不同周期點(diǎn)的相關(guān)關(guān)系；Ap(B)則描述不同周期的同一周期點(diǎn)上的相關(guān)關(guān)系；兩者的乘積則刻畫了兩個(gè)因素的共同作用.

SARIMA建模的基本步驟[3]：（1）根據(jù)原數(shù)列時(shí)序圖的特性，進(jìn)行差分與季節(jié)差分把原序列xt變成一個(gè)平穩(wěn)的時(shí)間序列yt，然后進(jìn)行平穩(wěn)性的單位根與相關(guān)圖檢驗(yàn)最終確定d，D；（2）通過對相關(guān)圖在S周期處的自相關(guān)與偏自相關(guān)系數(shù)值，確定P，Q的值；并通過相關(guān)圖的拖尾性與截尾性來判定p，q的值；（3）對原序列xt建立

模型；（4）進(jìn)行模型的參數(shù)估計(jì)與適應(yīng)性檢驗(yàn)：（a）由差分序列的適當(dāng)自相關(guān)與偏自相值求得模型的初始估計(jì)值，并將這些估計(jì)值作為最小二乘估計(jì)的初始值，對模型參數(shù)進(jìn)行最小二乘估計(jì).（b）對估計(jì)得到的暫定模型進(jìn)行適應(yīng)性檢驗(yàn)，若不接受暫定模型則表明不是最優(yōu)模型，可根據(jù)檢驗(yàn)所提供的有關(guān)信息改進(jìn)模型，重新擬合改進(jìn)模型，并對其進(jìn)行適應(yīng)性檢驗(yàn)，直到得到最優(yōu)模型為止；（5）根據(jù)（4）建立的方程模型使用Eviews6.0軟件中的Forecast功能對其進(jìn)行預(yù)測，并估計(jì)其值誤差的大小來判定最終預(yù)測值.

2 應(yīng)用實(shí)例

2.1 季節(jié)調(diào)整模型的建立

通過使用計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)軟件Eviews6.0[4]對附表1的數(shù)據(jù)進(jìn)行季節(jié)調(diào)整，所得相關(guān)圖形見圖1～圖5.

由圖1～圖5看出，該序列有明顯的規(guī)律性.因此可以建立如下的乘積預(yù)測模型，見式（4）：

其中f（t）為模型的趨勢部分，si為季節(jié)指數(shù).

通過對季節(jié)調(diào)整后的序列X_SA進(jìn)行試擬合f（t）模型，所得的相關(guān)參數(shù)值見表1.

表1 相關(guān)參數(shù)值Tab.1 The relevant parameter value

根據(jù)數(shù)據(jù)調(diào)整后的樣本決定系數(shù)（Adjusted R2）、AIC準(zhǔn)則與SC準(zhǔn)則、預(yù)測時(shí)的平均絕對百分誤差（Mean Abs.percent Error簡記MAPE）和希爾不等系數(shù)（T heil Inequality coefficient簡記T-I-C），確定趨勢模型為式（5）：

所建立的預(yù)測模型為式（6）：

2.2 SARIMA模型的建立

2.2.1 數(shù)據(jù)分析（平穩(wěn)化）

根據(jù)圖3對應(yīng)的季節(jié)因子，利用式（5）、式（6）計(jì)算2011年9月至2012年8月海南過夜旅游人數(shù)得到預(yù)測結(jié)果，見表2.

表2 2011年9月至2012年8月海南過夜旅游人數(shù)預(yù)測結(jié)果Tab.2 The forecast number of overnight tourist in Hainan from September 2011 to October 2012

利用Eviews6對2011年9月到2012年8月的數(shù)據(jù)作時(shí)序見圖6，圖6表明：序列隨時(shí)間變化存在周期性與趨勢性，從而該序列為非平穩(wěn)的時(shí)間序列.由于數(shù)據(jù)具有指數(shù)函數(shù)增長趨勢，為了減小數(shù)據(jù)的這種波動(dòng)影響首先對其取對數(shù)后進(jìn)行一階差分，即yt=ln（xt）-ln（xt-1），再檢驗(yàn)?zāi)Ｐ褪欠窈屑竟?jié)性.所得的自相關(guān)圖中，當(dāng)K=12時(shí)序列的自相關(guān)系數(shù)是0.684，大大超出了隨機(jī)區(qū)間的范圍，有顯著的差異，表明該序列具有周期性的季節(jié)波動(dòng).要使數(shù)列平穩(wěn)需再進(jìn)行一次季節(jié)差分，即zt=yt-yt-12，所得自相關(guān)圖，見表3.

