田大增，楊忠堂，王超，哈明虎

（1.河北大學 數(shù)學與計算機學院，河北 保定 071002；2.河北大學 物理科學與技術(shù)學院，河北 保定 071002）

熵是描述系統(tǒng)混亂程度的一種度量，最初應(yīng)用于熱力學中.1948年Shannon［1］為描述信息的隨機不確定性，首次將熵引入到信息論中.模糊性作為信息的另一種不確定性，能夠描述事物的“亦此亦彼”特性，擺脫了分明集“非此即彼”的限制，也逐漸受到學者的關(guān)注.為描述模糊集［2］的不確定性即模糊性，1968年Zadeh［3］首先提出了模糊熵的概念.繼而De Luca和Termini［4］于1972年提出了模糊熵的公理化定義并利用Shannon函數(shù)構(gòu)造了模糊熵的計算公式.之后 Kaufmann［5］，Yager［6］，Kosko［7］等人利用不同的方法，構(gòu)造了其他形式的模糊熵.然而，模糊熵僅限于度量模糊集的模糊性，在更為廣泛的條件下卻不適用.

1983年Atanassov［8］進一步發(fā)展和擴充了模糊集，提出了直覺模糊集.直覺模糊集在模糊集基礎(chǔ)上增加了一個新的屬性參數(shù)——非隸屬度，進而可以描述“非此非彼”的模糊概念.為度量直覺模糊集的不確定性，很多學者對直覺模糊集的熵進行了研究.1996年，Burillo和Bustince［9］首先引入直覺模糊集的熵，然而這個熵的定義與模糊熵之間不具有相容性.2001年Szmidt和Kacprzyk［10］利用距離度量，提出另一種直覺模糊集的熵的定義，在此定義中當直覺模糊集退化為模糊集時，滿足模糊熵的公理化定義.2006年，Hung和Yang［12］通過對De Luca和Termini提出的模糊熵公理化定義擴展，提出了2種新的直覺模糊集的熵的計算公式.

2011年，呂印超和郭嗣琮［13］指出直覺模糊集的熵應(yīng)該是模糊性與猶豫性兩者的綜合性度量即模糊度與猶豫度的綜合，進而給出了直覺模糊集熵的新公理化定義和直覺模糊集的熵的一般形式.然而在直覺模糊集的模糊度中蘊含了猶豫度，不能精確描述直覺模糊集的模糊性.基于此，本文進一步討論了直覺模糊集的模糊度的公理化定義及其計算方法，并給出了直覺模糊集熵的計算公式.

1 預(yù)備知識

直覺模糊集的熵的大小取決于模糊度和猶豫度.當不確定性相同時，直覺模糊集的熵的大小取決于模糊度；當模糊度相同時，直覺模糊集的熵的大小取決于不確定度.容易看出，當A退化為模糊集時，上述直覺模糊集的熵的定義與模糊集的熵的定義也是等價的.

2 模糊度的公理化定義與直覺模糊集的熵的計算公式

為描述直覺模糊集的模糊性，文獻［13］首次提出了模糊度（定義4）的概念.然而在某些情況下，該定義無法準確的描述直覺模糊集的模糊性.

在直覺模糊集中，隸屬度μ（x）、非隸屬度ν（x）和由之得到的猶豫度π（x）是3個重要參數(shù).隸屬度、非隸屬度從不同側(cè)面反映了集合元素的模糊性，π（x）反映了集合元素的不確定性.因此，直覺模糊集的熵應(yīng)該同時表現(xiàn)這2個方面的性質(zhì).顯然，直覺模糊集的模糊性與模糊度有關(guān)，猶豫性與猶豫度有關(guān)［16］.

由文獻［13］可知模糊度是一種在直覺模糊集上利用隸屬度、非隸屬度對集合的模糊性的度量.當直覺模糊集A退化為模糊集時，也就意味著A只存在模糊性，而猶豫性不存在，即猶豫度為0；且當μA（x）＝0.5時，其模糊熵（或模糊度）達到最大值.而當直覺模糊集B是完全直覺的，此時B只存在猶豫性，而隸屬度和非隸屬度均為0，所以不存在模糊性，即模糊度為0.

顯然與模糊度的意義相矛盾，因此對于例中所出現(xiàn)的問題也就不難理解了.

既然模糊度作為一種利用隸屬度、非隸屬度對集合的模糊性的度量，而模糊熵也是對模糊集的模糊性的一種度量.所以不妨在直覺模糊集上對模糊熵進行推廣，進而得到在直覺模糊集上的模糊度的公理化定義.

當A，B退化為模糊集時，直覺模糊集的模糊度退化成模糊集的模糊熵.

3 基于直覺模糊集熵的多屬性決策算法及案例分析

4 結(jié)論

給出了直覺模糊集的模糊度的公理化定義及其計算方法，并利用直覺模糊集的模糊度和猶豫度，提出了直覺模糊集的熵的計算公式.然后將該計算公式應(yīng)用于多屬性決策算法，驗證了其在處理直覺模糊集不確定性方面的有效性.

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