雷 霖 胡 俊 胡皓全

（電子科技大學(xué)電子工程學(xué)院，四川 成都611731）

引 言

在武器系統(tǒng)的研制中，隱身設(shè)計是一項非常重要的軍事需求［1-6］.除外形設(shè)計技術(shù)之外，目標(biāo)表面涂覆吸收材料也是隱身設(shè)計中經(jīng)常使用的一項技術(shù)，針對涂覆吸收材料目標(biāo)的電磁散射特性建模方法也就顯得很重要.傳統(tǒng)解析方法可以處理各向異性媒質(zhì)涂敷導(dǎo)體球的電磁散射，但不能用于任意涂敷復(fù)雜導(dǎo)體情形，使得解析方法有很大的局限性［5］.有限元方法是一種非常有效的方法，它在處理復(fù)雜非均勻介質(zhì)目標(biāo)的電磁散射與輻射問題中有著極大的優(yōu)勢［7］.單純的有限元方法需要應(yīng)用吸收邊界條件去截斷計算區(qū)域的邊界.有限元方法與邊界元混合方法綜合了兩種方法的優(yōu)勢，只需將截斷邊界選取在目標(biāo)的邊界上，使得內(nèi)存的需求和計算時間大為降低［8-11］.但是，由于涂覆材料的厚度很薄，無論采用積分方程方法還是采用有限元方法與邊界元混合，均會遇到待求未知量多、矩陣病態(tài)的困難.為實(shí)現(xiàn)薄層介質(zhì)的高效數(shù)值求解，阻抗邊界條件技術(shù)被廣泛使用［12］，薄介質(zhì)片及多層薄介質(zhì)片模型也被提出應(yīng)用在積分方程法用以進(jìn)一步降低未知量的數(shù)目［13-15］.為提升有限元方法分析薄層介質(zhì)的效率，D.Wulf，R.Bunger發(fā)展了三棱柱單元［16］.Z.Ren進(jìn)一步發(fā)展了薄殼單元［17］，該單元是三棱柱單元的退化，它類似于三角形面單元，對于薄層介質(zhì)只需要進(jìn)行面剖分，而不需要進(jìn)行體剖分.采用薄殼單元可以極大地降低未知量和計算時間.該方法也被應(yīng)用到時域有限元方法中［18］.

由于涂覆目標(biāo)往往是金屬的，在本文中主要處理涂覆各向異性介質(zhì)的導(dǎo)體目標(biāo)的電磁散射問題.首先，闡述有限元-邊界元方法處理各向異性媒質(zhì)的基本原理，介紹了薄殼單元的性質(zhì)及與有限元-邊界元方法的結(jié)合.通過對比驗(yàn)證了使用薄殼單元分析各向異性介質(zhì)涂敷金屬球和各向異性介質(zhì)涂敷金屬立方體電磁散射的精確性及優(yōu)勢，并給出了使用薄殼單元分析不同涂敷厚度對各向異性涂敷金屬立方體電磁散射特性的影響和不同各向異性介質(zhì)涂敷時對金屬立方體電磁散射的影響，得出了有益的結(jié)論.

1 有限元-邊界積分方法基本原理

研究導(dǎo)體目標(biāo)涂覆各向異性介質(zhì)材料的電磁散射問題.在各向異性媒質(zhì)中的電場滿足麥克斯韋方程為

分別是媒質(zhì)的相對磁導(dǎo)率和介電常數(shù)；k0是自由空間的波數(shù).

在各向異性媒質(zhì)與自由空間的邊界上，電場滿足下列邊界條件：

對于各向異性媒質(zhì)區(qū)域，用有限元方法建立方程為

對上述方程離散并應(yīng)用權(quán)函數(shù)，可得到下面的矩陣方程為

由于這個方程有兩個未知量，要求解還需要建立另一個方程.對于邊界上的場量，用積分方程方法建立另一個方程，聯(lián)立兩個方程即可求解.

積分方程分為電場積分方程和磁場積分方程：

通常為了避免內(nèi)部諧振，需要將兩種方程混合在一起構(gòu)成混合場積分方程.將混合場方程進(jìn)行離散并應(yīng)用權(quán)函數(shù)，可得到下面的矩陣方程為

內(nèi)外兩個區(qū)域的場通過邊界條件聯(lián)系起來，即聯(lián)立式（5）和式（10），可將整個問題用下面的矩陣方程表示為

求解方程（11）就可以得到邊界上及媒質(zhì)內(nèi)部的場量，從而可以進(jìn)行進(jìn)一步地分析其散射特性.