表3 一次差分與一次季節(jié)差分后的自相關(guān)表Tab.3 A difference and once the season differential autocorrelogram

表3表明：當(dāng)K＞4時(shí)，序列的自相關(guān)系數(shù)很快的趨于0，即落入隨機(jī)區(qū)間.對此時(shí)序進(jìn)行單位根檢驗(yàn)，所得結(jié)果見表4.

?

由表4知，t統(tǒng)計(jì)量的檢測值為-14.48537小于所有置信區(qū)間的臨界值，表明序列平穩(wěn).即：H0∶r=0H1∶r=1

t統(tǒng)計(jì)量的檢驗(yàn)值＜臨界值，所以拒絕H0，序列沒有單位根，即平穩(wěn).

2.2.2 模型的識(shí)別與檢驗(yàn)

由AR、MA、ARMA模型的自相關(guān)與偏自相關(guān)特性，判定其模型類型參照表5.

表5 AR、MA、ARMA模型的自相關(guān)與偏自相關(guān)的識(shí)別與檢驗(yàn)表[5]Tab.5 AR、MA、ARMA model's identification and inspection of ACF and PACF

由上述平穩(wěn)化的過程可知：d=1，D=1；由于K=12時(shí)樣本的自相關(guān)系數(shù)-0.084與偏自相關(guān)系數(shù)-0.202都不顯著，為0，所以P=Q=1；再次由zt的相關(guān)圖可以嘗試建立（p，q）分別為（1，1），（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3）的模型，然后進(jìn)行取優(yōu)，所得相關(guān)檢驗(yàn)結(jié)果見表6.

由表6知：首先，擬建立的七個(gè)模型都滿足AR?MA過程的平穩(wěn)條件（無單位根）及可逆條件（AR模型與MA模型可以相互轉(zhuǎn)化），可知模型設(shè)定的合理.其次，殘差序列的白噪聲檢驗(yàn)的相伴概率（p-Q）的值看出，各模型殘差均是白噪聲過程，滿足獨(dú)立性的假設(shè).再次，根據(jù)模型的平均絕對百分誤差（MAPE）的值都小于10，可知模型擬合的都很好.最后，鑒于AIC與SC準(zhǔn)則與希爾不等系數(shù)（Theil Inequality coefficient）、樣本決定系數(shù)（Ad?justed R2）及考慮到AR模型是線性方程估計(jì)，實(shí)際建模時(shí)一般希望用高階的AR模型替換ARMA模型，因此選定（p，q）?。?，1）時(shí)進(jìn)行建立SARIMA（1，1，1）×（1，1，1）12模型比較合適.擬合模型的相關(guān)系數(shù)見表7.

代入（1）式整理成方程，見式（7）.

表6 模型檢驗(yàn)結(jié)果Tab.6 The results of model

?

其中μt為上述檢驗(yàn)為零均值的白噪聲序列，即原序列的殘差序列是白噪聲序列.

2.2.3 預(yù)測

根據(jù)（7）式，直接在Eviews6中預(yù)測2011年9月至2012年8月的旅游人數(shù)，所得結(jié)果見表8.對海南2012年9月-2013年8月的旅游人數(shù)作出預(yù)測，所得結(jié)果見表9.

表8 2011年9月至2012年8月海南過夜旅游人數(shù)預(yù)測結(jié)果Tab.8 The forecast number of overnight tourist in Hainan from September 2011 to October 2012

2.3 兩種模型預(yù)測結(jié)果比較

1）比較季節(jié)調(diào)整模型與SARIMA模型對2011年9月到2012年8月海南過夜旅游人數(shù)的真實(shí)值與預(yù)測值的均方誤差發(fā)現(xiàn)：對于季節(jié)調(diào)整模型的均方誤差為15.26，而SARIMA模型所得的均方誤差為12.15，從而可知SARIMA模型預(yù)測較優(yōu).根據(jù)數(shù)據(jù)作季節(jié)調(diào)整模型與SARIMA模型擬合圖，結(jié)果見圖7.其中X表示實(shí)際值；X1表示季節(jié)調(diào)整模型的預(yù)測值；X2表示SARIMA模型的預(yù)測值.

表9 2012年9月至2013年8月海南過夜旅游人數(shù)預(yù)測結(jié)果Tab.9 The forecast number of overnight tourist in Hainan from September 2012 to October 2013

[1] 易丹輝.數(shù)據(jù)分析與Eviews6應(yīng)用[M].北京:中國人民大學(xué)出版社,2008:103-111,122-151.

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附表1海南省2002年9月至2012年8月接待過夜旅游者人數(shù)（單位：萬人）Extra Tab.1 The number of overnight tourist in Hainan from September 2002 to October 2012(Unit:ten thousand)