2 薄殼單元及與有限元-邊界積分方法的結(jié)合

如圖1所示，在薄殼單元中，將沿高度方向的矢量場表示為三個結(jié)點(diǎn)上的法向場，在薄殼單元中就由沿上下表面的棱邊場和結(jié)點(diǎn)上的法向場構(gòu)成所有的場量.高度d方向的場的變化可以用一個線性函數(shù)β（z）來表示，并且有?β＝-n＾/d.上下表面的棱邊場的基函數(shù)分別用βNj（j＝1，2，3）和β′N′j（j＝1，2，3）來表示（Nj和N′j是三角形單元的棱邊基函數(shù)）.結(jié)點(diǎn)處場的基函數(shù)用Lj，j＝1，2，3來表示（Lj是體積坐標(biāo)）.

圖1 薄殼單元的結(jié)構(gòu)及矢量方向

在薄殼單元中的電場可以表示為［7］：

采用薄殼單元，在薄層介質(zhì)中的體積分就可以轉(zhuǎn)換為面積分.有限元方程可寫為

式（13）中，體積分的處理類似于下面幾個式子：

對于導(dǎo)體涂敷各向異性介質(zhì)的情況，矩陣方程可改寫成

式中：En1是結(jié)點(diǎn)處法向電場展開系數(shù)；Eu1是上表面棱邊電場展開系數(shù).

3 數(shù)值結(jié)果

為了驗(yàn)證采用薄殼元的有限元-邊界積分方程方法的精確性，進(jìn)行了下列考察.

3.1 介質(zhì)涂敷導(dǎo)體球

介質(zhì)涂敷導(dǎo)體球參數(shù)的結(jié)構(gòu)參數(shù)均為：k0a＝1，厚度為a/30.不同的只是介電常數(shù).

1）各向同性介質(zhì)涂敷導(dǎo)體球

為驗(yàn)證程序的有效性，先用采用薄殼單元的有限元-邊界積分方法的針對各向異性介質(zhì)涂敷導(dǎo)體雷達(dá)散射截面（Radar Cross-Section，RCS）的程序計算各向同性介質(zhì)涂敷金屬球的雙站RCS，選擇相對介電常數(shù)為＝4.其結(jié)果如圖2所示，可見其計算結(jié)果與解析解結(jié)果完全吻合，證明該方法的精度是可靠的.

圖2 各向同性介質(zhì)涂敷金屬球雙站RCS

2）各向異性介質(zhì)涂敷導(dǎo)體球

將各向同性介質(zhì)換成各向異性介質(zhì)，通過改變介電常數(shù)來對比傳統(tǒng)有限元-邊界積分方程方法與使用薄殼元的有限元-邊界積分方程方法的計算結(jié)果，以證明其精確性和優(yōu)越性.

兩種方法的結(jié)點(diǎn)數(shù)、單元數(shù)、內(nèi)存和未知量的對比如表1所示，從表1可知采用四面體單元計算所需計算機(jī)內(nèi)存、單元數(shù)、未知量分別是采用薄殼元的1.7倍、2.44倍、1.3倍.

表1 兩種方法對比

圖3 各向異性介質(zhì)涂敷金屬球雙站RCS

3.2 介質(zhì)涂敷金屬立方體

計算介質(zhì)涂敷金屬立方體的結(jié)構(gòu)均為：邊長0.1 m；波長0.1m；入射波僅有分量，入射波方向θinc＝45°，φinc＝0°.不同的是介質(zhì)厚度和介電常數(shù).

1）各向同性介質(zhì)涂敷金屬立方體

為驗(yàn)證方法的精確性，先用采用薄殼單元的有限元-邊界積分方法計算各向異性介質(zhì)散射特性的程序計算各向同性介質(zhì)＝4，介質(zhì)厚度為0.001m時的雙站RCS.從圖4可以看出：采用薄殼元的有限元邊界積分方程方法與FEKO軟件的計算結(jié)果非常吻合，與傳統(tǒng)有限元-邊界積分方程方法也比較吻合.

2）各向異性介質(zhì)涂敷金屬立方體

兩種方法的結(jié)點(diǎn)數(shù)、單元數(shù)、內(nèi)存和未知量的對比如表2所示，從表2可知采用四面體單元計算所需計算機(jī)內(nèi)存、單元數(shù)、未知量分別是采用薄殼元的1.92倍、2.7倍、1.4倍.

表2 兩種方法對比

3.3 參數(shù)改變對RCS的影響

通過改變各向異性介質(zhì)涂層的厚度和參數(shù)來看對雙站RCS有什么影響.

1）厚度對RCS的影響

選擇涂層的介電常數(shù)

2）不同介質(zhì)參數(shù)對RCS的影響

采用薄殼元的有限元-邊界積分方法分析改變介質(zhì)參數(shù)對RCS的影響，選擇下面幾種不同的參數(shù)＝εr1、＝εr2、＝εr3進(jìn)行比較，結(jié)果如圖7所示，其中0表示的是沒有涂敷的金屬立方體.

從圖7可以看出，沒有涂敷各向異性介質(zhì)的金屬立方體比1號介質(zhì)的前向RCS減少了約5dB，后向RCS增大了約5dB.從前三種介質(zhì)的計算結(jié)果對比發(fā)現(xiàn)，1號介質(zhì)與3號介質(zhì)由于材料類似，對角線元素的值變化不大所以結(jié)果相差不大，2號介質(zhì)與1，3號介質(zhì)由于材料不同，所以對結(jié)果有一定影響，在本文所選介質(zhì)的情況下，前向RCS變化不大，但2號介質(zhì)的后向RCS比1、3號介質(zhì)減小了約2dB.

4 結(jié) 論

通過使用四面體單元的有限元-邊界積分方程方法與使用薄殼單元的有限元-邊界積分方程方法的對比可以看出：采用薄殼元的有限元-邊界積分方法與采用四面體的有限元-邊界積分方法相比具有比較高的精度，無論是所需剖分單元數(shù)量、未知量還是所需計算機(jī)內(nèi)存上，前者都明顯優(yōu)于后者，采用薄殼元的有限元-邊界積分方法在計算各向異性介質(zhì)涂敷導(dǎo)體時能節(jié)省大量的計算機(jī)內(nèi)存和計算時間，剖分越密，效果越明顯.由于實(shí)際工程中使用吸波材料的厚度都在0.1λ0以下，前面的數(shù)據(jù)也證明該方法計算厚度為0.1λ0各向異性介質(zhì)涂敷導(dǎo)體目標(biāo)雙站RCS的精度還是符合要求的，從而證明了該方法分析各向異性介質(zhì)涂敷導(dǎo)體電磁散射的可行性.

從采用薄殼單元來分析當(dāng)涂敷各向異性介質(zhì)的厚度改變對目標(biāo)雙站RCS的影響中可以看出：介質(zhì)厚度的改變對目標(biāo)RCS有很大的影響.

從采用薄殼單元來分析當(dāng)涂敷各向異性介質(zhì)的介電常數(shù)改變對目標(biāo)雙站RCS的影響中可以看出：涂敷各向異性介質(zhì)材料與不涂敷介質(zhì)材料對導(dǎo)體目標(biāo)的電磁特性有很大影響，并且由于介電常數(shù)的不同，其散射特性也有所不同.

［1］余定峰，何思遠(yuǎn)，朱國強(qiáng)，等.各向異性材料涂敷目標(biāo)電磁散射特性仿真［J］.電子與信息學(xué)報，2011，33（7）：1718-1721.YU Dingfeng，HE Siyuan，ZHU Guoqiang，et al.Simulation of the electromagnetic scattering for target coated with anisotropic materials［J］.Journal of Electronics ＆ Information Technology，2011，33（7）：1718-1721.（in Chinese）

［2］闕肖峰，聶在平，胡 俊.導(dǎo)體介質(zhì)組合體電磁分析的建模與計算［J］.電報科學(xué)學(xué)報，2008，23（3）：396-401.QUE Xiaofeng，NIE Zaiping，HU Jun.Electromagnetic modeling and calculation for composite conducting and dielectric objects［J］.Chinese Journal of Radio Science，2008，23（3）：396-401.（in Chinese）

［3］樊振宏，朱 劍，曹海平，等.復(fù)雜媒質(zhì)電磁散射特性的有限元-邊界元方法分析［J］.電報科學(xué)學(xué)報，2009，24（3）：452-456.FAN Zhenhong，ZHU Jian，CAO Haiping，et al.Computation of scattering from the complex media targets with the hybrid finite-element boundary integral method［J］.Chinese Journal of Radio Science，2009，24（3）：452-456.（in Chinese）

［4］陳博韜，謝擁軍，李曉峰，等.各向異性材料部分涂敷導(dǎo)體的散射特性研究［J］.電波科學(xué)學(xué)報，2009，24（6）：992-996.CHEN Botao，XIE Yongjun，LI Xiaofeng，et al.Scattering characteristic of conducting targets with partially-coated anisotropic medium［J］.Chinese Journal of Radio Science，2009，24（6）：992-996.（in Chinese）

［5］耿友林，吳信寶，官伯然.導(dǎo)體球涂敷各向異性鐵氧體介質(zhì)電磁散射的解析解［J］.電子與信息學(xué)報，2006，28（9）：1740-1743.GENG Youlin，WU Xinbao，GUAN Boran.The analytical solution to the electromagnetic scattering by an anisotropic ferrite-coated conducting sphere［J］.Journal of Electronics ＆Information Technology，2006，28（9）：1740-1743.（in Chinese）

［6］王 湃，周樂柱，譚云華，等.不同吸收涂層對三維復(fù)雜目標(biāo)的RCS影響的分析［J］.微波學(xué)報，2005，21（2）：33-37.WANG Pai，ZHOU Lezhu，TAN Yunhua，et al.A-nalysis of impacts of various RAM on RCS of 3-D complex targets［J］.Journal of Microwares，2005，21（2）：33-37.（in Chinese）

［7］金建銘.電磁場有限元方法［M］.西安：西安電子科技大學(xué)出版社，1998.

［8］JIN Jianmin，VOLAKIS J L.A hybrid finite element method for scattering and radiation by microstrip patch antenna and arrays residing in a cavity［J］.IEEE Transactions on Antennas and Propagation，1991，39（11）：1598-1604.

［9］JIN Jianmin，VOLAKIS J L.A finite element-boundary integral formulation for scattering by three-dimensional cavity-backed apertures［J］.IEEE Transactions on Antennas and Propagation，1991，39（1）：97-104.

［10］SHENG Xinqing，JIN Jianmin，SONG Jiming，et al.On the formulation of hybrid finite-element and boundary-integral methods for 3-D scattering［J］.IEEE Transactions on Antennas and Propagation，1998，46（3）：303-311.

［11］JI Yun，ALI M W，HUBING T H.EMC applications of the EMAP5hybrid FEM/MOM code［C］//IEEE International Symposium on Electromagnetic Compatibility.Denver，August 24-28，1998：543-546.

［12］HARRINGTON R F，MAUTZ J R.An impedance sheet approximation for thin dielectric shells［J］.IEEE Transactions on Antennas and Propagation，1975，23（4）：531-534.

［13］LU Caicheng.A modified thin dielectric approximation for calculation of EM scattering by dielectric objects with thin material coating［C］//IEEE Antennas and Propagation Society International Symposium.Honolulu，June 9-15，2007：2809-2812.

［14］CHIANG I T，CHEW W C.Thin dielectric sheet simulation by surface integral equation using modified RWG and pulse bases［J］.IEEE Transactions on Antennas and Propagation，2006，54（7）：1927-1934.

［15］HE Shiquan，NIE Zaiping，YAN Su，et al.Multilayer TDS approximation used to numerical solution for dielectric objects［C］// Asia-Pacific Microwave Conference.Macau，December 16-20，2008：1-4.

［16］WULF D，BUNGER R.A new hybrid finite element method for thin material structures［C］//IEEE Antenna and Propagation Society Symposium.San Diego，July 5-11，2008：1-4.

［17］REN Z.Degenerated prism elements-general nodal and edge shell elements for field computation in thin structures［J］.IEEE Transaction on Magnetics，1998，34（5）：2547-2550.

［18］ERIK A，F(xiàn)REDRIK E.Thin sheet modeling using shell elements in the finite-element time-domain method［J］.IEEE Transactions on Antennas and Propagation，2006，54（1）：28-34.